第一章 三角函数
1．1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
[A组 学业达标]
1．下列说法中，正确的是
( )
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限的角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
答案：D
2．在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
答案：C
3．下列各角中，与60°角终边相同的角是
( )
A．－300°
B．－60°
C．600°
D．1
380°
答案：A
4．把－1
485°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是
( )
A．315°－5×360°
B．45°－4×360°
C．－315°－4×360°
D．－45°－10×180°
答案：A
5．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C关系正确的是
( )
A．B＝A∩C
B．B∪C＝C
C．A?C
D．A＝B＝C
答案：B
6．已知角α＝－3
000°，则与α终边相同的最小正角是________．
答案：240°
7．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________．
答案：150°＋k·360°，k∈Z
8．终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
答案：{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
9．已知角α＝2
010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解析：(1)由2
010°除以360°，得商为5，余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.
又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角．
(2)与2
010°终边相同的角为
k·360°＋2
010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2
010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2
010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
10．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α
(1)A∩B；(2)A∪B.
解析：由题意可画图．
由图可知，
A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，
A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ[B组 能力提升]
11．若φ是第二象限角，则和90°－φ都不是
( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：∵φ是第二象限角，
∴k·360°＋90°<φ∴k·180°＋45°<即是第一或第三象限角．
而－φ显然是第三象限角，
∴90°－φ是第四象限角．故选B.
答案：B
12．设集合M＝，N＝，则两集合间的关系是
( )
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M∩N＝?
解析：法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然M?N.
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N.故选B.
答案：B
13．已知α的终边与120°角的终边相同，则在－360°～180°之间与终边相同的角的集合为________．
解析：∵α＝120°＋k·360°(k∈Z)，∴＝40°＋k·120°(k∈Z)．
令－360°<40°＋k·120°<180°，则－∴k＝－3，－2，－1，0，1.
将它们分别代入40°＋k·120°可得－320°，－200°，－80°，40°，160°.
答案：{－320°，－200°，－80°，40°，160°}
14．设角α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以OP2为终边角的集合是________．
解析：依题意，射线OP1所对应的角γ＝k1·360°＋180°－α，k1∈Z，从而射线OP2所对应的角β＝m·360°－90°－(k1·360°＋180°－α)＝(m－k1－1)·360°＋90°＋α＝k·360°＋90°＋α(m，k1，k∈Z)．
答案：{β|β＝k·360°＋90°＋α，k∈Z}
15.写出终边在如图所示直线上的角的集合．
解析：由题意得，满足条件的角的集合S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝150°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝330°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝150°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋k·90°，k∈Z}．
16．现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少度？
解析：利用钟面分别确定在同一单位时间(1分钟)内分针和时针所转过的角度，进而确定所求的角．时针每小时转过了－＝－30°，即每分钟转过了－0.5°，而分针每分钟转过了－，即－6°.故2小时15分钟后，时针转过了(2×60＋15)×(－0.5°)＝－67.5°，分针转过了(2×60＋15)×(－6°)＝－810°.2小时15分钟后为10点20分，此时分针指向4，时针则由指向10转过了20×(－0.5°)＝－10°，故此时时针和分针所成的角为170°.
第一章 三角函数
1．1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制
[A组 学业达标]
1．1
920°的角化为弧度制为
( )
A. B. C.π D.π
解析：∵1°＝
rad，
∴1
920°＝1
920×＝π.
答案：D
2．已知α＝π，则角α的终边在
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：<π<π，所以角α的终边在第二象限，选B.
答案：B
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为( )
A．2
B.
C．2sin
1
D．sin
2
解析：扇形的半径r＝，因此弧长l＝|α|·r＝.
答案：B
4．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：由－π＝θ＋2kπ(k∈Z)，
得θ＝－π－2kπ(k∈Z)，
显然k≤0时，|θ|取最小值．
k＝－1时，θ＝－π，|θ|＝π；
k＝－2时，θ＝π，|θ|＝π>π；
k＝0时，θ＝－π，|θ|＝π>π.
故满足题意的是θ＝－π.
答案：A
5．扇形的周长为6
cm，面积是2
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是
( )
A．1
B．4
C．1或4
D．2或4
解析：设扇形的圆心角为α
rad，半径为R
cm，
则解得α＝1或α＝4，选C.
答案：C
6．时钟从6时50分走到10时40分，分针旋转了________弧度．
解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－＝－.
答案：－
7．如图，公路弯道处的长l＝________(精确到1
m)．
解析：l＝×45≈47(m)．
答案：47
m
8．在0°～720°中与终边相同的角为________．
解析：∵＝×180°＝72°，
∴与角终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝0时，θ＝72°；
当k＝1时，θ＝432°.
∴在0°～720°范围内，
与角终边相同的角为72°，432°.
答案：72°，432°.
9．(1)把－1
480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解析：(1)∵－1
480°＝－＝－10π＋π，
又0<π<2π，∴－1
480°＝π＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2kπ＝π＋2kπ(k∈Z)．
当k＝－1时，β＝π－2π＝－π，
当k＝－2时，β＝π－4π＝－π.
10．已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解析：∵扇形的周长＝2R＋l＝2πR，
∴扇形的弧长l＝2(π－1)R.
∴扇形的圆心角α＝2(π－1)rad，合°.
∴扇形的面积S＝lR＝(π－1)R2.
[B组 能力提升]
11．一段圆弧的长度等于其所在圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为a，
∴弧长等于a的圆弧所对的圆心角α＝＝＝.故选D.
答案：D
12．设集合M＝∪，N＝，则集合M与N的关系是
( )
A．M?N
B．M?N
C．M＝N
D．M∩N＝?
解析：集合M中，α＝(k∈Z)是的整数倍的角，其终边在坐标轴上，α＝kπ＋(k∈Z)的终边在直线y＝x上；集合N中，β＝(k∈Z)是的整数倍角，其终边在直线y＝x上，或y轴上，或直线y＝－x上，或x轴上，故M?N.
答案：B
13．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________．
解析：如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边且在0到2π之间的角为，
故以OB为终边的角的集合为.
∵α∈(－4π，4π)，
∴－4π<2kπ＋<4π，∴－∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1，
∴α＝－，－，，.
答案：－，－，，
14．已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________．
解析：如图，OA＝r，∠OAD＝30°，则AD＝r·cos
30°＝r，
∴边长AB＝2AD＝r.
∴的弧长l＝AB＝r.
又∵α是负角，
∴α＝－＝－＝－.
答案：－
15．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30
cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10(cm)，∴l＝αR＝(cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin×10×cos＝50(cm2)．
(2)由l＋2R＝30，∴l＝30－2R，
从而S＝·l·R＝(30－2R)·R
＝－R2＋15R＝－＋.
