第三章 三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1 两角差的余弦公式
[A组 学业达标]
1．cos
27°cos
57°－sin
27°cos
147°等于
( )
A. B．－ C. D．－
解析：原式＝cos
27°cos
57°－sin
27°cos(180°－33°)＝cos
27°·cos
57°＋sin
27°cos
33°＝cos
27°cos
57°＋sin
27°sin
57°＝cos(57°－27°)＝cos
30°＝.故选A.
答案：A
2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于
( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.
答案：A
3．cos
555°的值是
( )
A.＋
B．－－
C.－
D.－
解析：∵cos
555°＝cos
195°＝－cos
15°＝－cos(45°－30°)＝－×－×＝－.故选B.
答案：B
4．若cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β都是锐角，则cos
β的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
解析：∵β＝(α＋β)－α，
又∵cos
α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，
∴α＋β是钝角，∴sin
α＝，sin(α＋β)＝.
∵cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α，
∴cos
β＝－×＋×＝＝＝.
答案：B
5．已知sin＝，<α<，则cos
α的值是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos＝－＝－.
∴cos
α＝cos＝coscos＋sin·sin＝－×＋×＝.
答案：A
6．计算cos
45°·cos
15°＋sin
45°sin
15°＝________．
解析：cos
45°cos
15°＋sin
45°sin
15°＝cos＝cos
30°＝.
答案：
7．已知cos＝cos
α，则tan
α＝________．
解析：cos＝cos
αcos＋sin
αsin＝cos
α＋sin
α＝cos
α，∴sin
α＝cos
α，∴＝，即tan
α＝.
答案：
8．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
解析：∵α，β∈，∴α＋β∈，β－∈.
又∵sin(α＋β)＝－，sin＝，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos＝－＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
答案：－
9．求的值．
解析：原式＝
＝
＝
＝.
10．已知－<α<，且cos＝，求cos
α.
解：∵－<α<，∴0<α＋<.
又∵cos＝，
∴sin＝.
∴cos
α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
[B组 能力提升]
11．若sin
α－sin
β＝，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)的值为( )
A.
B.
C.
D．1
解析：由sin
α－sin
β＝，cos
α－cos
β＝，
得sin2α＋sin2β－2sin
αsin
β＝，①
cos2α＋cos2β－2cos
αcos
β＝，②
①＋②得2－2(sin
αsin
β＋cos
αcos
β)＝1.
∴sin
αsin
β＋cos
αcos
β＝.
∴cos(α－β)＝.
答案：A
12．若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵0<α<β<，∴－<α－β<0，0<2α<π.
由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.
由cos
2α＝，得sin
2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos
2αcos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)
＝×＋×＝－.
又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案：C
13．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin
α＝，则cos(α－β)＝________．
解析：由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，
∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，sin
β＝sin
α，cos
β＝－cos
α.
又sin
α＝，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1
＝2×－1＝－.
答案：－
14．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，则α－β＝________．
解析：∵α，β均为锐角，∴cos
α＝，cos
β＝.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.
又∵sin
α>sin
β，∴0<β<α<，
∴0<α－β<，故α－β＝.
答案：
15．已知cos
α＝，sin(α＋β)＝，α、β∈，求β的值．
解析：∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∵cos
α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin
α＝，cos(α＋β)＝±，
当cos(α＋β)＝－时，
cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝×＋×＝，
∵β∈，∴β＝；
当cos(α＋β)＝时，
cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝×＋×＝<＝cos(α＋β)，
且α＋β∈，β∈，
所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，所以β＝.
16．已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos
φ，0<φ<，求cos
φ的值．
解析：(1)因为a⊥b，所以a·b＝sin
θ－2cos
θ＝0，
即sin
θ＝2cos
θ，
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，所以sin2θ＝，
又θ∈，所以sin
θ＝，cos
θ＝.
(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos
θcos
φ＋sin
θsin
φ)＝cos
φ＋2sin
φ＝3cos
φ，
所以cos
φ＝sin
φ，所以cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
因为0<φ<，所以cos
φ＝.
PAGE第三章 三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
[A组 学业达标]
1．求值：＝
( )
A. B. C. D.
解析：＝＝tan(45°－15°)＝tan
30°＝.故选C.
答案：C
2.等于
( )
A.
B.
C．tan
6°
D.
解析：∵＝tan(27°＋33°)＝tan
60°，∴原式＝＝.
答案：A
3．已知α∈，sin
α＝，则tan＝
( )
A.
B．7
C．－
D．－7
解析：α∈，sin
α＝，∴cos
α＝－，tan
α＝＝－
∴tan＝＝＝－.
答案：C
4．已知tan
α＝，tan(α－β)＝，则tan
β等于
( )
A.
B．－
C．－
D.
解析：tan
β＝tan[α－(α－β)]＝＝－.
