章末综合检测(一)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝cos的最小正周期是
( )
A. B．π C．2π D．4π
答案：B
2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是( )
A．1
B．4
C．1或4
D．2或4
解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
答案：C
3．f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)的值为
( )
A．－
B.
C.
D．－
解析：因为sin
15°＝cos
75°，所以f(sin
15°)＝f(cos
75°)＝cos
150°＝－cos
30°＝－.故选A.
答案：A
4．要得到函数f(x)＝cos
2x的图象，只需将函数g(x)＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个周期
B．向右平移个周期
C．向左平移个周期
D．向右平移个周期
解析：因为f(x)＝cos
2x＝sin＝sin，且函数g(x)的周期为＝
π，所以将函数g(x)＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，即向左平移个周期，可得函数f(x)＝cos
2x的图象，故选C.
答案：C
5．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：因为＝＝，所以角α的终边经过第二象限，根据任意角的三角函数的定义可得sin
α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin
α＝－，故选A.
答案：A
6．已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)＝
( )
A.
B．－
C．－
D．－1
解析：法一：由sin＋3cos(α－π)＝1，
得cos
α－3cos
α＝1，∴cos
α＝－，∵角α是第二象限角，
∴sin
α＝，∴tan(π＋α)＝tan
α＝＝－，故选B.
法二：由sin＋3cos(α－π)＝1，得cos
α－3cos
α＝1，∴cos
α＝－，∵角α是第二象限角，∴可取α＝，∴tan(π＋α)＝tan＝－，故选B.
答案：B
7.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
( )
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8，故选C.
答案：C
8．已知＝5，则sin2α－sin
αcos
α的值是
( )
A.
B．－
C．－2
D．2
解析：由＝5，得12cos
α＝6sin
α，
即tan
α＝2，所以sin2α－sin
αcos
α＝＝＝，故选A.
答案：A
9．若直线x＝aπ(0
x的图象无公共点，则不等式tan
x≥2a的解集为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：由正切函数的图象知，当直线x＝aπ(0x的图象没有公共点时，a＝，所以tan
x≥2a，即tan
x≥1，其解集是，故选B.
答案：B
10．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝×2＝2，所以ω＝π，又可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos＝0，＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝cos，所以由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，解得2k－答案：D
11．设ω是正实数，函数f(x)＝2cos
ωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是
( )
A.
B．2
C．3
D．4
解析：因为函数f(x)＝2cos
ωx在上单调递减，所以要使函数f(x)＝2cos
ωx(ω>0)在区间上单调递减，则有≤，即T≥，所以T＝≥，解得ω≤.所以ω的值可以是，故选A.
答案：A
12．将函数f(x)＝sin
2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．cosπ＝________．
解析：cosπ＝cos＝cosπ＝－.
答案：－
14．已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝处取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是________．
解析：因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝处取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是.(说明：填开区间也正确)
答案：
15．定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin
2x的图象与y＝cos
x的图象的交点个数是________．
解析：画图象(图略)验交点．
则x＝，，或x＝，，，，故所求交点个数是7.
答案：7
16．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数，
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)
解析：画出f(x)在[0，2π]上的图象，如图．由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误．由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ答案：③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)求值：sin2120°＋cos
180°＋tan
45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
解析：原式＝＋(－1)＋1－＋＝.
18．(12分)已知函数y＝2sin.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
(2)求它的振幅、周期和初相；
(3)根据图象写出它的单调递减区间．
解析：(1)令t＝＋，列表如下：
x
－
t
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象．
(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.
(3)由图象得单调递减区间为(k∈Z)．
19．(12分)函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解析：(1)∵f(x)＝sin，且T＝π，∴ω＝2.
于是f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.
20．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求sin的值．
解析：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
因为－≤φ<，所以k＝0，所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f＝sin＝，
所以sin＝.
由<α<，得0<α－<，
所以cos＝＝＝.
sin＝sin＝cos＝.
21．(12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos
x＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．
解析：存在．
y＝1－cos2x＋acos
x＋a－
＝－(cos
x－)2＋＋a－.
∵0≤x≤，∴0≤cos
x≤1.
若>1，即a>2，
则当cos
x＝1时，ymax＝a＋a－＝1，
解得a＝<2(舍去)；
若0≤≤1，即0≤a≤2.
则当cos
x＝时，ymax＝＋a－＝1.
解得a＝或a＝－4<0(舍去)；
若<0，即a<0，则当cos
x＝0时，ymax＝a－＝1，
解得a＝>0(舍去)．
综上所述，存在a＝符合题设条件．
22．(12分)函数f(x)＝1－2a－2acos
x－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R.
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
解析：(1)f(x)＝1－2a－2acos
x－2(1－cos2x)
＝2cos2x－2acos
x－1－2a＝2－－2a－1.
若<－1，即a<－2，则当cos
x＝－1时，
f(x)有最小值g(a)＝2－－2a－1＝1；
若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cos
x＝时，
f(x)有最小值g(a)＝－－2a－1；
若>1，即a>2，则当cos
x＝1时，
f(x)有最小值g(a)＝2－－2a－1＝1－4a.
∴g(a)
(2)若g(a)＝，由所求g(a)的解析式知只能是－－2a－1＝或1－4a＝.
由?a＝－1或a＝－3(舍)．
由?a＝(舍)．
此时f(x)＝2＋，得f(x)max＝5.
∴若g(a)＝，应a＝－1，此时f(x)的最大值是5.
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时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝cos的最小正周期是
( )
A. B．π C．2π D．4π
2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是( )
A．1
B．4
C．1或4
D．2或4
3．f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)的值为
( )
A．－
B.
C.
D．－
4．要得到函数f(x)＝cos
2x的图象，只需将函数g(x)＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个周期
B．向右平移个周期
C．向左平移个周期
D．向右平移个周期
5．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝
( )
A．－
B．－
C.
D.
6．已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)＝
( )
A.
B．－
C．－
D．－1
7.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
( )
A．5
B．6
C．8
D．10
8．已知＝5，则sin2α－sin
αcos
α的值是
( )
A.
B．－
C．－2
D．2
9．若直线x＝aπ(0x的图象无公共点，则不等式tan
x≥2a的解集为
( )
A.
B.
C.
D.
10．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
11．设ω是正实数，函数f(x)＝2cos
ωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是
( )
A.
B．2
C．3
D．4
12．将函数f(x)＝sin
2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．cosπ＝________．
14．已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝处取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是________．
15．定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin
2x的图象与y＝cos
x的图象的交点个数是________．
16．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数，
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)求值：sin2120°＋cos
180°＋tan
45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
18．(12分)已知函数y＝2sin.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
(2)求它的振幅、周期和初相；
(3)根据图象写出它的单调递减区间．
19．(12分)函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
20．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求sin的值．
21．(12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos
x＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．
22．(12分)函数f(x)＝1－2a－2acos
x－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R.
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
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