∴当半径R＝
cm时，l＝30－2×＝15
cm，
扇形面积的最大值是
cm2，这时α＝＝2
rad.
∴当扇形的圆心角为2
rad，半径为
cm时，面积最大，为
cm2.
16.如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于A点，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．OP沿逆时针方向每秒转，OQ沿顺时针方向每秒转.试求P，Q出发后第五次相遇时，OP，OQ各自转过的弧度数及点P，Q各自走过的弧长．
解析：设P、Q第五次相遇经过t秒，P转动的弧度数为t，Q转的弧度数为t.
因此l1＋l2＝tR＋tR＝10πR，
∴t＝＝20，
∴l1＝πR，l2＝πR.
由此可知，OP转过的弧度数为，OQ转过的弧度数为，P，Q走过的弧长分别为R和R.
PAGE第一章 三角函数
1．2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)
[A组 学业达标]
1．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos
α等于
( )
A. B. C．－ D．－
答案：D
2．sin的值是
( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：B
3．已知角α的终边与单位圆交于点，则tan
α等于
( )
A．－
B．－
C．－
D．－
答案：D
4．若角α的终边过点P(2，)，点Q(－4，10)在角β的终边上，则有( )
A．sin
αβ
B．sin
α＝sin
β
C．sin
α>sin
β
D．不能确定
解析：∵角α终边上的点P到原点的距离r1＝＝3，∴sin
α＝.
∵角β终边上的点Q到原点的距离r2＝＝6，∴sin
β＝＝.∴sin
α＝sin
β.
答案：B
5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是
( )
A．sin
α＋cos
α<0
B．tan
α－sin
α<0
C．cos
α－tan
α<0
D．tan
αsin
α<0
解析：在第三象限，sin
α<0，cos
α<0，tan
α>0，由此可知选B.
答案：B
6．sin
750°＝________．
答案：
7．若α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos
α＝x，则x的值为________．
解析：∵α是第二象限角，∴x<0.又r＝，
∴cos
α＝＝＝x，解得x＝－.
答案：－
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α>0，cos
α≤0，则实数a的取值范围是________．
解析：由sin
α>0，cos
α≤0可知α的终边在第二象限或y轴正半轴上，
∴，
∴－2答案：(－2，3]
9．判断下列各式的符号．
(1)sin
285°·cos(－105°)；
(2)sin
3·cos
4·tan.
解析：(1)因为285°是第四象限角，所以sin
285°<0；
因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.
所以sin
285°·cos(－105°)>0.
(2)因为<3<π，π<4<，
所以sin
3>0，cos
4<0；
因为－＝－6π＋，
所以tan>0.
所以sin
3·cos
4·tan<0.
10．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
解析：因为角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
所以在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，r＝＝
＝5|t|.
当t>0时，r＝5t，
sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，tan
α＝＝＝－；
当t<0时，r＝－5t，
sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝－.
综上可知，sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－；
或sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－.
[B组 能力提升]
11．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin
α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于
( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
解析：分析题意知α的终边位于第三象限，故m<0，n<0，n＝3m且＝，∴m＝－1，n＝－3，m－n＝2.
答案：A
12．若角α的终边过点P(2sin
30°，－2cos
30°)，则sin
α的值等于( )
A.
B．－
C．－
D．－
解析：∵2sin
30°＝2×＝1，－2cos
30°＝－2×＝－，∴P(1，－)，
∴点P到原点的距离为＝2，
∴sin
α＝－.
答案：C
13．函数y＝＋－的值域是________．
解析：当x在第一象限时，sin
x>0，cos
x>0，y＝0；
当x在第二象限时，sin
x>0，cos
x<0，y＝2；
当x在第三象限时，sin
x<0，cos
x<0，y＝－4；
当x在第四象限时，sin
x<0，cos
x>0，y＝2.
答案：{－4，0，2}
14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝______．
解析：∵sin
θ＝＝－<0，
∴y<0，且y2＝64，
∴y＝－8.
答案：－8
15．化简·＋tan
α·(其中α为第四象限角)．
解析：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则有x2＋y2＝1.
由三角函数的定义，得
·＋tan
α·
＝·＋·
＝·＋·＝·＋·.
∵α为第四象限角，∴x>0，y<0，
∴原式＝－1＝＝＝tan2α.
16．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin
α＝，求：
(1)sin
β；
(2)β的终边过点(－1，m)，求m的值．
解析：(1)∵角α的始边为Ox，且sin
α＝，
∴角α的终边与单位圆交于点.
又角β的终边与角α的终边关于y轴对称，
∴角β的终边与单位圆的交点为，
由三角函数的定义可知，sin
β＝.
(2)由于β的终边过点(－1，m)，
∴sin
β＝＝.
显然m>0，∴8m2＝1，∴m＝.
第一章 三角函数
1．2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(二)
[A组 学业达标]
1．下列说法不正确的是
( )
A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点
B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
答案：D
2．设a＝sin
46°，b＝cos
46°，c＝tan
46°，则
( )
A．c>a>b
B．a>b>c
C．b>c>a
D．c>b>a
解析：如图，结合三角函数线知AT>MP>OM，所以有tan
46°>sin
46°>cos
46°，即c>a>b，故选A.
答案：A
3．使sin
x≤cos
x成立的x的一个变化区间是
( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
4．函数f(x)＝tan(2x－)的定义域为
( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPB．MP<0C．MP>OM>0
D．OM>MP>0
答案：D
6．若θ∈，则sin
θ的取值范围是________．
答案：
7．比较大小：sin
1.2________sin
1.5(填“>”或“<”)．
答案：<
8．函数y＝＋lg
cos
x的定义域是________．
解析：要使函数有意义，x需满足即2kπ≤x<2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝＋lg
cos
x的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin
α＝；
(2)cos
α＝－.
解析：(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角α的终边，如图乙．
10．已知0<α<，求证：sin
α＋cos
α>1.
证明：由图可知sin
α＝MP，cos
α＝OM，
在△OMP中，∵OM＋MP>OP，
∴sin
α＋cos
α>1.
[B组 能力提升]
11．若0<α<2π，且sin
α<，cos
α>，则角α的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.∪
解析：由图知，公共区域为D.
答案：D
12．已知sin
α>sin
β，那么下列命题成立的是
( )
A．若α，β是第一象限角，则cos
α>cos
β
B．若α，β是第二象限角，则tan
α>tan
β
C．若α，β是第三象限角，则cos
α>cos
β
D．若α，β是第四象限角，则tan
α>tan
β
解析：逐个象限判断，只有第四象限适合．
答案：D
13．若cos
θ>sin
，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
解析：cos
θ>sin
π＝sin
＝.
