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北师大版数学九年级下册3.7
切线长定理导学案
课题
3.7
切线长定理
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
重点
难点
运用切线长定理解有关问题.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、
如图，P为外一点，PA，PB分别切于A，B两点，若，则
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2、
如图，与的边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，如果，，，那么BC的长为_______．
合
作
探
究
探究一：
过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看．
如图
3-30，PA，PB
是
⊙O
的两条切线，A，
B
是切点．
这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长
（length
of
the
tangent）．
切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
探究二：
已知：如图
3-31，PA，PB
是
⊙O
的两条切线，A，B
是切点．
求证：PA
=
PB．
图
3-31
如图
3-32，四边形
ABCD
的四条边都与
⊙O
相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
图
3-32
探究三：
例
如图
3-33，Rt△ABC
的两条直角边
AC
=
10，BC
=
24，⊙O
是△ABC的内切圆，切点分别为
D，E，F，求
⊙O
的半径．
图
3-33
当
堂
检
测
1、如图，AB，AC，BD是的切线，切点分别是P，C，若，，则AB的长是
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
2、
如图，是三角形ABC的内切圆，D、E分别为AB、AC上的点，且DE为的切线，若三角形ABC的周长为21，BC边的长为6，则三角形ADE的周长为?
?
A.
15
B.
9
C.
8
D.
3、
如图，PA，PB分别切于A，B，AC是的直径，连接AB，BC，OP，则图中与相等的角有．
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
4、如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，AC是的直径，AC、PB的延长线相交于点D．
若，求的度数；
当为多少度时，，并说明理由．
课
堂
小
结
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理.
参考答案
自主学习：
解：，PB分别切圆O于A，B两点，
．
故选：B．
2、解：，AC，BC都是的切线，
，，．
，，，
，，
．
故答案为7．
合作探究：
探究一：
2条
PA=PB
探究二：
证明：连接
OA，OB．
∵
PA，PB
是
⊙O
的切线，
∴
∠?PAO
=
∠?PBO
=
90°．
在
Rt△POA
和
Rt△POB
中，
∵
OA
=
OB，OP
=
OP，
∴
Rt△POA
≌?Rt△POB．
∴
PA
＝
PB
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
探究三：
解：连接
OD，OE，OF，设
OD
=
r.
在
Rt△ABC
中，AC
=
10，BC
=
24,
∴
AB
=
=
26.
∵
⊙O
分别与
AB，BC，CA
相切于点
D，E，F，
∴
OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
BE
=
BD，AF
=
AD，CE
=
CF.
又∵
∠?C
=
90°，
∴
四边形
OECF
为正方形.
∴
EC
=
FC
=
r.
∴
BE
=
24
-
r，AF
=
10
-
r.
∴
AB
=
BD
+
AD
=
BE
+
AF
=
34
-
2r
=
26.
∴
r
=
4,
即
⊙O
半径为
4.
当堂检测：
1、解：，AC，BD是的切线，切点分别是P，C，D．
，，
，
，，
．
故选：D．
2、解：的周长为21，，
，
，，，，
，
的周长
．
故选：B．
3、解：，PB分别切于A，B，
，PO平分，
，，
，
切于A，
，
，
，
即图中与相等的角有2个．
故选：A．
4、解：是直径，PA、PB是圆的切线，
，，即，
，
，
，
，
；
当时，．
理由：由得，
是直径，PA、PB是圆的切线，
，，即，
在和中，
PA=PB
OA=OB
OP=OP，
≌
，
，
中：，
，即，
，
是等边三角形，
，
．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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3.7
切线长定理
数学北师大版
九年级下
复习导入
什么是圆的切线？
直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（tangent
line）.
这个唯一的公共点叫做切点（point
of
tangency）．
新知讲解
过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看．
B
A
O
P
2条
新知讲解
议一议
如图
3-30，PA，PB
是
⊙O
的两条切线，A，
B
是切点．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
图
3-30
PA=PB
新知讲解
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长（length
of
the
tangent）．
切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
新知讲解
新知讲解
已知：如图
3-31，PA，PB
是
⊙O
的两条切线，A，B
是切点．
求证：PA
=
PB．
图
3-31
证明：连接
OA，OB．
∵
PA，PB
是
⊙O
的切线，
∴
∠PAO
=
∠PBO
=
90°．
在
Rt△POA
和
Rt△POB
中，
∵
OA
=
OB，OP
=
OP，
∴
Rt△POA
≌?Rt△POB．
∴
PA＝PB
新知讲解
如图
3-32，四边形
ABCD
的四条边都与
⊙O
相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
想一想
图
3-32
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
L
M
N
P
新知讲解
例
如图
3-33，Rt△ABC
的两条直角边
AC
=
10，BC
=
24，⊙O
是△ABC的内切圆，切点分别为
D，E，F，求
⊙O
的半径．
图
3-33
新知讲解
解：连接
OD，OE，OF，设
OD
=
r.
