2020-2021人教版数学九年级下册第27章相似常考题专练（word版含答案）

人教版数学九年级下册第27章《相似》
常考题专练（五）
1．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE＝AB＝a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC＝CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；
（3）设AE＝m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．
2．如图1，点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝kAB（k为常数），连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．
（1）请说明∠AFE＝∠ABE的理由；
（2）当k＝1时，探究线段EF与EB的数量关系，并加以说明；
（3）当k≠1时，探究线段EF与EB的比值，请说明理由．
3．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．
①BD的长为　
　；
②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，垂足为H．
（1）求证：AC2＝AH?AB．
（2）当AB旋转到AE的位置时，弦AE的延长线与弦CD的延长线交于点F，此时是否仍有（1）的结论成立（即：AC2＝AF?AE）？请说明理由．
（3）过点F作⊙O的切线FP，切点为P，连接AP交CF于G，已知，AE：EF＝3：4，求FG的长．
6．如图①，△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，
（1）固定△ABC，将△DEF的顶点E固定在△ABC的BC边上的中点处，△DEF绕点E在BC边上方左右旋转，设旋转时DE交AB于点H（H点不与B点重合），EF交AC于点G（G点不与C点重合），求证：BH?GC＝BE2；
（2）如图②，△DEF的顶点E在△ABC的BC边上滑动（E点不与B、C点重合），且DE始终经过点A，过点A作AG∥DF，交EF于点G，连接CG，探究：CE+CG＝　
　，请予证明．
7．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．
8．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．
（1）求的值．
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m；丙在C1处也竖立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旅杆顶端B也重合，测得C1E1＝4m．求旗杆AB的高．
10．已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE＝45°，AB＝4．
（1）在图中找出两对相似三角形，并选取一对加以说明；
（2）若AE＝x，BD＝y，试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（3）试说明：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（4）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上（不包括端点），且∠DCE＝30°，请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时，直接写出线段AD、DE、EB的比是多少？
参考答案
1．（1）证明：∵梯形ABCD是直角梯形
∴∠A＝∠B＝90°
又∵∠DEC＝90°
∴∠AED+∠BEC＝90°
∵∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠AED＝∠BCE
∴△ADE∽△BEC
（2）证明：过点E作EF∥AD，交CD于F，则EF既是梯形ABCD的中位线，又是Rt△DEC斜边上的中线．
∵AD+BC＝2EF，CD＝2EF
∴AD+BC＝CD
∵FD＝FE＝CD
∴∠FDE＝∠FED
∵EF∥AD
∴∠ADE＝∠FED
∴∠FDE＝∠ADE，即DE平分∠ADC
同理可证：CE平分∠BCD
（3）解：设AD＝x，由已知AD+DE＝AB＝a得DE＝a﹣x，又AE＝m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x2+m2＝（a﹣x）2，化简整理得：a2﹣m2＝2ax①
在△EBC中，由AE＝m，AB＝a，得BE＝a﹣m
因为△ADE∽△BEC，所以，
即：，
解得：
所以△BEC的周长＝BE+BC+EC＝
＝＝
＝②
把①式代入②，得△BEC的周长＝BE+BC+EC＝
所以△BEC的周长与m无关．
2．解：（1）∵m∥n，
∴∠FAB＝∠ABC，
∵∠FEB＝∠ABC，
∴∠FAB＝∠FEB，
∵∠AOF＝∠EOB，
∴△AOF∽△EOB，
∴∠AFE＝∠ABE；
（2）作ED⊥m，EP⊥AB，
∵k＝1，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵m∥n，
∴∠DAE＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴ED＝EP（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在△FDE和△EPB中，，
∴△FDE≌△EPB（AAS），
∴EF＝EB（全等三角形对应边相等）；
（3）连接FB，设AB与EF交于点O，
在△AOF和△EOB中，，
∴△AOF∽△EOB，
∴，
又∵∠AOE＝∠FOB，
∴△AOE∽△FOB，
∴∠CAB＝∠EFB，
∵∠FEB＝∠ABC，
∴△ACB∽△FBE，
∴．
3．解：（1）作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，
∴OH＝CB＝3，
∴AH＝OA﹣OH＝6﹣3＝3，
在Rt△ABH中，BH＝＝＝6，
∴点B的坐标为（3，6）；
（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BH，
∴△OEG∽△OBH，
∴，
又∵OE＝2EB，
∴，
∴＝，
∴OG＝2，EG＝4，
∴点E的坐标为（2，4），
又∵点D的坐标为（0，5），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得k＝﹣，b＝5，
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x+5；
（3）答：存在；
①如图1，当OD＝DM＝MN＝NO＝5时，四边形ODMN为菱形．作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD
∴，
又∵当y＝0时，﹣x+5＝0，
解得x＝10，
∴F点的坐标为（10，0），