∴2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z.
答案：(k∈Z)
14．把sin，sinπ，cosπ，tanπ按由小到大的顺序排列：________．
解析：如图，sin＝M1P1>0，sinπ＝M2P2>0，tanπ＝AT>0，cosπ＝OM3<0.
而0∴0又cosπ<0，
∴cosπ答案：cosπ15．求函数y＝＋的定义域．
解析：由二次根式的被开方数为非负数，得如图所示，其中sin
x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分内；tan
x≤1时，角x的终边落在图中竖线阴影部分内．
∴满足的角x的终边落在图中双重阴影部分内．
∴该函数的定义域为
∪＝
.
16．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sin
β－sin
α.
证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别为点M，N，则由三角函数线定义可知：
sin
α＝NQ，sin
β＝MP，过点Q作QH⊥MP于点H，于是MH＝NQ，则HP＝MP－MH＝sin
β－sin
α.
由图可知，HP<＝－＝β－α，
即β－α>sin
β－sin
α.
PAGE第一章 三角函数
1．2 任意角的三角函数
1．2.2 同角三角函数的基本关系
[A组 学业达标]
1．已知α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α＝
( )
A. B．－ C. D．－
解析：因为tan
α＝－，所以＝－，
所以cos
α＝－sin
α，
代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin
α＝±，
又α是第四象限角，所以sin
α＝－.
答案：D
2．已知sin
x＝2cos
x，则＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵sin
x＝2cos
x，∴tan
x＝2，
∴原式＝＝＝.
答案：B
3．若α是三角形的内角，且sin
α＋cos
α＝，则三角形是
( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
解析：将sin
α＋cos
α＝两边平方，得1＋2sin
αcos
α＝，即2sin
αcos
α＝－.又α是三角形的内角，
∴sin
α>0，cos
α<0，∴α为钝角．故三角形为钝角三角形．
答案：A
4．已知sin
α－cos
α＝，则sin
αcos
α＝
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵sin
α－cos
α＝，∴(sin
α－cos
α)2＝，
即1－2sin
αcos
α＝，∴sin
αcos
α＝－.
答案：A
5．若sin
θ，cos
θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为
( )
A．1＋
B．1－
C．1±
D．－1－
解析：由题意知sin
θ＋cos
θ＝－，sin
θ·cos
θ＝.
又(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ，
∴＝1＋，解得m＝1±.
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，
∴m＝1－.
答案：B
6．若β∈[0，2π)，且＋＝sin
β－cos
β，则β的取值范围是________．
解析：∵＋＝＋＝|sin
β|＋|cos
β|＝sin
β－cos
β，∴sin
β≥0，cos
β≤0，∴β的终边在第二象限或在x轴负半轴或在y轴正半轴．∵0≤β<2π，∴β∈.
答案：
7．已知直线l的倾斜角是θ，且sin
θ＝，则直线l的斜率k＝________．
解析：因为直线l的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π)．
因为sin
θ＝，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以cos
θ＝±
＝±
，
于是直线l的斜率k＝＝±.
答案：±
8．化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________．
解析：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝·cos2α＝·cos2α＝1.
答案：1
9．已知sin
α＝，cos
α＝，α是第四象限角，求tan
α的值．
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，∴＋＝1.
化简、整理，得m(m－8)＝0.解得m＝0或m＝8.
当m＝0时，sin
α＝，cos
α＝－(此时α不是第四象限角，故舍去)；
当m＝8时，sin
α＝－，cos
α＝，∴tan
α＝－.
10．已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
解析：∵cos
α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin
α>0，tan
α<0，
∴sin
α＝＝＝，tan
α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin
α<0，tan
α>0，
∴sin
α＝－＝－＝－，
tan
α＝＝.
[B组 能力提升]
11．已知3cos2θ＝tan
θ＋3，且θ≠kπ(k∈Z)，则sin
θcos
θ＝
( )
A．－
B.
C.
D．－
解析：由题意可得3cos2θ－3＝tan
θ，即－3sin2θ＝，由于θ≠kπ(k∈Z)，所以sin
θcos
θ＝－.
答案：A
12．若tan
α＝2，则＋cos2α＝
( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：＋cos2α＝＋＝＋＝.故选A.
答案：A
13．直线2x－y＋1＝0的倾斜角为θ，则＝________．
解析：由直线2x－y＋1＝0的倾斜角为θ，得tan
θ＝2，
∴＝＝＝＝.
答案：
14．若cos
α＋2sin
α＝－，则tan
α＝________．
解析：由cos
α＋2sin
α＝－，得cos2α＋4sin2α＋4sin
αcos
α＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sin
αcos
α＋4cos2α＝0，即(sin
α－2cos
α)2＝0，则sin
α＝2cos
α，故tan
α＝2.
答案：2
15．已知θ∈(0，π)，且sin
θ，cos
θ是方程25x2－5x－12＝0的两个根，求sin3θ＋cos3θ和tan
θ－的值．
解析：法一：由题意得sin
θ＋cos
θ＝，sin
θcos
θ＝－，
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin
θ＋cos
θ)(sin2θ－sin
θcos
θ＋cos2θ)＝(sin
θ＋cos
θ)(1－sin
θcos
θ)＝×＝.
tan
θ－＝－
＝
＝.
∵θ∈(0，π)，sin
θcos
θ<0，
∴sin
θ>0，cos
θ<0，
∴sin
θ－cos
θ>0.
∴sin
θ－cos
θ＝＝＝＝＝.∴tan
θ－＝＝－.
法二：方程25x2－5x－12＝0的两根分别为和－.
∵θ∈(0，π)，且sin
θcos
θ＝－<0，
∴sin
θ>0，cos
θ<0，
则sin
θ＝，cos
θ＝－，
∴sin3θ＋cos3θ＝＋＝－＝.
tan
θ－＝－＝－＝－.
16．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明：由tan2α＝2tan2β＋1，
可得tan2β＝(tan2α－1)，
即＝，
即＝＝×，
整理得＝，
即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)，
展开得sin2β＝sin2α－，即sin2β＝2sin2α－1.
PAGE第一章 三角函数
1．3 三角函数的诱导公式(一)
[A组 学业达标]
1．sin
240°的值为
( )
A. B. C．－ D．－
解析：由诱导公式二得sin
240°＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－，故选D.
答案：D
2．已知cos
α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝
( )
A．－
B.
C．－k
D．±
解析：因为α∈，所以sin
α>0，则sin(π＋α)＝－sin
α＝－＝－，故选A.
答案：A
3．已知cos(π－α)＝，则tan(π＋α)＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：法一：cos(π－α)＝－cos
α＝，
∴cos
α＝－.
