第六章
平面向量及其应用
6.3.2~6.3.4
平面向量的正交分解及线性运算坐标表示
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知，，向量与共线，则实数的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】，，又与平行，，解得．故选：．
2．设向量，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】向量，，则向量，，
设向量，依题意，得，
所以，，
解得，，故选：C．
3．已知向量，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由可得到.故选：A
4．在中，为上一点，是的中点，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，因为是的中点，
所以，，解得
，.
故选:B.
5.已知向量，其中，则的最小值为（
）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】A
【解析】因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为.故选：A
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在△ABC中，，则不可能为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为
所以P为的重心，
所以,
所以,所以
因为，所以
故选：BCD
7.下列命题中，结论正确的有（
）
A．设向量，，与共线的单位向量为或；
B．设向量，，若，则或；
C．若，则A?B?C?D四点共线；
D．设向量，，则的最小值为；
【答案】BD
【解析】对于选项A，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，故A正确；
对于选项B，，即，解得，故B错误.
对于选项C，，则或与共线，故C错误；
对于选项D，，当且仅当时，等号成立，
故D正确；
故选：D
8．如图，四边形是正方形，延长至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断不正确的选项是
A．满足的点必为的中点
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点最多有3个
D．的最大值为3
【答案】ABC
【解析】以，所在直线分别为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设正方形边长为1，，则：
，，；；
由得，，，；
；
满足的点有线段的中点和点；满足的点有点和线段的中点；满足的点最多有2个；
，时，取最大值3．故选：ABC．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．向量
a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
【答案】4
【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
故答案为：4
10．设,，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是
【答案】8
【解析】，，
因为A、B、C三点共线，所以，
所以，即，
，
当且仅当时等号成立．所以的最小值为8.
11．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
【答案】2
【解析】
以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1，0)，B，
设∠AOC＝α，
则C(cos
α，sin
α)，
由＝x＋y，得
所以x＝cos
α＋sin
α，y＝sin
α，
所以x＋y＝cos
α＋sin
α＝2sin，
又α∈，所以α＋∈，
所以sin∈，故x＋y的最大值为2.故答案为：2
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案】（1）－；（2）.
【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2).
∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
13．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求证：四边形OABC为等腰梯形．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，则，
，
∴，
∴，．
（2）证明：连接OC．∵，，
∴，∴．又，，
∴四边形OABC为等腰梯形．
14．已知向量与向量的对应关系可用表示．
证明：对于任意向量，及常数m，n，恒有成立；
设，，求向量及的坐标；
求使成立的向量．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
【解析】证明：设，，
，
．
又，，
，
成立．
；
．
设，
由得
所以．第六章
平面向量及其应用
6.3.2~6.3.4
平面向量的正交分解及线性运算坐标表示
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知，，向量与共线，则实数的值为
A．
B．
C．
D．
2．设向量，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量
A.
B.
C.
D.
3．已知向量，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．在中，为上一点，是的中点，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5.已知向量，其中，则的最小值为（
）
A．1
B．2
C．
D．3
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在△ABC中，，则不可能为
（
）
A．
B．
C．
D．
7.下列命题中，结论正确的有（
）
A．设向量，，与共线的单位向量为或；
B．设向量，，若，则或；
C．若，则A?B?C?D四点共线；
D．设向量，，则的最小值为；
8．如图，四边形是正方形，延长至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断不正确的选项是
A．满足的点必为的中点
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点最多有3个
D．的最大值为3
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．向量
a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
10．设,，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是
11．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
13．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求证：四边形OABC为等腰梯形．
14．已知向量与向量的对应关系可用表示．
证明：对于任意向量，及常数m，n，恒有成立；
设，，求向量及的坐标；
求使成立的向量．