在
Rt△ABC
中，AC
=
10，BC
=
24,
∴
AB
=
=
26.
∵
⊙O
分别与
AB，BC，CA
相切于点
D，E，F，
∴
OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
BE
=
BD，AF
=
AD，CE
=
CF.
图
3-33
新知讲解
又∵
∠C
=
90°，
∴
四边形
OECF
为正方形.
∴
EC
=
FC
=
r.
∴
BE
=
24
-
r，AF
=
10
-
r.
∴
AB
=
BD
+
AD
=
BE
+
AF
=
34
-
2r
=
26.
∴
r
=
4,
即
⊙O
半径为
4.
图
3-33
新知讲解
变式
如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为(
)
A.
13cm
B.
8cm
C.
6.5cm
D.
随直线MN的变化而变化
B
新知讲解
解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，
AB+BC+AC=18cm，⊙O是它的内切圆，
点D是其中的一个切点，BC=5cm，
∴AB+AC=13cm，
∵BD+CE=BC=5cm，
∴AD+AE=8cm，
新知讲解
∵MN与⊙O相切于F，
∴DM=MF，FN=EN，
∴AM+AN+MN
=AM+AN+MF+FN
=AD+AE
=8cm．
故选:B．
课堂练习
1、如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AC=5，BD=3，则AB的长是(
)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
D
课堂练习
解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．
∴AP=AC，BD=BP，
∴AB=AP+BP=AC+BD，
∵AC=5，BD=3，
∴AB=5+3=8．
故选：D．
课堂练习
2、如图，⊙I是三角形ABC的内切圆，D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，若三角形ABC的周长为21，BC边的长为6，则三角形ADE的周长为(
)
A.
15
B.
9
C.
8
D.
7.5
B
课堂练习
解：∵△ABC的周长为21，BC=6，
∴AC+AB=21-6=15，
∵DF=DR，BG=BF，CG=CH，EH=ER，
∴BF+CH=BG+CG=BC=6，
课堂练习
∴△ADE的周长
=AD+DE+AE
=AD+AE+DR+RE
=AD+DF+AE+EH
=AB-BF+AC-CH
=AC+AB-(BF+CH)
=15-6=9．
故选:B．
课堂练习
3、如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，AC是⊙O的直径，连接AB，BC，OP，则图中与∠APO相等的角有(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
A
课堂练习
解：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA=PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB，∠APO=∠BPO，
∴∠BAP+∠APO=90°，
∵PA切⊙O于A，
∴OA⊥PA，
课堂练习
∴∠CAB+∠PAB=90°，
∴∠APO=∠CAB，
即图中与∠APO相等的角有2个．
故选:A．
拓展提高
4、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，AC、PB的延长线相交于点D．
(1)若∠1=20°，求∠APB的度数；
(2)当∠1为多少度时，OP=OD，并说明理由．
拓展提高
解：(1)∵AC是直径，PA、PB是圆的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠1=20°，
∴∠PAB=70°，
∴∠PBA=∠PAB=70°，
∴∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=40°；
拓展提高
(2)当∠1=30°时，OP=OD．
理由：由OP=OD得∠D=∠OPD，
∵AC是直径，PA、PB是圆的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在△POA和△POB中，
PA=PB
OA=OB
OP=OP，
∴△POA≌△POB(SSS)
拓展提高
∴∠APO=∠OPD=∠D，
∴∠APD=2∠D，
∵Rt△ADP中：∠APB+∠D=90°，
∴2∠D+∠D=90°，即∠D=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴∠PAB=60°，
∴∠1=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°．
课堂总结
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理.
板书设计
课题：3.7
切线长定理
?
教师板演区
?
学生展示区
一、切线长定理
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P96练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P96练习第3、4题