答案：C
5．若α＋β＝，则＝
( )
A．tan
α
B．tan
β
C．tan
D．tan
解析：tan(α＋β)＝，即tan
α＋tan
β＝1－tan
αtan
β.
∴tan
α(1＋tan
β)＝1－tan
β
∴＝tan
α.
答案：A
6．若tan＝，则tan
α＝________．
解析：∵tan＝＝＝，∴tan
α＝.
答案：
7．已知△ABC中，tan
Atan
B－tan
A－tan
B＝，则C的大小为________．
解析：依题意：＝－，即tan(A＋B)＝－.
又∵0
答案：
8．在△ABC中，C＝120°，tan
A＋tan
B＝，则tan
Atan
B的值为________．
解析：C＝120°，∴A＋B＝60°，
∴tan
60°＝，
∴tan
A·tan
B＝.
答案：
9．已知tan＝2，tan
β＝.
求：(1)tan
α的值；
(2)的值．
解析：(1)∵tan＝＝＝2，
∴tan
α＝.
(2)
＝
＝
＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
10．已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(－π，0)，求2α－β的值．
解析：∵α＝(α－β)＋β，tan(α－β)＝，tan
β＝－，
∴tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
又2α－β＝α＋(α－β)
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝1.
∵tan
α＝>0，tan
β＝－<0，α，β∈(－π，0)，
∴α∈，β∈，
∴α－β∈(－π，0)，
而tan(α－β)＝>0，则α－β∈，
结合α∈，则有2α－β∈(－2π，－π)，
∴2α－β＝－.
[B组 能力提升]
11．已知α＋β＝，且α，β满足(tan
αtan
β＋2)＋2tan
α＋3tan
β＝0，则tan
α等于
( )
A．－
B.
C．－
D．3
解析：∵(tan
αtan
β＋2)＋2tan
α＋3tan
β＝0，
∴tan
αtan
β＋3(tan
α＋tan
β)＝tan
α－2.①
∵tan(α＋β)＝＝，
∴3(tan
α＋tan
β)＝(1－tan
αtan
β)．②
将②代入①，得＝tan
α－2，∴tan
α＝＋2＝3.
答案：D
12．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为
( )
A.
B．－
C.或－
D．－或
解析：由一元二次方程根与系数的关系得tan
α＋tan
β＝－3，tan
α·tan
β＝4，∴tan
α<0，tan
β<0.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
又∵－<α<，－<β<，
且tan
α<0，tan
β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
答案：B
13．已知tan
α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan(α－β)＝________．
解析：tan
β＝tan[(α＋β)－α]
＝
＝
＝3，
∴tan(α－β)＝＝＝1.
答案：1
14.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解析：(1)由题意可得cos
α＝，
cos
β＝.
由于α，β为锐角，所以sin
α＝＝，sin
β＝＝.从而tan
α＝7，tan
β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1.
又0<α<，0<β<，
所以0<α＋2β<，从而α＋2β＝.
15．是否存在锐角α和β，使得α＋2β＝，tantan
β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由．
解析：∵α＋2β＝，∴＋β＝，
∴tan＝＝.
∵tantan
β＝2－，∴tan＋tan
β＝3－.
故tan，tan
β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，解得x1＝2－，x2＝1.
∵α，β都为锐角，∴0<<，∴0∴tan＝2－，tan
β＝1，
∴存在满足条件的锐角α，β，且α＝，β＝.
PAGE第三章 三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
[A组 学业达标]
1．sin
165°等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析：sin
165°＝sin
15°＝sin(45°－30°)＝.
答案：D
2．计算sin
44°cos
14°－cos
44°cos
76°的值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：原式＝sin(44°－14°)＝sin
30°＝.
答案：A
3．下列各式中，不正确的是
( )
A．sin＝sincos＋cos
B．cos＝sin－coscos
C．cos＝coscos＋
D．cos＝cos－cos
解析：∵sin＝，∴A正确；∵cos＝－cos＝－cos，∴B正确；∵cos＝cos，∴C正确；∵cos＝cos≠cos－cos，∴D不正确．
答案：D
4．设α∈，β∈，若cos
β＝－，sin(α＋β)＝，则sin
α的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由cos
β＝－，sin(α＋β)＝，得sin
β＝，cos(α＋β)＝－，所以sin
α＝sin[(α＋β)－β]＝×－×＝.
答案：C
5．若sin
x＋cos
x＝4－m，则实数m的取值范围是
( )
A．[2，6]
B．[－6，6]
C．(2，6)
D．[2，4]
解析：∵sin
x＋cos
x＝4－m，
∴sin
x＋cos
x＝，
∴sinsin
x＋coscos
x＝，
∴cos＝.
∵≤1，∴≤1，∴2≤m≤6.
