中小学教育资源及组卷应用平台
高一第一册--三角函数复习课（1）
要点一：任意角的概念
1.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
2.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
3.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
4.终边相同的角为
5.常用的象限角
角的终边所在位置
角的集合
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
坐标轴
是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
6.角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________
rad
2π
rad＝________
180°＝______
rad
π
rad＝________
1°＝______rad≈0.017
45
rad
1
rad＝______≈57°18′
【例1】（1）-300°化为弧度是（
）
A
B
C
D
（2）化成角度是（
）
A278°
B280°
C288°
D318°
【例2】（1）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
（2）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。
【例3】（1）若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。
（2）若角的终边落在第三、四象限，则的终边落在（
）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、四象限
D．第三、四象限
要点二：任意角的三角函数
1.设是一个任意角,它的终边与半径是的圆交于点,则，那么:
(1)做的正弦,记做,即；
(2)
叫做的余弦,记做,即；
(3)叫做的正切,记做,即.
2.三角函数在各象限的符号：
3.基本公式：(1)平方关系：
(2)商数关系：
（3）公式变形：，
。
（4）高端变形：平方关系
【例4】（1）已知角的终边上一点，且，求的值.
（2）求函数的值域．
【例5】（1）；
（2）．
．
（2）求下列函数的定义域
.
【例6】已知是的一个内角，且，求
【例7】（1）已知tan=3，求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）。
（2）化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
要点三：三角函数诱导公式
1.诱导公式
诱导公式一：
，，，其中
诱导公式二：
，
，，其中
诱导公式三：
，，
，其中
诱导公式四：
，
。
，
，其中
记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
2.凑角
；.
3.特殊角三角函数表
【例8】求sin(―1200°)·cos1290°+cos(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值．
【例9】（1）已知，求的值．
（2）已知，且为第四象限角，求sin(105°+)的值．
（3）
已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值．
【例10】
(1)
（2）.
（3）
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高一第一册--三角函数复习课（1）
要点一：任意角的概念
1.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
2.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
3.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
4.终边相同的角为
5.常用的象限角
角的终边所在位置
角的集合
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
坐标轴
是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
6.角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________
rad
2π
rad＝________
180°＝______
rad
π
rad＝________
1°＝______rad≈0.017
45
rad
1
rad＝______≈57°18′
【例1】（1）-300°化为弧度是（
）
A
B
C
D
（2）化成角度是（
）
A278°
B280°
C288°
D318°
答案：B
答案：C
【例2】（1）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
答案：解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α（2）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。
【答案】（1）
（2）
【例3】（1）若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。
【答案】（1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。
（2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。
（3）以为例讲解。把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起
(?http:?/??/?www.?/?wxc?/??)依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅱ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的
区域.由图可知，是第一、二、四象限角.
（2）若角的终边落在第三、四象限，则的终边落在（
）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、四象限
D．第三、四象限
答案：B；
要点二：任意角的三角函数
1.设是一个任意角,它的终边与半径是的圆交于点,则，那么:
(1)做的正弦,记做,即；
(2)
叫做的余弦,记做,即；
(3)叫做的正切,记做,即.
2.三角函数在各象限的符号：
3.基本公式：(1)平方关系：
(2)商数关系：
（3）公式变形：，
。
（4）高端变形：平方关系
【例4】（1）已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
.
（2）求函数的值域．
【答案】{－1，3}
【解析】
由题意知，角x的终边不在坐标轴上．
当x是第一象限角时，；
当x是第二象限角时，；
当x是第三象限角时，；
当x是第四象限角时，，
故函数的值域为{－1，3}．
【例5】（1）；（2）．
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围．
故满足条件的角的集合为．
（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围．
故满足条件的角的集合为．
（2）求下列函数的定义域
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），
（2），
【例6】已知是的一个内角，且，求
【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.
【解析】为钝角，
由平方整理得
【例7】（1）已知tan=3，求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）。
【思路点拨】由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解.
【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos≠0）得，
原式。
（2）原式的分子分母同除以cos2（cos2≠0）得，
原式。
（3）用“1”来代换，
原式。
（2）化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）－1（2）（3）略（4）略
【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
=
=，
要点三：三角函数诱导公式
1.诱导公式
诱导公式一：
，，，其中
诱导公式二：
，
，，其中
诱导公式三：
，，
，其中
诱导公式四：
，
。
，
，其中
记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
2.凑角
；.
3.特殊角三角函数表
【例8】求sin(―1200°)·cos1290°+cos(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值．
【答案】2
【解析】原式=－sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)－cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)+tan(2×360°+225°)=―sin(180°―60°)·cos(180°+30°)―cos(360°―60°)·sin(360°―30°)+tan(180°+45°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°．
【例9】（1）已知，求的值．
（2）已知，且为第四象限角，求sin(105°+)的值．
（3）
已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵，
∴．
（2）∵，且为第四象限角，
∴―75°是第三象限角，
∴，
∴．
【答案】
【解析】
∵cos(105°－)=cos[180°－(75°+)]=－cos(75°+)=,
sin(―105°)=―sin[180°－(75°+)]=－sin(75°+)，
∵为第三象限角，
∴75°+为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上．
又cos(75°+)=＞0，∴75°+为第四象限，
∴．
∴．
【例10】(1)；
.
【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
【答案】（1）-1（2）1
【解析】(1)原式；
(2)
原式
（3）原式．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
