第六章
平面向量及其应用
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知平面向量，，若，则实数（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.
故选：B.
2．已知向量，，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为向量，，，
所以，则，解得（正值舍去）.故选：A.
3．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，又，，则，故选:
4．在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，所以
又，可知
所以
化简可得
又，，所以
则即，
又在递增所以
故,故选：A
5.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】四边形是边长为2的菱形，，
可得，则
，故选:A.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法错误的是（
）
A.
若
B.
若，且，则
C.
在中，若，则是直角三角形
D.
已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】对于选项A，表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，故A错误；
对于选项B，若，且，则有，此时可能有?或?
两种情况，故B错误；
对于选项C，在中，由，可知，
两边平方可得从而，则是直角三角形，故C正确；
对于选项D，与的夹角为锐角，则，
即，解得，故D错误．
故选:ABD．
7.下列说法错误的是?
?
A.
若，，则
B.在中，，则为等腰三角形
C.
若，则存在唯一实数使得
D.
已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于选项A：两个向量，如果，则，，则不一定为共线向量，故A错误；
对于选项B：在中，过点B作于D，
由，可得，
即，即，
则为等腰三角形，故B正确．
对于选项C：若，则?
，如果，则实数不唯一，故C错误；
对于选项D：已知，，且与的夹角为锐角，
可得，即，
可得，解得，
当与的夹角为0时，，
所以，
所以与的夹角为锐角时且，故D错误；故选:ACD．
8．下列说法中正确的是?
??
A.
已知，且与夹角为锐角，则且
B.
若与平行，在方向上的投影为
C.已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
D.
若非零，满足则与的夹角是
【答案】ABC
【解析】对于选项与的夹角为锐角，
，
且时与的夹角为，
所以且，故A正确；
对于选项B．若，则在方向上的投影为，故B正确；
对于选项向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，C正确；
对于选项因为，两边平方得，，
则，
，
故，
而向量的夹角范围为，
得与的夹角为，故D项错误．故选:ABC．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知向量，，，其中，且，，则_________
【答案】
【解析】设，由，则，
因为，则，
，故，，
故.故答案为：-2
10．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为__________;的值为__________.
【答案】,
【解析】，，
，，即，
又，则，
，，，
则
，
故答案为：
．
11．若均为单位向量，且，则的取值范围为______________
【答案】
【解析】∵均为单位向量，，∴，
∴，即，，∴的取值范围为，故选:C.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在中，底边上的中线，若动点满足.
（1）求的最大值；
（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.
【答案】（1）8；（2）-5.
【解析】（1）且
三点共线，又
在线段上
为的中点，设，则，，
当时，取最大值
（2）为等腰三角形，且为底边的中线
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系
由（1）可得，又
，
则
13．已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos
θ，sin
θ)，θ∈R.
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1.所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝.
(2)由|a＋b|＝|ma|，得|a＋b|2＝|ma|2.即|a|2＋2
a·b＋3|b|2＝m2|a|2，
即4＋2a·b＋3＝4m2，7＋2(cos
θ＋sin
θ)＝4m2.
所以4sin＝4m2－7.
由θ∈，得θ＋∈，因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4sin∈[6，4)，即6≤4m2－7＜4，即≤m2＜，又m＞0，所以≤m＜.即实数m的取值范围为.
14．已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且·=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·(+)的取值范围.
【答案】(1)-,(14,-7);（2）(4,3)；（3）
【解析】(1)设P(14,y),则=(14,y),
=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-,y=-7,
∴点P的坐标为(14,-7).
(2)设Q(a,b),则=(a,b),
由(1)得=(12,-16),
∵·=0,
∴12a-16b=0,即3a-4b=0.①
∵点Q在边AB上,∴∥,
又=(4,-12),=(a-2,b-9),
∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②
联立①②,解得a=4,b=3,
∴Q点坐标为(4,3).
(3)由(2)得=(4,3),∵R为线段OQ上的一个动点,∴设=t=(4t,3t),且0≤t≤1,则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),
∴+=(8-8t,6-6t),
∴·(+)=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50-(0≤t≤1),当t=0或1时,上式取得最大值0;当t=时,上式取得最小值-.
故·(+)的取值范围为.第六章
平面向量及其应用
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知平面向量，，若，则实数（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量，，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法错误的是（
）
A.
若
B.
若，且，则
C.
在中，若，则是直角三角形
D.
已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
7.下列说法错误的是?
?
A.
若，，则
B.在中，，则为等腰三角形
C.
若，则存在唯一实数使得
D.
已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
8．下列说法中正确的是?
??
A.
已知，且与夹角为锐角，则且
B.
若与平行，在方向上的投影为
C.已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
D.
若非零，满足则与的夹角是
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知向量，，，其中，且，，则_________
10．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为__________;的值为__________.
11．若均为单位向量，且，则的取值范围为______________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在中，底边上的中线，若动点满足.
（1）求的最大值；
（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.
13．已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos
θ，sin
θ)，θ∈R.
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．
14．已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且·=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·(+)的取值范围.