∴OF＝10，
在Rt△ODF中，FD＝＝＝5，
∴，
∴MP＝2，PD＝，
∴点M的坐标为（﹣2，5+），
∴点N的坐标为（﹣2，）；
②如图2，当OD＝DN＝NM＝MO＝5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．
∵点M在直线y＝﹣x+5上，
∴设M点坐标为（a，﹣a+5），
在Rt△OPM中，OP2+PM2＝OM2，
∴a2+（﹣a+5）2＝52，
解得：a1＝4，a2＝0（舍去），
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（4，8）；
③如图3，当OM＝MD＝DN＝NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，
∴yM＝yN＝OP＝，
∴﹣xM+5＝，
∴xM＝5，
∴xN＝﹣xM＝﹣5，
∴点N的坐标为（﹣5，），
综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1（﹣2，），N2（4，8），N3（﹣5，）．
（其它解法可参照给分）
4．解：（1）结论：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAH＝45°，
∵∠H＝90°，AD＝3，
∴AH＝DH＝3，
在Rt△BDH中，BD＝＝＝3，
故答案为：3；
（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．
在Rt△ABP中，AP＝AB?sin37.5°，
在Rt△AQD中，AQ＝AD?sin37.5°，
在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，
求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．
5．解：（1）证明：∵AB是直径，且CD⊥AB，∠ACB＝∠AHC，
∴△ABC∽△ACH，
∴，即AC2＝AH?AB．
（2）上面的结论成立．
连接CE；
∵直径AB⊥CD，
∴，即∠CEA＝∠ACF，
又∵∠CAE＝∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC2＝AE?AF．
（3）连接OP，则OP⊥PF；
∵∠GPF＝90°﹣∠OPA，∠AGH＝90°﹣∠OAP，
且∠OPA＝∠OAP，∠AGH＝∠PGF，
∴∠GPF＝∠PGF，即FP＝FG；
设AE＝3x，EF＝4x；
∵AC2＝AF?AE，
∴，∴；
由切割线定理得：FP2＝EF?AF，∴FP2＝4x?7x＝28x2＝36，
∴FP＝6，
故FG＝FP＝6．
6．解：（1）∵△ABC和△DEF是全等的等腰三角形
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝∠F，
∵∠DEC＝∠B+∠BHE＝∠DEF+∠GEC
∴∠BHE＝∠GEC，
∴△BEH∽△CGE，
∴
即BE?CE＝CG?BH，
∵点E是BC的中点
∴BE＝CE，
∴BH?GC＝BE2
（2）解：∵AG∥DF，
∴∠AGE＝∠F，∠EAG＝∠D
∵∠F＝∠DEF，
∴∠AGE＝∠DEF，
∴AE＝AG，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠BAC＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠CAG，
在△ABE和△ACG中，，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴BE＝CG，
∴CE+CG＝CE+BE＝BC；
故答案为：BC．
7．解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°
∴∠MFB＝30°
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝米
∵BE⊥CB，MF⊥BE
∴BH∥MF
∴△EBH∽△EMF
∴＝
又∵EB＝1.8米
∴＝
∴BH＝
∵BE∥CD
∴△HBE∽△HCD
∴＝
∵CB＝5
∴＝
∴CD＝15.8米
∴大树CD的高度为15.8米．
8．解：（1）x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣4＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
在△AOB中，AB＝＝＝5，
∴sin∠ABC＝＝；
（2）根据题意，设E（x，0），则
S△AOE＝×OA×x＝×4x＝，
解得x＝，
∴E（，0）或（﹣，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y＝kx+b，
则①，
解得
，
∴解析式为y＝x﹣；
②，
解得，
解析式为：y＝x+，
在△AOE与△DAO中，＝＝，
＝＝，
∴＝，
又∵∠AOE＝∠OAD＝90°，
∴△AOE∽△DAO；
（3）根据计算的数据，OB＝OC＝3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，
所以点F与B重合，
即F（﹣3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y＝﹣x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），
L解析式为y＝x+，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（﹣，﹣），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝，做A关于N的对称点即为F，AF＝，过F做y轴垂线，垂足为G，FG＝×＝，
∴F（﹣，）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．
9．解：设BO＝x，GO＝y．
∵GD∥OB，
∴△DGF∽△BOF，
∴1.5：x＝3：（3+y）
同理1.5：x＝4：（y+6+3）
解上面2个方程得
，
经检验x＝9，y＝15均是原方程的解，
∴旗杆AB的高为9+1.5＝10.5（米）．
10．解：（1）△AEC∽△CED，△AEC∽△BCD．
∵∠ACD+∠DCE＝∠ACD+45°，
∴∠ACE＝∠BDC，
∴△AEC∽△BCD；
（2）∵∠A＝∠B＝45°，∠AEC＝∠DCB＝45°+∠BCE，
∴△AEC∽△BCD，
∴BD?AE＝AC2，
∴BD?AE＝AC2＝×AB2＝8，
（2＜x＜4）．
（3）证明如下：将△ABC绕点C顺时针旋转90°，
设E点对应点为E′，连接E′D，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴旋转后B与A重合，
又∵∠DCE＝45°，
∴∠E′CD′＝45°，
又∵CE′＝CE，CD为公共边，
∴△CE′D≌△CED，
∴DE′＝DE，
又∵∠E′AC＝45°，∠CAD＝45°，
∴∠E′AD＝90°，
∴线段DE、AD、EA总能构成一个直角三角形；
（4）AD：DE：EB＝1：：1．