答案：A
6．在△ABC中，cos
A＝，cos
B＝，则cos
C的值为________
解析：cos
C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－[cos
Acos
B－sin
Asin
B]＝.
答案：
7．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________．
解析：∵α∈，α＋∈
cos＝，sin＝
sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
答案：
8．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝，则cos＝________．
解析：∵0<α<<β<π，
∴<β－<π，<α＋β<，
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－，
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)·sin
＝－×＋×＝.
答案：
9．化简：sin(α＋β)cos
α－[sin(2α＋β)－sin
β]．
解析：原式＝sin(α＋β)cos
α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]＝sin(α＋β)cos
α－[sin
αcos(α＋β)＋cos
αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α]
＝sin(α＋β)cos
α－×2sin
αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α＝sin(α＋β－α)＝sin
β.
10．已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解析：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.
又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sin
α＝＝，
cos(α－β)＝＝.
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)－sin
αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
[B组 能力提升]
11．已知cos＝，则cos
x＋cos＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析：cos
x＋cos＝cos＋
cos＝2coscos＝，故选D.
答案：D
12．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log＝
( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
∴sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，sin
αcos
β－cos
αsin
β＝，
∴sin
αcos
β＝，cos
αsin
β＝，
∴＝5，
∴log＝log52＝4.故选B.
答案：B
13．已知A，B均为钝角且sin
A＝，sin
B＝，则A＋B的大小为________．
解析：∵A，B均为钝角且sin
A＝，sin
B＝，
∴cos
A＝－＝－，
cos
B＝－＝－.
∴cos(A＋B)＝cos
Acos
B－sin
Asin
B＝－×－×＝.
又∵∴A＋B＝.
答案：
14．已知sin
xcos
y＝，则cos
xsin
y的取值范围是________．
解析：设cos
xsin
y＝t，将sin
xcos
y＝与cos
xsin
y＝t两边相加得sin(x＋y)＝＋t，由|sin(x＋y)|≤1得－≤t≤，同样将两式相减得sin(x－y)＝－t，∴－1≤－t≤1，
即－≤t≤.
综上可得－≤t≤.
答案：
15．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解析：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，
∴Asin＝，
即Asin＝，∴A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin，
∵f(θ)－f(－θ)＝，
∴3sin－3sin＝，
展开得3＝，
化简得sin
θ＝.
∵θ∈，∴cos
θ＝.
∴f＝3sin＝3sin＝3cos
θ＝.
PAGE第三章 三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[A组 学业达标]
1.－sin215°＝
( )
A. B. C. D.
解析：原式＝－＝＝.
答案：D
2.＝
( )
A.
B.
C．1
D．－1
解析：原式＝＝＝.
答案：A
3．cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°＝
( )
A.
B.
C.
D．1＋
解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin
15°cos
15°＝1＋sin
30°＝1＋＝.
答案：C
4．已知sin
2α＝，则sin2＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析：sin2＝＝＝.
答案：D
5.－＝
( )
A．－2cos
5°
B．2cos
5°
C．－2sin
5°
D．2sin
5°
解析：原式＝－＝(cos
50°－sin
50°)＝2＝2sin(45°－50°)＝－2sin
5°.
答案：C
6.＝________．
解析：＝＝＝2.
答案：2
7.＝________．
解析：＝＝＝
＝.
答案：
8．已知α∈，且sin
α＝，则tan＝________．
解析：因为α∈，且sin
α＝，所以cos
α＝－，所以tan
α＝－，由二倍角公式得tan
2α＝＝－，tan＝＝－.
答案：－
9．求证：＝tan4A.
证明：左边＝＝＝＝(tan2A)2＝tan4A＝右边．
所以＝tan4A.
10．计算：coscoscos.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝.
[B组 能力提升]
11．已知cos＝，则sin
2x＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为sin
2x＝cos＝cos＝2cos2－1，所以sin
2x＝2×－1＝－1＝－.
答案：C
12．若tan
θ＋＝4，则sin
2θ＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析：法一：∵tan
θ＋＝＝4，∴4tan
θ＝1＋tan2θ，∴sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝＝＝＝.
法二：∵tan
θ＋＝＋＝＝，∴4＝，∴sin
2θ＝.
答案：D
13．若sin＝－，0≤α≤π，则tan
α的值是________．
解析：两边平方得sin2＝2－2，
∴＝2－2|cos
α|.①
当0≤α≤时，①式为＝2－2cos
α，
∴cos
α＝1，
∴α＝0，∴tan
α＝0.
当<α≤π时，①式为＝2＋2cos
α，
∴cos
α＝－，
∴sin
α＝.∴tan
α＝－.
综上，tan
α的值是0或－.
答案：0或－
14．已知cos＝，若π解析：法一：(求值代入)由π得π又cos＝，所以sin＝－，
所以cos
x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－，
从而sin
x＝－，tan
x＝7.