∵<α<π，∴sin
α>0，∴sin
α＝＝＝，
∴tan(π＋α)＝tan
α＝＝－.
法二：由cos
α＝－，<α<π，得α＝π，
∴tan
α＝－，∴tan(π＋α)＝tan
α＝－.
答案：D
4．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是
( )
A．sin
α＝sin
β
B．cos
α＝cos
β
C．tan
α＝tan
β
D．sin
α＝－sin
β
解析：法一：∵α，β的终边关于y轴对称，
∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，
∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，
∴sin
α＝sin
β.
法二：设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sin
α＝sin
β＝.
答案：A
5．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin
θ＝－cos
θ，
∴tan
θ＝，∵|θ|<，∴θ＝.
答案：D
6．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．
解析：原式＝(－sin
α)2－(－cos
α)·cos
α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
答案：2
7．设tan(5π＋α)＝m，则＝________．
解析：tan(5π＋α)＝tan
α＝m，
＝＝＝＝.
答案：
8.化简的结果是________．
解析：＝
＝
＝＝|sin
3－cos
3|.
∵<3<π，∴sin
3>0，cos
3<0，
∴原式＝sin
3－cos
3.
答案：sin
3－cos
3
9．计算：
(1)sin2120°＋cos
180°＋tan
45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
(2)；
(3)cos＋cos＋cos＋cos－tan－tan.
解析：(1)原式＝sin260°－cos
0°＋tan
45°－cos230°＋sin
30°＝－1＋1－＋＝.
(2)原式＝
＝＝＝＝＝.
(3)原式＝cos＋cos＋cos＋cos－tan－tan＝cos＋cos－cos－cos－－tan＝tan－tan＝0.
10．化简：(k∈Z)．
解析：若k是偶数，即k＝2n(n∈Z)，
则原式＝＝＝－1.
若k是奇数，即k＝2n＋1(n∈Z)，
则原式＝
＝＝－1，
∴原式＝－1.
[B组 能力提升]
11．若sin(π－α)－cos(－α)＝，则sin3(π＋α)＋cos3(2π＋α)的值是
( )
A．－
B.
C．－
D．－
解析：由已知，sin(π－α)－cos(－α)＝sin
α－cos
α＝，
所以(sin
α－cos
α)2＝，解得cos
αsin
α＝.
故sin3(π＋α)＋cos3(2π＋α)＝cos3α－sin3α＝(cos
α－sin
α)(cos2α＋cos
αsin
α＋sin2α)＝－×＝－，故选C.
答案：C
12．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2
015)＝3，则f(2
016)的值是
( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．1
解析：∵f(2
015)＝asin(2
015π＋α)＋bcos(2
015π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin
α－bcos
β＝3，
∴asin
α＋bcos
β＝－3.
∴f(2
016)＝asin(2
016π＋α)＋bcos(2
016π＋β)
＝asin
α＋bcos
β＝－3.
答案：C
13.的值是________．
解析：cos(－585°)＝cos
225°＝－cos
45°＝－，
sin
495°＝sin
135°＝，
sin(－570°)＝sin
150°＝，
∴原式＝＝＝－2.
答案：－2
14．已知a＝tan，b＝cos
，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
答案：b>a>c
15．已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin
α的值；
(2)求·的值．
解析：(1)由题意知sin
α＝－.
(2)cos
α＝，tan
α＝－，
·＝·＝＝.
16．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解析：(1)f(α)＝＝－cos
α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin
α＝，
∴sin
α＝－.又α是第三象限角，
∴cos
α＝－.∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
第一章 三角函数
1．3 三角函数的诱导公式(二)
[A组 学业达标]
1．若角α的终边过点A(2，1)，则sin＝
( )
A．－ B．－ C. D.
解析：根据三角函数的定义可知cos
α＝＝，
则sin＝－cos
α＝－，故选A.
答案：A
2．若sin
α＝，则cos＝
( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：cos＝－sin
α＝－.
答案：B
3．已知sin＝，则cos＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.
答案：B
4．化简的结果为
( )
A．1
B．－1
C．sin
α
D．tan
α
解析：原式＝＝＝－＝－1.
答案：B
5．已知α∈(0，π)，且cos
α＝－，则sin·tan
α＝
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵α∈(0，π)，且cos
α＝－，∴sin
α＝，由诱导公式及同角三角函数的商数关系知sin·tan
α＝cos
α·＝sin
α＝.故选C.
答案：C
6．已知cos
θ＝，则sin＝________．
解析：sin＝－sin＝－cos
θ＝－.
答案：－
7．当θ＝时，(k∈Z)的值等于________．
解析：原式＝＝－.
当θ＝时，原式＝－＝2.
答案：2
8．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin
αcos
α等于________．
解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin，所以sin
α＝－2cos
α，所以tan
α＝－2，所以sin
αcos
α＝＝＝－.
答案：－
9．已知cos＝，求cos2－sin的值．
解析：∵cos
＝cos
＝－cos＝－，
∴cos2＝.
又∵sin＝sin＝cos＝，
∴cos2－sin＝－＝－.
10．已知sin·cos＝，且<α<，求sin
α与cos
α的值．
解析：∵sin＝－cos
α，
cos＝cos＝－sin
α，
∴sin
α·cos
α＝，
即2sin
α·cos
α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin
α＋cos
α)2＝，
②－①得(sin
α－cos
α)2＝.
又∵α∈，∴sin
α>cos
α>0，
即sin
α＋cos
α>0，sin
α－cos
α>0，
∴sin
α＋cos
α＝，③
sin
α－cos
α＝，④
③＋④得sin
α＝，
③－④得cos
α＝.
[B组 能力提升]
11．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知可得－2tan
α＋3sin
β＋5＝0，
tan
α－6sin
β－1＝0，可解得tan
α＝3，
又α为锐角，故sin
α＝.
答案：C
12．已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：sin
239°tan
149°
＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin
59°(－tan
31°)
＝－sin(90°－31°)(－tan
31°)
＝－cos
31°·(－tan
31°)
＝sin
31°＝
＝.
答案：B
13．已知α为第二象限角，sin
α＝，则tan＝________．
解析：由题意知，cos
α＝－＝－，
tan＝＝＝－＝.
答案：
14．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋＝.
答案：
15．已知α是第四象限角，且
f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1
860°，求f(α)的值．
解析：f(α)＝
＝＝.
(1)∵cos＝，
∴cos＝，
∴cos＝，
∴sin
α＝－，∴f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1
860°时，f(α)＝
＝＝
＝＝＝－.
16．已知＝3＋2，求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解析：由＝3＋2，
得＝3＋2，(4＋2)tan
θ＝2＋2，
所以tan
θ＝＝.
