第六章
平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为( )
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
【答案】D
【解析】易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴∴k＝－8,故选：D
2．在△ABC中，，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
所以P为的重心，
所以,
所以,
所以
因为，
所以,
故选：A
3．在△中，为边上的中线，为的中点，则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选:A.
4．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由平面向量基本定理，化简
，所以，即，故选：A．
5.如图，在△中，点是线段上两个动点，
且
，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图可知x，y均为正，设，
共线，，
，
则，
，
则的最小值为，故选:D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若=+,则点M是BC边的中点
B.若=2-,则点M在线段BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
【答案】ACD
【解析】对于选项A,=+?-=-,即=,则点M是BC边中点.
对于选项B,=2-?-=-,
∴=,则点M在线段CB的延长线上,所以B错误.
对于选项C,设BC的中点为D,则=--=+=2,由重心性质可知C成立.
对于选项D,=x+y,且x+y=?2=2x+2y,且2x+2y=1,设=2,
则=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的.
故选:ACD.
7．在给出的下列命题中，正确的是（
）
A.
设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B.
若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C.
已知平面向量满足则为等腰三角形
D.
已知平面向量满足，且，则是等边三角形
【答案】ACD
【解析】对于选项A，，
，，且有公共点C，则点A、B、C共线，A正确；
对于选项B，根据平面向量的基本定理知，
不共线的向量是一组基底，则平面上的任一向量，
都可表示为，且表示方法唯一，
B中并没有说明向量和不共线，故B不正确；
对于选项C，平面向量满足
则即，于是，
再由可知AO平分角A，
故AB，所以为等腰三角形，故C正确；
对于选项D，平面向量满足，
且，，即，
，即，，
，，和的夹角为，
同理和、和的夹角也为，
是等边三角形，故D正确．
故选：ACD．
8.如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中，，，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】对于选项A，，故正确；
对于选项B，由题意，，，，
，，，???，．
，
故B错误；
对于选项C，过C作交AD于点F，则，
，故C错误；
对于选项D，，
故正确，
故选：AD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．设分别是的边上的点，,,若(为实数)，则的值为
.
【答案】.
【解析】易知=
==
=，∴=，=，∴
10．如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________．
【答案】
【解析】由题意图,，
又，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故答案为：．
11．如图，是的重心，的延长线交于点，，分别是边，上异于端点的动点，且.
试用，，表示,则=______________
若，，=________
【答案】;
3
【解析】.
由，，得.①
∵是的重心，
∴.②
又，不共线，
由①②，得，解得，
∴,故答案为：;
3
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
【答案】(1)
.(2)证明见解析.
【解析】（1）由，，三点共线，可设
，
由，，三点共线，可设
，
∴，解得，，
∴.
（2）∵，，三点共线，设
，
由（1）知，，∴，，
∴为定值.
13．如图所示，在中,.
（1）试用向量来表示；
（2）AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
【答案】（1）；（2）AO∶OM＝3∶11.
【解析】（1）,
，
，
；
（2）A，O，M三点共线，设，
D，O，N三点共线，
，
，
不共线，解得，
.
14.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，则求x＋y的值.
【答案】（1）1∶4；（2）.
【解析】(1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．
如图，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，所以λ＝，
所以＝，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y，得＝x＋，
＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线，
得解得∴x＋y＝＋＝.
答案：1∶4 第六章
平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为( )
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
2．在△ABC中，，则
（
）
A．
B．
C．
D．
3．在△中，为边上的中线，为的中点，则(
)
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
5.如图，在△中，点是线段上两个动点，
且
，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若=+,则点M是BC边的中点
B.若=2-,则点M在线段BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
7．在给出的下列命题中，正确的是（
）
A.
设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B.
若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C.
已知平面向量满足则为等腰三角形
D.
已知平面向量满足，且，则是等边三角形
8.如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中，，，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．设分别是的边上的点，,,若(为实数)，则的值为
.
10．如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________．
11．如图，是的重心，的延长线交于点，，分别是边，上异于端点的动点，且.
试用，，表示,则=______________
若，，=________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
13．如图所示，在中,.
（1）试用向量来表示；
（2）AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
14.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，则求x＋y的值.
