2020-2021学年八年级数学苏科版下册第9章《中心对称图形—平行四边形》基础训练卷（三）（Word版 含解析）

八年级下册数学第9章《中心对称图形—平行四边形》
基础训练卷（三）
一．选择题
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为（　　）
A．4.8 B．5 C．9.6 D．10
4．如图，在正方形ABCD中，E位DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　）
A．15° B．10° C．20° D．25°
5．如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝10°，则∠AOB′的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（　　）
A．15 B．16 C．19 D．20
7．如图，?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如图，已知?ABCD的面积为24cm2，点P是边CD上的一动点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．15cm2
10．如图，在矩形ABCO中，点B的坐标为（1，3），则AC的长为（　　）
A．3 B． C． D．2
二．填空题
11．如图，在?ABCD中，AB＝4cm，BC＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝　 　cm．
13．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为　 　．
14．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为　 　．
三．解答题
16．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
17．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上）
（1）在图1中画四边形ABCD，使其为中心对称图形．
（2）在图2中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的顶点坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
19．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．
20．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数　 　；
②线段OD的长　 　；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
参考答案
一．选择题
1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB＝5，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?DH，
∴DH＝＝4.8．
故选：A．
4．解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°，
∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
5．解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝10°，
∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣10°＝35°，
故选：C．
6．解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
∴AE＝AF＝3，
∵S四边形ABCD＝AE?BC＝AF?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，
，
设AB＝BC＝x，则BE＝9﹣x，
∵BC2＝BE2+CE2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：
5×3＝15．
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
8．解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．
故选：A．
9．解：如图，作PE⊥AB于点E，
S△ABP＝AB?PE＝S平行四边形，
∵?ABCD的面积为24cm2，
∴△ABP的面积为12cm2，
∴阴影部分的面积为12cm2，
故选：C．
10．解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝7cm，
∴DF＝CF﹣CD＝7﹣4＝3cm，
故答案为：3cm．
12．解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6cm，
∴AB＝12cm，
∵E、F分别是BC、CA的中点，
∴EF＝AB＝6cm，
故答案为：6．
13．解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，
则BE＝×2＝1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝，
∵∠AOB＝90°，点E是AB的中点，
∴OE＝BE＝1，
由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，
∴OC的最大值＝+1．
故答案为：+1．
14．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2＝AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC?AE＝2×3＝6．
故答案是：6．
15．解：如图，连接MC，M'C，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∵M是AB的中点，
∴CM＝AB＝，
∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，
∴∠A′CM′＝∠ACM，
∵∠ACM+∠MCB＝90°，
∴∠MCB+∠BCM′＝90°，
又∵CM＝C′M′，
∴△CMM′是等腰直角三角形，
∴MM′＝CM＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
16．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
17．解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；
（2）如图2，四边形ABEF为所作．
18．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）点A1（2，﹣1）、B1（4，﹣5）、C1（5，﹣2）；
（3）S△A1B1C1＝3×4﹣×1×3﹣×2×4﹣×1×3＝5．
19．解：（1）BE＝BF．理由如下：
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，
∴AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，
在△ABE和△C1BF中
，
∴△ABE≌△C1BF，
∴BE＝BF
（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A1＝∠C1＝30°，
∵∠ABA1＝∠CBC1＝30°，
∴∠ABA1＝∠A1，∠CBC1＝∠C，
∴A1C1∥AB，AC∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形．
又∵AB＝BC1，
∴四边形BC1DA是菱形．
20．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．