[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin
θ·cos
θ＋2sin2
θ)·
＝1＋tan
θ＋2tan2
θ＝1＋＋2×＝2＋.
PAGE第一章 三角函数
1．4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[A组 学业达标]
1．函数y＝－cos
x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为
( )
A.
B．(π，1)
C．(0，1)
D．(2π，1)
解析：用五点作图法作出函数y＝－cos
x(x>0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．
答案：B
2．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：令4x－＝，得x＝，∴该点坐标为.
答案：A
3．以下对正弦函数y＝sin
x的图象描述不正确的是
( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：由正弦函数y＝sin
x在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确．
答案：C
4．函数y＝－sin
x，x∈的简图是
( )
解析：当x＝－时，y＝－sin
x取得最大值1，当x＝时，y＝－sin
x取得最大值1，故选D.
答案：D
5．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是
( )
A．y＝|sin
x|
B．y＝sin
|x|
C．y＝－sin
|x|
D．y＝－|sin
x|
解析：注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin
|x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C.
答案：C
6．方程x＋sin
x＝0的根有________个．
解析：作y＝sin
x与y＝－x的图象交点为(0，0)．
答案：1
7．函数y＝cos
x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．
解析：作出函数y＝cos
x＋4，x∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.
答案：，
8．在[0，2π]内，不等式sin
x<－的解集是________．
解析：画出y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象如图：
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0，2π]内，满足sin
x＝－的是x＝或x＝.
由图可知不等式sin
x<－的解集是.
答案：
9．用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的图象．
解析：找出五个关键点，列表如下：
u＝x＋
0
π
2π
x
－
y＝cos
u
1
0
－1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
10．根据y＝cos
x的图象解不等式：－≤cos
x≤，x∈[0，2π]．
解析：函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
[B组 能力提升]
11．方程|x|＝cos
x在(－∞，＋∞)内
( )
A．没有根
B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根
D．有无穷多个根
解析：在同一坐标系中作出函数y＝|x|及函数y＝cos
x的图象，如图所示．
由图知两函数的图象有两个交点，所以方程|x|＝cos
x有两个根．
答案：C
12．函数y＝cos
x＋|cos
x|，x∈[0，2π]的大致图象为
( )
解析：y＝cos
x＋|cos
x|＝
故选D.
答案：D
13．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象的上方，此时－答案：
14．在(0，2π)内，使sin
x>cos
x成立的x的取值范围为________．
解析：分别作出y＝sin
x、y＝cos
x的图象x∈(0，2π)(图略)，使y＝sin
x位于y＝cos
x上方的部分为.
答案：
15．方程sin
x＝在x∈时有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
解析：首先作出y＝sin
x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如图所示．
由图象知，如果y＝sin
x，x∈与y＝的图象有两个交点，那么方程sin
x＝，x∈就有两个不相等的实数根．
由图象可知，当≤<1，即－1x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin
x＝在x∈时有两个不相等的实数根．
16．用“五点法”作出函数y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
解析：列表如下：
x
－π
－
0
π
sin
x
0
－1
0
1
0
1－2sin
x
1
3
1
－1
1
(1)①由图象可知，当y>1时，－π②当y<1时，区间为(0，π)．
(2)当1x，x∈[－π，π]有两个交点．
PAGE第一章 三角函数
1．4 三角函数的图象与性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
[A组 学业达标]
1．函数f(x)＝x＋sin
x，x∈R
( )
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
答案：A
2．下列函数中，周期为的是
( )
A．y＝cos
4x
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝sin
解析：对于A，∵cos
4＝cos(2π＋4x)＝cos
4x，∴T＝；对于B，∵sin
2＝sin(π＋2x)＝－sin
2x，∴T≠.同理可知C，D的周期均不是.
答案：A
3．函数f(x)＝2|sin
x|的最小正周期为
( )
A．2π
B.
C．π
D.
解析：∵sin(x＋π)＝－sin
x，|sin
x|＝|－sin
x|，
∴f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝2|sin
x|的最小正周期为π.故选C.
答案：C
4．函数①y＝x2sin
x；②y＝sin
x，x∈[0，2π]；③y＝sin
x，x∈[－π，π]；④y＝xcos
x中，奇函数的个数为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
5．下列函数中，周期为2π的偶函数是
( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝|sin|
D．y＝|sin
2x|
答案：C
6．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________．
解析：∵T＝，∴f＝f＝f＝sinπ＝.
答案：
7．已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
解析：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依次循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.
答案：＋1
8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin
x，则f(x)的解析式是________．
解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin
x.
∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin
x.
∴f(x)＝sin|x|.
答案：f(x)＝sin|x|
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解析：(1)x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)
＝－sin
2x·(－cos
x)＝sin
2xcos
x.
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin
2xcos
x
＝－f(x)．
∴y＝f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin
x≤1，
∴1＋sin
x≥0，1－sin
x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域是R.
∵f(－x)＝＋
＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esin
x－e－sin
x≠0，∴sin
x≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin
x，求当x∈时，f(x)的解析式．
解析：x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin
x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin
x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin
x，x∈.
[B组 能力提升]
11．函数y＝cos(sin
x)的最小正周期是
( )
A. B．π C．2π D．4π
解析：cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin
x)＝cos(sin
x)，
∴T＝π，故选B.
答案：B
12．已知函数f(x)＝|sin
x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝的所有根的和等于( )
A．0
B．π
C．－π
D．－2π
解析：若f(x)＝，
则|sin
x|＝，
∴sin
x＝或sin
x＝－，
∵x∈[－2π，2π]，
∴方程sin
x＝的4个根关于x＝－对称，
则对称的2个根之和为－π，
则4个根之和为－2π，
同理，由对称性可得sin
x＝－的四个根之和为2π，故选A.
答案：A
13．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中的假命题是________．(写出所有假命题的序号)
解析：易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos
x是偶函数，①④都不成立．
答案：①④
14．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________．
解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，得f(x＋2)·f(x＋4)＝13，
∴f(x)＝f(x＋4)，
∴T＝4，
∴f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)．
∵f(1)·f(3)＝13，∴f(3)＝，∴f(99)＝.
答案：
15．判断函数f(x)＝ln(sin
x＋)的奇偶性．
解析：∵sin
x＋≥sin
x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin
x＝0且sin
x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin
x＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sin
x＋)
＝ln(－sin
x)＝ln(＋sin
x)－1
＝－ln(sin
x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
16．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
解析：当x∈时，g(x)＝f＝cos.
因为x＋∈，
所以由g(x)＝解得x＋＝－或，
即x＝－或－.
