安徽省定远县第二中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含答案

定远二中2020~2021学年度高二年级开学考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用false铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿上作答无效．
3．本卷命题范围：必修2、必修5．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列false中，若false，则公差false（ ）
A．false B．false C．3 D．false
2．在false中，角false的对边分别为false，若false，则角false为（ ）
A．false B．false或false C．false D．false
3．一平面截某几何体得一三棱台，则该几何体可能是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱锥 D．圆锥
4．若直线false和直线false互相垂直，则false（ ）
A．false B．0 C．1 D．2
5．如果false，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．某几何体的三视图如图所示，则其对应的几何体的直观图是（ ）
A． B． C． D．
7．若false满足false，则false的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．已知false是等差数列，false是等比数列，若false，则false（ ）
А．4 B．false C．false D．false
9．两个圆false与false的公切线恰好有2条，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．各项均正的数列false满足false，则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．直线false的倾斜角的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．如图，长方体false中，false，点false是false的中点，点false是false上一动点，点false在平面false上移动，则false的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系中，已知false，则false____________．
14．下列命题正确的是_________．（填写所有正确命题的序号）
①过已知平面外的一条直线，一定能作出与已知平面平行的平面；
②过已知平面外的一条直线，一定能作出与已知平面垂直的平面；
③过已知平面外的一点，有且只有一个平面与已知平面平行；
④过已知平面外的一点，有且只有一个平面与已知平面垂直．
15．数列false满足false，则数列false的前21项和为________．
16．false的三边分别为false，且false，则false的最小值等于_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在false中，角false的对边分别为false，且false．
（1）求角false；
（2）若false，且false的面积为false，求false的值．
18．（本小题满分12分）
已知不等式false的解集为false或false．
（1）求实数false的值；
（2）解不等式false．
19．（本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱false分别是棱false的中点．
（1）证明：false；
（2）证明：false平面false．
20．（本小题满分12分）
已知数列false的前false项和为false，且false．
（1）求数列false的通项公式；
（2）当false时，求数列false的前false项和false．
21．（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，false为全等的正三角形，且平面false平面false，平面false平面false，false．
（1）证明：false；
（2）求点false到平面false的距离．
22．（本小题满分12分）
已知圆false．
（1）若圆false上恰有三个点到直线false（斜率存在）的距离为1，且false在false轴和false轴上的截距相反，求false的方程．
（2）点false为直线false上的动点，点false为圆false上的动点．
（i）若直线false与圆false相切，求false的最小值；
（ii）若false为坐标原点，求false的最小值．
定远二中2020~2021学年度高二年级开学考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 因为false，所以false．
2．C
3．B 平行于三棱锥的底面截得的几何体为三棱台．
4．D 因为false，所以false，所以false，即false．
5．A
6．A 根据三种视图的对角线的位置关系，容易判断A正确．
7．A 8．C
9．B 圆false的圆心为false，半径false，圆false的圆心为false，半径false．圆心距false，两圆公切线恰好有2条，则两圆相交，由false，得false．
10．B
11．A 设直线false的倾斜角为false，当false时，false；
当false时，则false．
综上可得：false．
12．C 连接false交false于false，连接false，因为false分别为false的中点，所以false为false的中位线，则false，所以false平面false，所以false长度的最小值等于三棱锥false的高，记三棱锥false的高为false，由等体积法知，三棱锥false的体积false与三棱锥false的体积false相等，即false．因为false，所以false，false，所以false，所以false．
13．false false．
14．②③ 若直线与已知平面相交，则过该直线无法作出与已知平面平行的平面，故①错；平面外的一点，可以作出无数个平面与已知平面垂直，故④错；只有②③正确．
15．66 16．false
17．解：（1）false，又false， 2分
false， 4分
又false． 5分
（2）false，又false， 9分
false，故false． 10分
18．解：（1）由题意可知false，解得false， 5分
（2）不等式false，即false，所以false．
若false，不等式的解集为false；false，不等式的解集为false；false，不等式的解集为false． 11分
综上：若false，不等式的解集为false；false，不等式的解集为false；false，不等式的解集为false． 12分
19．证明：（1）因为三棱柱false是直棱柱，所以false平面false． 2分
又因为false平面false，所以false． 3分
因为false，且false，
所以false平面false． 5分
又因为false平面false，
所以false．
（2）取false的中点false，连接false．
因为false分别是棱false的中点，
所以false． 8分
又因为false，
所以false． 10分
所以四边形false是平行四边形，
所以false． 11分
又因为false平面false平面false，
所以false平面false． 12分
20．解：（1）false，得false，
又false．
故false． 6分
（2）false，
false． 12分
21．（1）证明：分别取false的中点false，连接false．因为false为正三角形，所以false． 2分
因为平面false平面false，平面false平面false，且平面false平false，
平面false平面false，
所以false平面false平面false，所以false． 3分
又因为false为全等的正三角形，所以false．
故四边形false为平行四边形， 4分
所以false．
因为false，
所以false． 6分
（2）解：记点false到平面false的距离为false，由图可知点false到平面false的距离与三棱锥false的高相等，而三棱锥false的体积与三棱锥false的体积相同． 7分
因为false，所以false的边长为false，
false，
所以三棱锥false的体积false． 8分
在梯形false中，false，
所以梯形false的高为false，所以false的面积false， 10分
于是由等体积法，可得false，
所以false，所以false． 11分
故点false到平面false的距离为false． 12分
22．解：（1）圆false的标准方程为false，
则false的圆心为false，半径为2． 1分
因为圆false上恰有三个点到直线false的距离为1，
所以圆心到直线false的距离为1． 2分
①当直线false在两坐标轴上的截距为零且斜率存在时，
设直线false的方程为false，
所以圆心到直线false的距离为false，即false，
所以false． 3分
②当直线false在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线false的方程为false，
所以圆心到直线false的距离为false，即false，解得false或false．
所以false或false． 5分
综上所述：直线false的方程为false或false或false． 6分
（2）（i）因为直线false与圆false相切，所以false，
所以当false最小时false最小， 7分
而当false与直线false垂直时，false最小，即false，
故false． 8分
（ii）记false关于直线false的对称点为false．
由false得false即false． 9分
因为false， 10分
所以当点false共线时，false最小， 11分
故false． 12分