章末综合检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知cos
x＝，则cos
2x＝
( )
A．－ B. C．－ D.
解析：cos
2x＝2cos2
x－1＝2×－1＝.
故选D.
答案：D
2．已知cos＝，则sin
2α＝
( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵cos＝，
∴2cos2－1＝2×－1＝－＝cos＝cos＝sin
2α.
答案：D
3．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵θ∈，∴2θ∈，
∴cos
2θ＝－＝－＝－.
∴sin2θ＝＝＝，∴sin
θ＝.
答案：D
4．y＝sincos＋cossin的图象的一条对称轴方程是
( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝π
D．x＝
解析：y＝sincos＋cos·sin＝sin＝sin＝cos
x，故选C.
答案：C
5．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：设这个等腰三角形的顶角为2α，底角为β，
则2α＋2β＝π且cos
2α＝，∴α＋β＝.
∴sin
β＝sin＝cos
α＝＝.
答案：C
6．4sin
80°－＝
( )
A.
B．－
C.
D．2－3
解析：因为4sin
80°－＝＝
＝＝－，
故选B.
答案：B
7．设函数f(x)＝2cos2x＋sin
2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，则α的值为
( )
A．4
B．－6
C．－4
D．－3
解析：f(x)＝2cos2x＋sin
2x＋a＝1＋cos
2x＋sin
2x＋a＝2sin＋a＋1.当x∈时，2x＋∈，∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4.∴a＝－4.故选C.
答案：C
8．已知θ为第二象限角，且cos＝－，则的值是
( )
A．－1
B.
C．1
D．2
解析：∵θ为第二象限角，∴为第一或第三象限角．
∵cos＝－，∴为第三象限角且sin＝－，
∴＝＝1.故选C.
答案：C
9．y＝sin－sin
2x的一个单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：y＝sin－sin
2x＝sin
2xcos－cos
2xsin－sin
2x＝－sin
2x－cos
2x＝－sin.
∴y＝－sin的单调递增区间是y＝sin的单调递减区间．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.令k＝0，得x∈.故选B.
答案：B
10．若3cos＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin
2θ的值是
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵3cos＋cos(π＋θ)＝0，
由诱导公式可得3sin
θ－cos
θ＝0，即tan
θ＝，
∴cos2θ＋sin
2θ＝＝＝＝.
答案：C
11．当y＝2cos
x－3sin
x取得最大值时，tan
x的值是
( )
A.
B．－
C.
D．4
解析：y＝2cos
x－3sin
x＝＝
(sin
φcos
x－cos
φsin
x)＝sin(φ－x)．
当sin(φ－x)＝1，即φ－x＝2kπ＋(k∈Z)时，
y取到最大值．
∴φ＝2kπ＋＋x(k∈Z)，∴sin
φ＝cos
x，
cos
φ＝－sin
x，
∴cos
x＝sin
φ＝，sin
x＝－cos
φ＝－.
∴tan
x＝－.
答案：B
12．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin
B·cos2＋cos
2B.若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是
( )
A．(－∞，1)
B．(－3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(1，＋∞)
解析：f(B)＝4sin
Bcos2＋cos
2B＝4sin
B＋cos
2B＝2sin
B(1＋sin
B)＋(1－2sin2B)＝2sin
B＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sin
B－1恒成立．
∵0B≤1.∴－1<2sin
B－1≤1，
∴m>1.故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．tan
20°＋4sin
20°＝________．
解析：原式＝＋4sin
20°＝＝＝＝
＝.
答案：
14．已知sin－cos
α＝，则cos＝________．
解析：∵sin－cos
α＝，
∴sincos
α－cossin
α－cos
α
＝－sin
α－cos
α＝－sin＝，
∴sin＝－，
∴cos＝1－2sin2＝1－2×＝.
答案：
15．设tan
α＝(1＋m)，tan(－β)＝(tan
αtan
β＋m)，且α，β为锐角，则α＋β的值为________．
解析：从已知条件中解出α，β显然是十分困难的．由题设条件，比较容易联想到正切的和角公式．
∵tan
α＝(1＋m)，tan(－β)＝(tan
αtan
β＋m)，
两式相减得tan
α＋tan
β＝(1－tan
αtan
β)，
∴＝.
又α，β为锐角，所以α＋β＝.
答案：
16．已知α、β∈(0，π)且tan(α－β)＝，cos
β＝－，则tan(2α－β)＝________．
解析：∵0<β<π，cos
β＝－，
∴sin
β＝＝，
∴tan
β＝－.
又∵tan(α－β)＝，
∴tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝
＝＝1.
答案：1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知cos
α＝－，sin
β＝，α是第三象限角，β∈.
(1)求sin
2α的值；
(2)求cos(2α＋β)的值．
解析：(1)∵α是第三象限角，cos
α＝－，
∴sin
α＝－＝－，
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝.