又因为g(x)的最小正周期为π.
所以g(x)＝的解集为
.
第一章 三角函数
1．4 三角函数的图象与性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
[A组 学业达标]
1．函数y＝sin的图象的一个对称中心是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：正弦曲线的对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求，故选B.
答案：B
2．函数y＝cos
x的最小值，最大值分别为
( )
A．0，1
B．－1，1
C．－，1
D．－1，
解析：由y＝cos
x的图象(如图)可知，当x＝时，y＝cos
x有最大值；当x＝π时，y＝cos
x有最小值－1.故选D.
答案：D
3．函数y＝－xcos
x的部分图象是
( )
解析：∵y＝－xcos
x是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C项；当x∈时，y＝－xcos
x<0，∴排除B项，故选D.
答案：D
4．函数y＝2sin的一个单调递减区间是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：令z＝2x－，函数y＝sin
z的单调递减区间是(k∈Z)．由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.令k＝0，得≤x≤.
答案：A
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值可能是( )
A.
B．－
C.
D.
解析：由题意，当x＝时，f(x)＝sin＝±1，故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝，故φ的值可能是.
答案：D
6．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π答案：(－π，0]
7．已知f(x)＝sin2x＋cos
x，x∈，则f(x)的值域为________．
解析：f(x)＝1－cos2x＋cos
x＝－＋.
∵x∈，∴cos
x∈，
∴f(x)∈.
答案：
8．对于函数f(x)＝sin
2x，下列选项中正确的是______．
①f(x)在上是递增的
②f(x)的图象关于原点对称
③f(x)的最小正周期为2π
④f(x)的最大值为2
解析：因为函数y＝sin
x在上是递减的，所以f(x)＝sin
2x在上是递减的，故①错误；因为f(－x)＝sin
2(－x)＝sin(－2x)＝－sin
2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故②正确；f(x)的最小正周期为π，故③错误；f(x)的最大值为1，故④错误．
答案：②
9．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解析：∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
10．已知函数f(x)＝2asin
x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解析：∵－≤x≤，
∴－≤sin
x≤1.
当a＝0，不满足题意．
若a>0，则
解得
若a<0，则
解得
故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12.
[B组 能力提升]
11．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin
x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则
( )
A．aB．bC．cD．c解析：由已知函数f(x)在上是增函数．因为π－2∈，π－3∈，π－3<1<π－2，所以f(π－3)答案：D
12．若函数y＝2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是
( )
A．4
B．8
C．2π
D．4π
解析：由图可知，图形S1与S2，S3与S4都是对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos
x的图象与直线y＝2所围成的图形面积等于矩形OABC的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形＝2×2π＝4π.
答案：D
13．y＝sin
x－|sin
x|的值域是________．
解析：∵y＝sin
x－|sin
x|＝∴－2≤y≤0.
答案：[－2，0]
14．函数y＝sin
x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于________．
解析：如图，当x∈[a1，b]时，值域为且b－a最大．当x∈[a2，b]时，值域为，且b－a最小．
∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×＋＋＝2π.
答案：2π
15．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
解析：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得
－＋≤x≤＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.
根据题意，得?
(k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
16．关于x的函数y＝2cos2x－2acos
x－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a的值，并对此时的a值求y的最大值．
解析：令cos
x＝t，t∈[－1，1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)，函数图象的对称轴为直线t＝.
当<－1，即a<－2时，函数y在[－1，1]上单调递增，ymin＝1≠；
当>1，即a>2时，函数y在[－1，1]上单调递减，ymin＝－4a＋1＝，解得a＝，与a>2矛盾；
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，ymin＝－－2a－1＝，a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，∴a＝－1.
此时ymax＝－4a＋1＝5.
综上可知，满足f(a)＝的a的值为－1，此时y的最大值为5.
PAGE第一章 三角函数
1．4 三角函数的图象与性质
1．4.3 正切函数的性质与图象
[A组 学业达标]
1．关于正切函数y＝tan
x，下列判断不正确的是
(
)
A．是奇函数
B．在整个定义域上是增函数
C．在定义域内无最大值和最小值
D．平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
解析：正切函数在整个定义域上不具有单调性，正切函数在每个单调区间内是增函数．
答案：B
2．函数y＝tan的定义域是
(
)
A.
B.
C.
D.
解析：x＋≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
答案：D
3．函数y＝tan在一个周期内的大致图象是
(
)
解析：由函数周期T＝＝2π，排除选项B、D.
将x＝π代入函数解析式中，得
y＝tan＝tan
0＝0，
故函数图象与x轴的一个交点为，排除C，故选A.
答案：A
4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是
(
)
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
解析：当x＝时，y＝tan＝tan＝1；
当x＝－时，y＝tan＝tan＝1；
当x＝时，y＝tan＝tan＝－1；
当x＝时，y＝tan＝tan，不存在．
答案：D
5．若f(x)＝tan，则
( )
A．f(1)>f(0)>f(－1)
B．f(0)>f(1)>f(－1)
C．f(0)>f(－1)>f(1)
D．f(－1)>f(0)>f(1)
解析：f(0)＝tan，f(－1)＝tan，f(1)＝tan＝tan＝tan.
∵－<1－π<－1<<，
又y＝tan
t在t∈上是增函数，
∴tan>tan>tan，
∴f(0)>f(－1)>f(1)．
答案：C
6．函数y＝的定义域是________．
解析：由1－tan
x≥0，即tan
x≤1，结合图象(图略)可解得．
答案：，k∈Z
7．函数y＝tan，x∈的值域是________．
解析：∵x∈，∴＋∈，
∴tan∈(1，)．
答案：(1，)
8．关于函数y＝tan的说法正确的是________．(填所有正确答案的序号)
①在上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为.
解析：令x∈，则∈，所以y＝tan在上单调递增，①正确；tan＝－tan，故y＝tan为奇函数，②正确；T＝＝2π，所以③不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得x≠π＋2kπ，k∈Z，即函数y＝tan的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．
答案：①②
9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)tan与tan；
(2)tan与tan.
解析：(1)因为tan＝tan，tan＝tan，
又0<<<，y＝tan
x在内单调递增，
所以tan(2)因为tan＝－tan，tan＝－tan，
又0<<<，y＝tan
x在内单调递增，
所以tan>tan，所以－tan<－tan，
即tan10．画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解析：由y＝|tan
x|，得
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
[B组 能力提升]
11．已知a，b是不等于1的正数，θ∈，若atan
θ>btan
θ>1，则下列关系式成立的是
( )
A．a>b>1
B．aC．bD．b>a>1
解析：∵θ∈，∴－tan
θ>0.由atan
θ>btan
θ>1，即>>1，知>>1，∴a答案：B
12．函数y＝|tan
x|cos
x的部分图象是
( )
解析：当x∈∪时，tan
x≥0；当x∈时，tan
x<0.当x＝或时，tan
x无意义．从而当x∈∪时，y＝|tan
x|cos
x与y＝sin
x的图象相同；当x∈时，y＝|tan
x|cos
x与y＝sin
x的图象关于x轴对称，故选C.
