2020—2021学年人教版八年级数学下册专题复习资料 第16章 《二次根式》巩固与提升分题目例析

八年级数下册专题复习资料：
《二次根式》巩固与提升分题目例析
编制：赵化中学
新人教版八年级数学下册的《二次根式》可以看作是七年级数学之《数的开方》的延伸，同时这个单元也是为后面多个章节的学习作铺垫，《二次根式》内容和习题安排上融合串联了七八年级数与式、方程与不等式等等的内容，位置特殊，作用明显.含二次根式的题型是统考、中考的热点题型；但在二次根式的学习中部分同学们感到比较吃力，下面我分10个题目例举解析，附有追踪和提升性练习，希望对同学们有所帮助.
题目一.
利用二次根式中即算术平方根的双重非负数性巧解“难”题
例1.均为实数且满足，求的值？
分析：根据式子有，先求得的值，再的值，代入即可求值.
略解：根据题意可知：
解得：；把代入有：
解得：
所以.
例2.
已知，则
（
）
A.
B.
C.
0
D.
分析：根据式子整理为，利用非负数的性质可求得的值，从而使问题得以解决.
略解：
原式整理为
∵，
∴
解得
∴.
故选B.
例3.计算的值？
分析：本题抓住被开方数是非负数这一特点切入可以破题！观察恰好可化成，抓住二次根式的被开方数需，而，故
可求得，代入可求值.
略解：将式子中的化成
∵，且有，故
∴
，解得.
∴原式=..
点评：
二次根式
的双重非负数性即同时，常利用这个性质与非负数的性质、不等式、因式分解等等结合在一起解决问题，各类考题中常有.
追踪练习：
1.若
，分别求出的算术平方根.
2.
如果有，求的值.
3.已知,化简并求的值.
4.若和互为相反数，试求的值.
5.计算的值.
6.
已知等式，求的值.
题目二.逆用即巧算举例.
例1.在实数范围内分解因式：
.
分析：，这里主要抓住
，逆用平方差公式分解因式.
略解：原式
.
例2.计算：⑴.；⑵.
；⑶.
.
分析：
本题主要抓住
。，，……进行巧算.
略解：
⑴.原式
=
；
⑵.
原式
=
；
⑶.
原式
=
.
例3.计算：
分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是，此时被开方数可以化成的形式，用来可将外层根号化去.
略解：.
点评：
逆用往往和因式分解特别是构成完全平方和平方差来进行巧算，比如例2采用逆用后分解因式约分的办法比直接用常规方法找有理化因式来分母有理化更简捷，起到了“四两破千斤”
的作用.
追踪练习：
1.在实数范围内分解因式：⑴.；⑵.
；⑶.
.
2.计算：
3.计算：.
4.已知：，化简并求的值？
5.计算：⑴.；
⑵.
.
题目三.利用二次根式的性质来计算或化简举例.
例1.计算化简：⑴.
；⑵.；⑶.
.
分析：本题三个小题都是先要根据二次根式的定义挖出隐含的字母的取值条件，再根据性质进行“外移”化简.
略解：⑴.由题意易知：
，所以；
⑵.
由题意易知：，所以；
⑶.
由题意易知：，所以.
例2.计算：
略解：原式=
.
例3.若，化简：.
分析：本题关键是含二次根号的部分化简.不难发现的可以借助因式分解的方法化成，从而使含二次根号部分用来可将根号化去.
略解：
∵
∴
∴原式=.
例4.若为⊿的三边.请化简
分析：本题的式子是形如构建的，所以根据二次根式的性质确定中的的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.
略解：
∵为⊿的三边
∴，，.
∴
∴原式=
==
例5.已知实数在术后走上的对应点位置如图所示，请化简：
分析：本题关键是结合数轴上表示的实数，分别判断出的正负情况，然后根据绝对值的意义化简.
解析：
∵，且
∴。
∴原式=
==
例6.已知
，求的值.
分析：由于，所以本题关键是结合已知判断出的正负情况，当然这里
涉及分母有理化的问题，属于教材的拓展延伸.
略解：∵
∴
∴原式=
∵。∴
∴原式=.
