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数系的扩充和复数的概念
[A组 学业达标]
1．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．
答案：C
2．－(2－i)的虚部是( )
A．－2
B．－
C.
D．2
解析：∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.
答案：C
3．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2，所以a＋b＝1，故选A.
答案：A
4．方程1－z4＝0在复数范围内的根共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：由已知条件可得z4＝1，
即z2＝±1，故z1＝1，z2＝－1，z3＝i，z4＝－i，
故方程有4个根．
答案：D
5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直接法：
∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
解析：复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是
解得即m＝－2.
故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．
答案：－2
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________
解析：由复数相等的充要条件有：
?
答案：2 ±2
8．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
9．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
解析：z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，
所以m＝－1时，z是纯虚数．
10．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1
解析：由于z1当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1[B组 能力提升]
1．已知复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1
B．1
C．－1
D．0或－1
解析：因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.
答案：C
2．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确的有________．
解析：若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．
答案：①②③⑥
3．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，则实数m的值是________．
解析：设x＝a为方程的一个实根，
则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
因为a，m∈R，由复数相等的充要条件，
有解得
答案：
4．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解析：因为M∪P＝P，所以M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
PAGE复数的几何意义
[A组 学业达标]
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
答案：C
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3
B．1
C．3
D．2
解析：依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A.
答案：A
3．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：由题意知即－3答案：A
4．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
解析：因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
答案：B
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
A．－＋i
B.－i
C．－－i
D.＋i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.
答案：D
6．在复平面内，复数z＝sin
2＋cos
2i对应的点位于________象限．
解析：由<2<π，知sin
2>0，cos
2<0
∴复数z对应点(sin
2，cos
2)位于第四象限．
答案：第四
7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析：复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)．所以z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
8．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
解析：因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
答案：－1－5i
9．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点满足下列条件？
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上．
解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
[B组 能力提升]
1．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1
B.
C.
D．2
解析：∵(1＋i)x＝1＋yi，
∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
答案：B
2．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i
B．2
C．(－1，)
D．－1＋i
解析：∵||＝|z|＝2，及与实轴正方向夹角为120°.
设z＝x＋yi(x，y∈R)
则x＝|z|·cos
120°＝2cos
120°＝－1，y＝|z|sin
120°＝.
∴复数z＝－1＋i.
答案：D
3．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
4．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
解析：|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．
故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
答案：2＋1
5．已知z1＝cos
θ＋isin
2θ，z2＝sin
θ＋icos
θ，当θ为何值时，z1和z2满足下列条件？
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2对应点关于x轴对称；
(3)|z2|<.
解析：(1)z1＝z2?
??θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
?
?
?θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(3)|z2|<
?3sin2θ＋cos2θ<2?sin2θ<
?kπ－<θPAGE复数代数形式的加减运算及其几何意义
[A组 学业达标]
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
解析：原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
答案：A
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．
答案：D
3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
答案：B
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.
答案：D
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
解析：依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.
答案：D
6．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0.又∵|z|＝3，∴b＝3，∴z＝3i.
答案：3i
7．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD，则||等于________．
解析：如图，设D(x，y)，F是?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以则
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以＝－＝3＋3i－1＝2＋3i，
所以||＝.
答案：
8．若复数z满足z－1＝cos
θ＋sin
θi，则|z|的最大值为________．
解析：∵z－1＝cos
θ＋sin
θi，
∴z＝1＋cos
θ＋sin
θi.
则|z|＝＝≤2.
答案：2
9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值．
解析：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0，
所以m＝1或2.
(2)若z为纯虚数，
则
解得m＝－.
故当m＝－时，z为纯虚数．
10．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
解析：(1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
[B组 能力提升]
1．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
答案：A
2．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.
答案：B
3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则
所以
所以z＝－4i.
答案：－4i
4．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解析：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，
B(－cos2θ，cos
2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos
2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos
2θ－1)
＝(－1，－2sin2θ)．
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，
代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin
θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，
∴sin
θ＝，∴θ＝或.
PAGE复数代数形式乘除运算
[A组 学业达标]
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．－i
B．i
C．－1
D．1
解析：z＝＝－i.
答案：A
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
答案：A
3．i为虚数单位，2＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
解析：2＝＝＝－1.
答案：A
4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．
答案：B
5．复数(为虚数单位)的实部等于________．
解析：由题可得＝－3－i，－3－i的实部为－3.
答案：－3
6．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
解析：∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
答案：1
7．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是________(填序号)．
①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1.
解析：z＝＝＝－1－i，
所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i.z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．
答案：②④
8．已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值.
解析：(1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
所以解得m＝5，n＝－12.
9．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知
得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
[B组 能力提升]
1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：A.|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；
B．z1＝2?1＝2＝z2，真命题；
C．|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；
D．当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
答案：D
2．在复数范围内方程x2－5|x|＋6＝0的解的个数为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则原方程可化为(a＋bi)2－5＋6＝0，
即
解得或或
答案：C
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________．
解析：z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.∴z的虚部为1.
答案：1
4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，
所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.
所以所以a＝.
答案：
5．已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，w＝，且|w|＝5，求w.
解析：设w＝x＋yi(x，y∈R)，
由w＝，得z＝w(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0.①
又|w|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴w＝1＋7i或w＝－1－7i.
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