答案：C
13．函数y＝tan2x－2tan
x的值域为________．
解析：令u＝tan
x，∵|x|≤，
∴由正切函数的图象知u∈[－，]，
∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，
∵二次函数y＝u2－2u图象开口向上，对称轴方程为u＝1，
∴当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1，
当u＝－时，ymax＝3＋2，
∴原函数的值域为[－1，3＋2]．
答案：[－1，3＋2]
14．关于函数f(x)＝tan有以下命题：
①函数f(x)的周期是；
②函数f(x)的定义域是；
③y＝f(x)是奇函数；
④y＝f(x)的一个单调递增区间为.
其中，正确的命题是________．
解析：f(x)＝tan的周期T＝，故①正确；f(x)的定义域为，故②不正确；f(x)是非奇非偶函数，故③不正确；f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故④不正确．
答案：①
15．已知函数y＝tan(ω<0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并讨论其单调性和奇偶性．
解析：y＝tan(ω<0)的周期为＝，解得ω＝2或ω＝－2.因为ω<0，所以ω＝－2，
故y＝tan＝－tan.
由2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，
所以该函数的定义域为，值域为R.
由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
令t＝2x－，所以y＝－tan
t，
该函数在(k∈Z)上单调递减．
由kπ－<2x－解得－所以所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
16．若函数y＝tan2
x－atan
x的最小值为－6，求实数a的值．
解析：设t＝tan
x．因为|x|≤，所以tan
x∈[－1，1]，则原函数化为y＝t2－at＝－，对称轴方程为t＝.
①若－1≤≤1，即－2≤a≤2，
则当t＝时，ymin＝－＝－6，
所以a2＝24，不符合题意，舍去；
②若<－1，即a<－2，则二次函数在[－1，1]上单调递增，当t＝－1时，ymin＝1＋a＝－6，所以a＝－7；
③若>1，即a>2，则二次函数在[－1，1]上单调递减，
当t＝1时，ymin＝1－a＝－6，所以a＝7.
综上所述，实数a的值为－7或7.
PAGE第一章 三角函数
1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
[A组 学业达标]
1．函数y＝2sin的周期，振幅依次是
( )
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
解析：周期T＝＝4π，振幅为2，故选B.
答案：B
2．把函数y＝cos
2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：由题意，y＝cos
2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y＝cos
x＋1；再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos(x＋1)＋1；最后向下平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos(x＋1)，显然点在此函数图象上．故选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是
( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：因为f(x)＝－cos
x，故根据余弦函数的图象可知D是错误的．故选D.
答案：D
4．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为
( )
A．4
B．2
C．1
D.
解析：函数f(x)的周期T＝4.因为对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以|x1－x2|min＝＝2.
答案：B
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(2)＝________．
解析：由三角函数的图象可得T＝3－1＝2，所以最小正周期T＝＝，解得ω＝.又因为f(1)＝sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin，k∈Z，即f(x)＝sin.
所以f(2)＝sin＝sin＝－.
答案：－
6.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．
解析：由图易知A＝3，＝－π＝2π，∴T＝4π，ω＝＝，∴f(x)＝3sin.将代入，得sin＝1.∵|φ|<，
∴＋φ＝，解得φ＝，∴f(x)＝3sin.
答案：3sin
7．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：由函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，且f＝－2，故有－2sin＝－2，
∴sin＝1，∴φ＝，
∴函数f(x)＝－2sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间．
解析：(1)由题图知T＝－＝，∴T＝π，最大值为1，最小值为－1.
(2)由(1)知ω＝＝2.又2×＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又－<φ<，∴φ＝，A＝1.则f(x)＝sin，由图知f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
9．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将y＝f(x)的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：(1)＝π－π＝π，
∴T＝π，ω＝＝2，
又sin＝1，|φ|<，
∴φ＝－，∴f(x)＝sin，
∴g(x)＝sin.
(2)g(x)在上为增函数，在上为减函数，所以g(x)max＝g＝1，
又g(0)＝，g＝－，
所以g(x)min＝－，
故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和－.
[B组 能力提升]
10．已知函数f(x)＝sin.若存在a∈(0，π)，使得f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则a的值是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为f(x＋a)＝f(x－a)，所以函数f(x)＝sin的周期为2a.因为a∈(0，π)，所以2a＝，即a＝，故选D.
答案：D
11.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，f＝－，则f(0)＝
( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：由图象可知所求函数的周期为T＝2＝，故ω＝＝3.将代入解析式，得Acos＝0，即cos＝0，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos.
又∵f＝－，∴f＝－Asin＝－A＝－，∴A＝.
∴f(0)＝cos＝cos＝.
答案：B
12．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f等于________．
解析：由题意知，k∈Z，
解之得ω＝2，φ＝＋2kπ，
又因为|φ|<，
所以φ＝.
所以f(x)＝sin.
所以f＝sin＝cos＝.
答案：
13．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则正整数ω的值是________．
解析：因为函数f(x)＝sin单调递减时，ωx＋∈，k∈Z，又因为ω>0，当k＝0时，x∈.又已知x∈时，函数f(x)单调递减，所以解得≤ω≤.又因为ω为正整数，所以ω＝1.而当k≠0时，ω无解．综上，ω＝1.
答案：1
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求ω和φ的值．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.
又∵0≤φ≤π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin＝cos
ωx.
∵图象关于点M对称，∴cosω＝0，
∴ω＝＋nπ，n∈Z，∴ω＝＋n，n∈Z.
又∵f(x)＝cos
ωx在单调函数
∴≥
∴0<ω≤2
∴当n＝0时，ω＝，
当n＝1时，ω＝2
∴ω＝或2.
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设π解析：(1)A＝2.
当x＝0时，f(0)＝1，
∴sin
φ＝，
|φ|<，∴φ＝.
由函数图象知＝－＝，
所以T＝π，得ω＝2.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)由(1)知函数y＝2sin，x∈.
若π所以m的取值范围为－2当－2PAGE第一章 三角函数
1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
[A组 学业达标]
1．要得到函数y＝sin的图象，只要把函数y＝sin
x的图象
( )
A．向上平移个单位长度
B．向下平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：由题意，只要把函数y＝sin
x的图象向右平移个单位长度即可．
答案：D
2．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cos
x的图象上的所有点
( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
解析：由图象的周期变换可知，A正确．
答案：A
3．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象
( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：y＝sin＝sin，故只需将函数y＝sin
4x的图象向右平移个单位长度．故选B.
