2020-2021学年人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》单元培优卷（Word版 含解析）

2020-2021学年八年级下册数学第18章《平行四边形》
单元培优卷
时间：100分钟 满分：100分
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．4
2．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．4.5 B．9 C．10 D．12
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（　　）
A．6 B．8 C． D．
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
5．如图，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH＝45°，则FH的长度为（　　）
A． B．5 C． D．2
6．如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
7．如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．15 C．30 D．60
8．如图，直线a、b、c分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且互相平行，若直线a、b的距离为2，直线b、c的距离为4，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．4 B． C． D．6
9．如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．10
二．填空题（每题4分，共20分）
11．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE，若OE＝5，BD＝12，则菱形ABCD的面积为　 　．
12．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则?ABCD的周长是　 　．
13．如图，l1∥l2，菱形ABCD的顶点A、B分别在直线l1、l2上，直线l1过CD的中点E，AB⊥l2，AB＝4，则AE＝　 　．
14．若平行四边形ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成2cm、3cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是　 　cm．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　 　．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）试判断四边形AEDF的形状．
（2）当△ABC满足　 　条件时，EF∥BC；当△ABC满足　 　条件时，EF＝AD．
17．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：DE＝CE．
（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．
18．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA＝OB．
（1）求证：∠ABC＝90°；
（2）若AD＝4，∠AOD＝60°，求CD的长．
19．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，以B为顶点，作∠CBE＝∠ACB交DC延长线于点E
（1）求证：四边形ABEC是矩形；
（2）若AB＝6，BC＝10，点P从点E出发，沿E→C→B方向，以每秒1个单位的速度向终点B运动；点Q从点D出发，沿D→C→A方向，以每秒2个单位的速度向终点A运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动．设运动时间为t（s）．若△APD是等腰三角形，求t的值．
参考答案
一．选择题
1．解∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABD和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠BAO＝∠CDO＝45°，
∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，
∴AB＝BO＝OC＝CD，
设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，
由题意x+x+2x+2x＝36，
∴x＝6，
∴AB＝6．
故选：A．
2．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
故选：B．
4．解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
5．解：过B做BG∥FH交CD于点G，连接EG；延长DC至点M使CM＝AE，连接BM；连接FG；
∵正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，
∴AD＝6，CM＝2，
在Rt△ABE和Rt△BCM中，
∴AE＝CM＝2，AB＝BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCM（SAS），
∴∠ABE＝∠CBM，BE＝CM，
∵∠EFH＝45°，
∴∠ABE+∠CBG＝45°，
∴∠CBG+∠CBM＝45°，
∴△EBG≌△MBG（SAS），
∴EG＝MG，
设CG＝x，
∴MG＝EG＝2+x，DG＝6﹣x，
在Rt△EDG中，EG2＝DE2+DG2，
∴（2+x）2＝（6﹣x）2+16，
∴x＝3，
∴CG＝3，
∴G是CD的中点
∵F是BE的中点，
∴FG是梯形EBCD的中位线，
∴FG∥BC，FG＝5，
∴∠BGC＝∠FHG，∠FGH＝∠BCG＝90°，
∴△BCG∽△FGH，
∴，
∴，
∴GH＝，
在Rt△GFH中，FH2＝FG2+HG2，
∴FH2＝52+（）2，
∴FH＝．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝120°，
∴∠1＝＝30°，
故选：A．
7．解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，
∴S阴影＝S?ABCD，
∵BC＝10，BC边上的高为6，
∴S?ABCD＝10×6＝60，
∴S阴影＝×60＝30．
故选：C．
8．解：如图，过点A作AE⊥b于E，过点C作CF⊥b于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠CDF＝∠DAE，且AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△ADE≌△CDF（AAS）
∴DE＝AE＝2，CF＝DE＝4，
∴AD＝＝＝2，
故选：C．
9．解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，，
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD＝OF＝1，
∴点B的横坐标为：OE＝4+BD＝4+1＝5，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝6，
∴AB'＝＝10，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，
∴DO⊥CO，DO＝BO＝BD＝6，
∵E是DC边上的中点，
∴OE＝DC，
∴DC＝10，
∴OC＝＝8，
∴AC＝2OC＝16，
∴则菱形的面积＝×16×12＝96，
故答案为：96．
12．解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵?ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
在?ABCD中，AD＝5，BE＝2，
∴AD＝BC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，
∴CD＝AB＝3，
∴?ABCD的周长＝5+5+3+3＝16，
故答案为：16．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD＝4，AB∥CD，
∵AB⊥l2，
∴CD⊥l1，
∵点E是CD中点，
∴DE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
故答案为：2．
14．解：如图所示：
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
（1）当AE＝2cm时，则平行四边形的周长＝2（2+5）＝14（cm）；
（2）当AE＝3cm时，则平行四边形的周长＝2（3+5）＝16（cm）；
综上所述，?ABCD的周长为14或16cm．
故答案为：14或16．
15．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案是：2．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF＝AD．理由如下：
由（1）得：四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，
∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴EF∥BC；
当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
∴EF＝AD；
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
又∵AE＝DE，
∴DE＝CE．
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AE═ED＝1，
∴∠DAE＝∠EDA，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，
∴BE＝2AE＝2，
∴BD＝BE+DE＝3，
∴BH＝DH＝，
∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，
∴AB＝2AH，BH＝AH，
∴AH＝，AB＝2AH＝，
即菱形的边长为．
18．（1）证明：在平行四边形ABCD中，
又∵OA＝OC，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OD，
又∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4，
∴AC＝2OA＝8，
在Rt△MCD中，．
19．（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB．
∴∠DAE＝∠E．
∴∠BAE＝∠E．
∴AB＝BE．
∴CD＝BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF＝∠DFA．
∴∠DAF＝∠DFA．
∴DA＝DF．
∵F为DC的中点，AB＝4，
∴DF＝CF＝DA＝2．
∵DG⊥AE，DG＝1，
∴AG＝GF．
∴AG＝．
∴AF＝2AG＝2．
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF＝EF，
∴AE＝2AF＝4．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵∠CBE＝∠ACB，
∴AC∥BE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，
∵四边形ABEC是矩形，
∴CE＝AB＝6，
若△APD是等腰三角形，则有：
（i）当DP＝AD，此时有12﹣t＝10，解得t＝2；
（ii）当AP＝AD，此时有AD＝AE＝10，解得t＝0；
（iii）当AP＝DP时，如图，过点P作PM⊥AD于点M，
则DM＝AM＝5，
∴．
在Rt△PDM中，，
∴．
综上，若△APD是等腰三角形，t值为2或0或．