章末检测(三)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
解析：i＋i2＋i3＝i＋(－1)－i＝－1.
答案：A
2．已知i为虚数单位，复数z＝，则复数z的虚部是( )
A．－i
B．－
C.i
D.
解析：＝＝＝－i，则复数z的虚部是－.
答案：B
3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：设z＝a＋bi(a<0，b>0)
∴＝a－bi对应点的坐标是(a，－b)，是第三象限点B.
答案：B
4．i是虚数单位，复数z＝的共轭复数＝( )
A．1－i
B．1＋i
C.＋i
D．－＋i
解析：z＝＝＝＝1－i
∴＝1＋i.
答案：B
5．若复数z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)为纯虚数，则|z|等于( )
A．2
B.
C.
D．1
解析：∵z＝x－1＋(x＋1)i为纯虚数且x∈R，
∴得x＝1，z＝2i，|z|＝2.
答案：A
6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，
依题意4t－3＝0，∴t＝.
答案：A
7．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数，∴
∴a＝±b，即z在直线y＝±x(x≠0)上．
答案：C
8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
解析：由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，
∴z＝＝＝＝3－i.
答案：A
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：m＝1时，z1＝3－2i＝z2，故“m＝1”是“z1＝z2”的充分条件．
由z1＝z2，得m2＋m＋1＝3，且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，故“m＝1”不是“z1＝z2”的必要条件．
答案：A
10．已知0
A．(1,5)
B．(1,3)
C．(1，)
D．(1，)
解析：由已知得|z|＝.
由0∴|z|＝∈(1，)．故选C.
答案：C
11．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是( )
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．|z|＝|1|2
解析：A错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；B错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；C错，反例：z1＝1，z2＝i；D正确，z1＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2，|1|2＝a2＋b2，故|z|＝|1|2.
答案：D
12．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，
∴得∴λ＋μ＝1.
答案：A
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设i为虚数单位，则＝________.
解析：＝＝＝－－.
答案：－－
14．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程组，得则a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
解析：a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
答案：8
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
答案：2π
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
解析：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当
即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当
即k＝－1时，z是0.
18．(12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.
解析：因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，
所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，
得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，
所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，
所以解得所以z2＝i.
19．(12分)计算：(1)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解析：(1)原式＝
＝＝＝＝＝－1＋i.
(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
20．(12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由z＋2i为实数，得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知
解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
综上知，S△ABC＝1.
22．(12分)已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；
(2)求|z－4|的取值范围.
解析：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i∈R，
所以y－＝0，
因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝
＝＝∈(1,5)．
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
2．已知i为虚数单位，复数z＝，则复数z的虚部是( )
A．－i
B．－
C.i
D.
3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
4．i是虚数单位，复数z＝的共轭复数＝( )
A．1－i
B．1＋i
C.＋i
D．－＋i
5．若复数z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)为纯虚数，则|z|等于( )
A．2
B.
C.
D．1
6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A.
B.
C．－
D．－
7．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知0A．(1,5)
B．(1,3)
C．(1，)
D．(1，)
11．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是( )
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．|z|＝|1|2
12．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设i为虚数单位，则＝________.
14．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
18．(12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.
19．(12分)计算：(1)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
20．(12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
22．(12分)已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；
(2)求|z－4|的取值范围.
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