(2)∵β∈，sin
β＝，
∴cos
β＝－＝－.
又∵cos
2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α＋β)＝cos
2αcos
β－sin
2αsin
β
＝×－×＝－.
18．(12分)在△ABC中，m＝(2sin
B－sin
C，cos
C)，n＝(sin
A，cos
A)，且m∥n.
(1)求角A的值；
(2)求y＝2sin2B＋cos的最大值．
解析：(1)∵m∥n，∴(2sin
B－sin
C)cos
A－sin
Acos
C＝0，
∴2sin
Bcos
A－sin(A＋C)＝0，即sin
B(2cos
A－1)＝0.
∵sin
B≠0，∴2cos
A－1＝0，即cos
A＝，∴A＝.
(2)y＝2sin2B＋cos
＝1－cos
2B＋coscos
2B＋sinsin
2B
＝sin
2B－cos
2B＋1＝sin＋1.
∵A＝，∴0∴－<2B－<π，
∴当2B－＝，即B＝时，y有最大值2.
19．(12分)已知向量m＝(cos
x，sin
x)，n＝(2＋sin
x，2－cos
x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
解析：(1)因为f(x)＝m·n＝cos
x(2＋sin
x)＋sin
x·(2－cos
x)＝2(sin
x＋cos
x)＝4sin(x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又x∈，即x＋∈，
所以cos＝－.
cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
20.
(12分)如图，点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解析：∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，PA＝cos
α，PB＝sin
α.
又∵PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin
α
＝sin
αcos
α＋sin2α＝sin
2α＋(1－cos
2α)
＝(sin
2α－cos
2α)＋＝sin＋.
∵0<α<，∴－<2α－<π，
∴当2α－＝，即α＝π时，S四边形ABTP最大．
21．(12分)已知函数f(x)＝4sincos
x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在区间上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．
解析：(1)f(x)＝4sincos
x＋
＝4cos
x＋
＝2sin
xcos
x－2cos2x＋
＝sin
2x－cos
2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)．
∴f(x)的递增区间为(k∈Z)．
(2)∵方程g(x)＝f(x)－m＝0同解于f(x)＝m，
在直角坐标系中画出函数y＝f(x)＝2sin在上的图象如图，由图象可知，
当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，
故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.
22．(12分)已知向量a＝(m，cos
2x)，b＝(sin
2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
解析：(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin
2x＋ncos
2x.
因为y＝f(x)的图象过点和，
所以
即解得
(2)由(1)知f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝2sin.
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得sin＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝，
因此g(x)＝2sin＝2cos
2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，
k∈Z.
PAGE章末综合检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知cos
x＝，则cos
2x＝
( )
A．－ B. C．－ D.
2．已知cos＝，则sin
2α＝
( )
A.
B．－
C.
D．－
3．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝
( )
A.
B.
C.
D.
4．y＝sincos＋cossin的图象的一条对称轴方程是
( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝π
D．x＝
5．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为( )
A.
B．－
C.
D．－
6．4sin
80°－＝
( )
A.
B．－
C.
D．2－3
7．设函数f(x)＝2cos2x＋sin
2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，则α的值为
( )
A．4
B．－6
C．－4
D．－3
8．已知θ为第二象限角，且cos＝－，则的值是
( )
A．－1
B.
C．1
D．2
9．y＝sin－sin
2x的一个单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
10．若3cos＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin
2θ的值是
( )
A．－
B．－
C.
D.
11．当y＝2cos
x－3sin
x取得最大值时，tan
x的值是
( )
A.
B．－
C.
D．4
12．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin
B·cos2＋cos
2B.若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是
( )
A．(－∞，1)
B．(－3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．tan
20°＋4sin
20°＝________．
14．已知sin－cos
α＝，则cos＝________．
15．设tan
α＝(1＋m)，tan(－β)＝(tan
αtan
β＋m)，且α，β为锐角，则α＋β的值为________．
16．已知α、β∈(0，π)且tan(α－β)＝，cos
β＝－，则tan(2α－β)＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知cos
α＝－，sin
β＝，α是第三象限角，β∈.
(1)求sin
2α的值；
(2)求cos(2α＋β)的值．
18．(12分)在△ABC中，m＝(2sin
B－sin
C，cos
C)，n＝(sin
A，cos
A)，且m∥n.
(1)求角A的值；
(2)求y＝2sin2B＋cos的最大值．
19．(12分)已知向量m＝(cos
x，sin
x)，n＝(2＋sin
x，2－cos
x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
20.
(12分)如图，点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
21．(12分)已知函数f(x)＝4sincos
x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在区间上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．
22．(12分)已知向量a＝(m，cos
2x)，b＝(sin
2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
PAGE