点评：
本题目的几道例题关键是形如的的正负情况的判断，有的直接可以判断，有点要计算判断，比如例4、例5，有的隐含在原式中，比如例1；最终都要通过来化简求值，本题目是高频考点.
追踪练习：
1..计算化简：⑴.
；⑵.
；⑶.
.
2.计算：.
3.若为的三边，化简：.
4.若有
，请化简
？
5.实数
如下图所示，请化简：
6.
若，请先化简，并选择一个合适的整数代入求值.
题目四.含二次根式的数式值的大小比较
例1.比较和的大小.
分析：本题直接比较两个式子值的大小比较困难，因为和的值都是正数，若我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.
略解：设，则
∵
∴
∴
∴
例2..比较大小：
与
.
解析：由与得：。
∵
，
∴
∴
点评：
比较含二次根式的数式值的大小常用“近似数法”、
“比差法”、“平方法”、“被开方数比较法”“倒数法”，
“作商法”等来比较，但稍微复杂的还要综合多种比较方法，比如例2.
追踪练习：
1.比较大小：
（填“”或“”或
“”）
2.比较大小：
（填“”或“”或
“”）
3.比较和的大小.
4.比较和的大小.
5.比较和的大小.
6.
比较和的大小.
7.设且，．试比较
的大小关系．
8.
比较大小：
与.
题目五.
整体代换·巧变求值.
例1.
已知，求的值？
分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从变形即，从已知整体求出和的值，整体代入过程便变得简捷了.
略解：∵
∴
∴原式
例2.已知，求代数式的值.
分析：从要求值的式子特征来看，是以和为架构的；恰巧互为倒数，所以我们可以先整体求出和的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.
略解：∵
∴
∴.
点评：
上面例题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想，
“两头凑”，也就比较容易求出式子的值.
追踪练习：
1.若，求的值.
2.已知：，求：①.的值；②.的值.
3.
已知，求的值？
4.已知，求的值.
5.若，求.
题目六.含二次根式的代数式值的整数部分与小数部分的题型举例
例1.若连续满足
，则的值为
.
分析：实际上抓住的整数部分为4,就行了，则，则，则
=
；故应填：
.
例2.已知是的整数部分，是的小数部分，是的小数部分，求的值？
分析：由可得：.由此根据题中的条件可以分别确定题中的值.
略解：
∵
∴
∴
∴
点评：
含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面的值的确定：，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因.
追踪练习：
1.
若连续满足
，则的值为
.
2.若分别是的整数部分与小数部分，求的值？
3.已知分别为的整数部分与小数部分，求的值？
4.的小数部分是，的小数部分是，求的值？
5已知的整数部分为，小数部分为，求的值？
6.已知是的小数部分，是的小数部分，是的整数部分，求的值？
7.
周六，小刚的妈妈和小华作了一个小游戏.小刚的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若表示的整数部分，表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小刚获得支配权吗？
题目七.二次根式简便运算技巧举例.
技巧一.巧移因式，避繁就简.
例1.计算：
分析：把和外面的因数“内移”
后为：和，然后利用平方差公式进行简便运算.
略解：
原式=
技巧二.巧提公因数，化难为易.
例2.计算：
分析：把提取后，然后利用平方差公式进行简便运算.
略解：
原式=
技巧三.巧分组，出奇制胜..
例3.
计算：.
分析:若把看成一个整体，构造符合平方差公式的结构，利用平方差公式计算.
略解：原式=
.
例4.
计算：.
分析：可以先把其中两项看成一个整体，然后利用完全平方公式计算.
略解：
原式=.
技巧四.
巧分解，独占鳌头..
例5.计算：
.
分析：用因式分解巧算。比如：
.
略解：原式=.
技巧五.巧拆项，独具一格.
例6,.化简
.
分析：本例直接计算有点繁琐，若将分子的拆成，则分子可以拆成分母相同的两个式子的和，然后化简.
略解：
原式=.
技巧六。逆用幂法则，四两破千斤.
例7.
计算的值等于
（
）
A.
B.
C.
D.
分析：本题要直接计算不现实，若我们逆用幂法则写成：，再利用平方差公式巧算.
略解：
原式，故选D.
追踪练习：
1.计算：
①.；
②.；
③.；
④.；
⑤..
2.计算：.
3.化简求值：，其中.