答案：B
4．把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为
( )
A．y＝2sin
2x B．y＝－2sin
2x
C．y＝2cos
D．y＝2cos
解析：把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，所得图象的函数解析式为y＝cos
2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y＝2cos
2x，最后把图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2cos＝－2sin
2x.
答案：B
5．把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象．若g(x)的图象关于y轴对称，则φ的值为
( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：由题意，得g(x)＝sin＝sin.
∵g(x)的图象关于y轴对称，∴g(x)为偶函数，
∴2φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝＋(k∈Z)．
当k＝0时，φ＝；当k＝1时，φ＝，故选D.
答案：D
6．将函数y＝sin
2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________．
解析：y＝sin
2x的图象
y＝sin
2＝sin
x的图象
y＝sin
x的图象，即所得图象的解析式为y＝sin
x.
答案：y＝sin
x
7．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝2sin(x＋)的图象，只需将y＝f(x)的图象上各点的纵坐标变为原来的________倍，横坐标变为原来的________倍．
解析：由条件知ω＝2，所以只需将y＝f(x)的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍，即可得到y＝g(x)的图象，且两个变换没有先后顺序．
答案：2 2
8．将函数y＝sin
x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________．
解析：因为φ∈[0，2π)，所以把y＝sin
x的图象向左平移φ个单位长度得到y
＝sin(x＋φ)的图象．因为sin＝sin＝sin，所以φ＝.
答案：
9．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到的？
解析：先把函数y＝sin
x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin
－3的图象(答案不唯一)．
10．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin
x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解析：(1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
由x－＝0，，π，，2π，
解得x＝，，，，.
列表如下：
x
x－
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图，图象如下：
(2)先把y＝sin
x的图象向右平移个单位长度，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，得到f(x)的图象．
[B组 能力提升]
11．设函数f(x)＝cos
ωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于
( )
A.
B．3
C．6
D．9
解析：将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝cos，所得图象与原图象重合，所以cos＝cos
ωx，则－ω＝2kπ(k∈Z)，得ω＝－6k(k∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.
答案：C
12．将函数y＝sin
2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意得，将函数y＝sin
2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得函数y＝sin
2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象．因为它是偶函数，所以2φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小值是，故选C.
答案：C
13．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________．
解析：将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1.
答案：2sin－1
14．将函数f(x)＝cos
2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝________．
解析：f(x)＝cos
2x纵坐标伸长到原来的2倍，得到g(x)＝2cos
2x，向左平移个单位，得到g(x)＝2cos＝2cos，
∴g＝2cos＝－2.
答案：－2
15．使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin
2x的图象相同，求f(x)的表达式．
解析：(正向变换)
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f，
即y＝f，
∴f＝sin
2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，
即f(x)＝sin.
16．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解析：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin
x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝，k∈Z，
解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
PAGE第一章 三角函数
1．6 三角函数模型的简单应用
[A组 学业达标]
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为
( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
解析：单摆来回摆动一次所需的时间为函数s＝6sin的周期．又因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1
s，故选D.
答案：D
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，“五一”期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则人流量增加的时间段是
( )
A．[0，5]
B．[5，10]
C．[10，15]
D．[15，20]
解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]．因为[10，15]?[3π，5π]，故选C.
答案：C
3．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
( )
A．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
解析：在给定的四个选项中，我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.
答案：A
4.如图所示的是一半径为3
m的圆形水轮，水轮的中心O距离水面2
m，已知水轮自点B开始旋转，15
s旋转一圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有
( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
解析：∵T＝15，∴ω＝＝.
显然ymax－ymin＝6，
∴A＝＝＝3.
答案：A
5.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是
( )
A．2，
B.，
C.，π
D．2，π
解析：当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为.
答案：B
6．已知某种交流电电流i(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数i＝5sin，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5
s内往复运行________次．
解析：∵周期T＝＝(s)，∴频率为每秒50次，
∴0.5秒往复运行25次．
答案：25
7．据市场调查，某种商品每件的售价按月份x呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x)＝________，x＝1，2，…，12.
解析：由题意得解得周期T＝2×(7－3)＝8，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin＋6.
又∵当x＝3时，y＝8，∴8＝2sin＋6.
∴sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋6.
答案：2sin＋6
8．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间的关系的一个三角函数关系式为________．
t/s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y/cm
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，∴ω＝＝＝，∴y＝4sin.
又由4sin
φ＝－4.0，得sin
φ＝－1，取φ＝－，
故y＝4sin＝－4cost，t≥0.
答案：y＝－4cost，t≥0
9．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？
解析：(1)由函数易知，当x＝14时，函数取得最大值，此时最高温度为30
℃，当x＝6时，函数取得最小值，此时最低温度为10
℃，所以最大温差为30－10＝20.
(2)令10sin＋20＝15，得sin＝－，
因为x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，得sin＝.
因为x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．
10．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解析：(1)由已知可设y＝40.5－40cos
ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝，所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，
所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8，所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
[B组 能力提升]
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2
＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1]
B．[1，7]
C．[7，12]
D．[0，1]和[7，12]
解析：由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0，12]．可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．
答案：D
12.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
解析：如图，过O作OD⊥AP于D.由题意知，∠AOD＝，OA＝1，AD＝，∴sin＝，即d＝2sin.结合图象知选C.
答案：C
13．如图所示，某市拟在长为8
km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin
ωx(A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°，则M，P两点间的距离为________km.
解析：依题意，有A＝2，＝3.
又因为T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx，x∈[0，4]．当x＝4时，y＝2sin＝3，所以M(4，3)．
又因为P(8，0)，
所以|MP|＝＝＝5(km)，即M，P两点间的距离为5
km.
答案：5
14．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析：根据题意得28＝a＋A，18＝a＋Acos＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以y＝23＋5cos.令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
15.如图，为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8
m，圆上最低点与地面的距离为0.8
m，60
s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离是h.
(1)求h与θ之间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t
s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．
解析：
(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故点B坐标为
.
∴h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t
s转过的弧度数为.
∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4
m.
由sin＝1，得t－＝，∴t＝30.
∴缆车到达最高点时，用的最少时间是30
s.
16．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y
＝f(t)，下面是某日水深的数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asin
ωx＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5
m或5
m以上时是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5
m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?
解析：(1)由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝＝＝，
∴y＝3sint＋10.
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(m)，
∴3sint＋10≥11.5，
∴sint≥，
解得2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)，
在同一天内，取k＝0或k＝1，
∴1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时．
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