则＝
＝＝－.
法二：(切化弦)由法一得tan＝－.
又sin
2x＝－cos＝－cos
2
＝－2cos2＋1＝－＋1＝，
则＝
＝
＝＝sin
2x·
＝sin
2x·tan＝×＝－.
15．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sin
xcos
x.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin
2α.
解析：(1)f(x)＝cos
2x－sin
2x－cos
2x＋sin
2x＝sin
2x－cos
2x＝sin.
(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，即2kπ<2α<＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－<2α－<＋2kπ，k∈Z，
∴cos＝，
∴sin
2α＝sin
＝sin·cos＋cos·sin
＝×＋×＝.
PAGE第三章 三角恒等变换
3．2 简单的三角恒等变换
[A组 学业达标]
1．已知180°<α<360°，则cos＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵90°<<180°，∴cos＝－.
答案：C
2．已知cos
α＝，α∈，则sin等于
( )
A．－
B.
C.
D．－
解析：∵α∈，∴∈，
∴sin＝＝.
答案：B
3．已知sin
α＋cos
α＝，则2cos2－1＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵sin
α＋cos
α＝，∴1＋sin
2α＝，∴sin
2α＝－，∴2cos2－1＝cos＝sin
2α＝－.
答案：C
4．函数f(x)＝2sinsin的最小值是
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵f(x)＝2sin·sin＝
－＝
cos－，∴ymin＝－1－＝－.
答案：D
5．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos
β－sin
βcos(α＋β)＝－，则tan＝( )
A．－5
B．－
C.
D．5
解析：∵sin(α＋β)cos
β－sin
βcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sin
α＝－，
又α是第三象限角，∴cos
α＝－，
∴tan
＝＝＝－5.
答案：A
6．已知sin
θ＝－，3π<θ<，则tan＝________．
解析：由sin
θ＝－，3π<θ<，得cos
θ＝－，
从而tan＝＝＝－3.
答案：－3
7．已知sin＋cos＝，则cos
2θ＝________．
解析：因为sin＋cos＝，所以1＋sin
θ＝，
即sin
θ＝，所以cos
2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.
答案：
8．若tan＝3，则5sin2θ－3sin
θcos
θ＋2cos2θ＝________．
解析：tan
θ＝tan
＝＝，
∴原式＝
＝＝.
答案：
9．已知tan＝，求sin的值．
解析：∵tan＝，∴sin
α＝2sincos＝＝＝＝，
cos
α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
∴sin＝sin
αcos＋cos
αsin＝×＋×＝.
10．已知sin
θ＋cos
θ＝2sin
α，sin2β＝sin
θcos
θ.
求证：2cos
2α＝cos
2β.
证明：由题意，得
①2－②×2，得4sin2α－2sin2β＝1.
∴1－2sin2β＝2－4sin2α，即cos
2β＝2cos
2α.
[B组 能力提升]
11．已知sin＝－，则sin
2x＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为sin＝－，所以sin
x＋cos
x＝－，则(sin
x＋cos
x)2＝1＋sin
2x＝，
所以sin
2x＝－.故选D.
答案：D
12．若cos
α＝－，α是第三象限角，则＝
( )
A．－ B. C．2 D．－2
解析：∵α是第三象限角，cos
α＝－，∴sin
α＝－.
∴＝＝＝·＝＝＝－.故选A.
答案：A
13．化简
＝________．
解析：原式＝＝＝.
∵<θ<2π，∴π<<π，∴原式＝sin.
答案：sin
14．设α为第四象限角，若＝，则tan
2α＝________．
解析：＝＝＝2cos2α＋cos
2α＝.
∴2cos2α＋2cos2α－1＝，
∴cos2α＝，sin2α＝，
∴tan2α＝＝，
∵α为第四象限角，tan
α<0.
∴tan
α＝－.
∴tan
2α＝＝＝－.
答案：－
15．已知向量m＝(cos
θ，sin
θ)和n＝(－sin
θ，cos
θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．
解析：m＋n＝(cos
θ－sin
θ＋，cos
θ＋sin
θ)，
|m＋n|＝
＝＝
＝2.
∵|m＋n|＝，∴cos＝.
又∵cos＝2cos2－1，
∴cos2＝.
∵π<θ<2π，∴<＋<.
∴cos<0.
∴cos＝－.
16．已知tan
α＝－，cos
β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解析：(1)∵cos
β＝，β∈(0，π)，∴sin
β＝，
tan
β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝1.
(2)∵tan
α＝－，α∈(0，π)，∴sin
α＝，cos
α＝－.
f(x)＝(sin
xcos
α－cos
xsin
α)＋cos
xcos
β－sin
xsin
β
＝－sin
x－cos
x＋cos
x－sin
x
＝－sin
x.
又∵－1≤sin
x≤1，∴f(x)的最大值为.
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