题目八.解含无理系数的方程（组）和不等式（组）
例1.解不等式：
分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.
略解：移项得
∴
∵
∴
∴.
例2.解方程组：
分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.
略解：①得：
③
③
-
②得：
将代入①得:；解得：.
∴原方程组的解是.
点评：
解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.
追踪练习：
1.若，请化简：.
2.
解方程组：.
题目九.几何计算中的二次根式运算或化简
例1.
若梯形的上底为，下底为，高为，则这个梯形的面积是
.
分析：根据梯形的面积公式直接列式计算.
略解：
.故应填：
.
例2.若一个矩形的的周长为，一边长为，求另一边长和此矩形的面积？
分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积.
略解：
根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：
此矩形的面积为：
故矩形另一边长为，而矩形的面积为
例3.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，⊿的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论：
①.⊿的形状是等腰三角形；②.⊿的周长是；
③.⊿C的面积是5；④.点C到AB边的距离是；
⑤.直线是线段的垂直平分线.
你认为刚观察的结论正确的序号有
.
解析：
结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出⊿的三边长分别为
，故①正确，②错误；⊿的面积由间接计算得到：，故③错误；利用三角形的等积法：，即，解得，故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知直线是线段的垂直平分线,⑤正确.故选①④⑤.
点评：
几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.
这类题型还很容易与函数及其图象结合在一起.
追踪练习：
1.已知三角形的长分别为，则它的周长为
.
2.直角三角形的两条直角边分别为和，则此直角三角形的面积是
.
3.赵化中学准备修一正方形花坛，中央修一正方形喷水池；设计时要
考虑其周长，如果小喷水池的面积为，花坛的绿化面积为，
则花坛的外围与小喷水池的周长一共
.
4.如图，从一个大正方形中裁去面积为和面积为的两个
小正方形，则留下的部分（阴影部分）的面积之和为
.
5.如图在四边形中，，
求四边形的周长和面积？
6.如图一块长方形场地的长与宽之比为，
于点
,于点,连结；现计划在四边形区域
内（阴影部分）种植花草，求四边形与长方形的面积之比.
7.已知边长为1的正方形在直角坐标系中，两点在第二象限
内，与轴的夹角为60°，求出点
点坐标.
8.如图，已知矩形，的平分线交于点,若
；求矩形的周长和阴影部分梯形
的面积.
9.如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形.如此下去
……
⑴.记正方形的边长，按上述方法所作的正方形依次为，请求出的值？
⑵.根据以上规律写出第个正方形的边长的表达式.
题目十.
以二次根式搭建起来的规律探究题举例
例.
如图，将三个数按如图方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积为
（
）
A.
B.
C.
D.
分析：根据观察数列可得每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据是数的运算，可得答案
略解：根据排列的数阵观察每三个数一循环；在数列中是第个，而，故表示的数正好是第10轮的最后一个，即表示的数是；而在数列中是第个，而
；故表示的数正好是第18轮的第一个，即表示的数是1；则与表示的两个数的积为；故选B．
注：
.
追踪练习：
1.
下面的三个大三角形中各有三个三角
形，每个大三角形中的四个数都有规律，
若按每个大三角形内填数的规律，在中
间的大三角形的中间，应填上
.
2.
观察等式：，根据观察结果将各等式反映的规律用含（为正整数）的等式表示出来为
.
3.
观察下列各式的化简过程：
⑴.通过上面的式子推导规律，请写出第
个式子与推导的最后结果的关系式应为：
；
⑵.并利用上面的规律计算：.
巩固提升练习：
1.下列式子化简或者计算正确的是
（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知为三角形的三边长，则化简
.
3.比较大小：，
，.
4.计算：
的值为
.
5..计算：.
6.若为实数，且，求的值.
7..已知；⑴.求
的值；⑵.求的值；⑶.求的值.
8.已知满足
.
⑴.求的值；
⑵.用的三条线段能否围成三角形？若能围成，说明理由，并求出三角形的周长；若不能，请说明理由.
9.阅读下列材料，并解答问题：
①.；
②.；
③.；
……
⑴.若为正整数，用的等式表示你发现的规律；
⑵.根据你发现的规律计算：.
老郑
2021.20.
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赵化中学八数下册专题复习：《二次根式》的巩固与提升
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