2020-2021学年八年级数学苏科版下册第9章《中心对称图形—平行四边形》单元达标测试卷（Word版 含解析）

八年级下册数学第9章《中心对称图形—平行四边形》
单元达标测试卷
一．选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．14 D．12
4．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，在下列等式中：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；（3）∠ABC＝∠A′B′C′；④．其中正确的个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
7．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S＝2，则S1+S2＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
8．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠BDO＝60° B．∠BOC＝25° C．OC＝4 D．CD∥OA
9．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3），点B在第一象限，则点B的坐标是（　　）
A．（3，6） B．（6，3） C．（6，6） D．（3，3）
二．填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5．∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝　 　．
13．如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，则OD的最大值是　 　．
14．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使∠ABC＝45°，则四边形ABCD的面积为　 　．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°至△EBD，连接DC并延长交AE于点F，若CF＝1，CD＝2，则AE的长为　 　．
三．解答题
16．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）试判断四边形AEDF的形状．
（2）当△ABC满足　 　条件时，EF∥BC；当△ABC满足　 　条件时，EF＝AD．
17．已知△ABC和△ABC外一点O．
（1）画出△ABC，使△ABC与△ABC关于点O成中心对称．
（2）上图中的点能组成几个平行四边形？请写出所有的平行四边形．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；
（2）在（1）中的条件下，
①点A经过的路径的长为　 　（结果保留π）；
②写出点B′的坐标为　 　．
19．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝α，若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2，则此时旋转角为　 　（用含的式子表示）．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
20．感知：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合）．连结AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连结BE，过点D作DF∥AC交AB于点F，可知△ADF≌△EDB，则∠ABE的大小为　 　度．
探究：如图②，在△ABC中，∠C＝α（0°＜α＜90°）AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连结AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连结BE，求证：∠ABE＝α．
应用：设图②中的α＝60°，AC＝2．当△ABE是直角三角形时，AE＝　 　．
参考答案
一．选择题
1．解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：C．
3．解：∵菱形的两条对角线分别长8、6，
∴S＝×8×6＝24
故选：B．
4．解：如图，过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC．
∵DE的中点为G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，
∴DE：EF＝2：1．
∵∠DCE＝∠ENF＝90°，∠DEC+∠NEF＝90°，∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠DEC＝∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∴CE：FN＝DE：EF＝DC：NE＝2：1，
∴CE＝2NF，NE＝CD＝．
∵∠ACB＝45°，
∴当∠NCF＝45°时，A、C、F在一条直线上．
则△CNF是等腰直角三角形，
∴CN＝NF，
∴CE＝2CN，
∴CE＝NE＝×＝，
∴CE＝时，A、C、F在一条直线上．
故选：D．
5．解：∵△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，
∴BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′；
∵弧BB′与弧CC′所对的圆心角相等，而所在圆的半径不相等，
∴弧BB′与弧CC′不相等．
∴正确的有①②③．
故选：A．
6．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝3﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×1＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为；
故选：C．
7．解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝2，
∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝8．
故选：C．
8．解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，AO＝CO＝4、BO＝DO，
故C选项正确；
则△AOC、△BOD是等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
故A选项正确；
∵∠AOB＝35°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣35°＝25°，
故B选项正确；
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．
∴∠AFB＝∠FBC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC．
∴∠AFB＝∠ABF．
∴AF＝AB＝6．
同理可得DE＝DC＝6．
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．
故选：B．
10．解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB，CB＝OA，
∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3），
∴AB＝3，OA＝6，
∴点B坐标为（6，3），
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝3，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠DCF，
又∵∠EFA＝∠DFC，∠DFC＝∠DCF，
∴∠AEF＝∠EFA，
∴AE＝AF＝3，
故答案为：3．
12．解：连接CM，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB＝2，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN＝BC，MN∥BC，
∵CD＝BD，
∴MN＝CD，又MN∥BC，
∴四边形NDCM是平行四边形，
∴DN＝CM＝2，
故答案为：2．
13．解：取AB的中点K，连接OK、DK．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OK＝1，
再根据正方形的性质可得DK＝＝，
∵OK+DK＞OD，
∴当O、K、D三点共线时OD最长，
∴OD的最大值为1+，
故答案为：1+．
14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．则AE＝AF＝2．
∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是2，
∴S四边形ABCD＝BC×2＝CD×2，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
∴四边形ABCD的面积为2×2×＝4．
故答案是：4．
15．解：延长AC交DE于H，连接BH、BF，BH与DF交于N，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝90°，
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△EBD，
∴∠ABE＝90°，AB＝BE，∠CBD＝90°，∠BDE＝90°，BC＝BD，
∴四边形BCHD是正方形，△ABE是等腰直角三角形，
∴∠HCD＝∠DBH＝45°，∠AHD＝90°，BH⊥DF，BN＝CN＝DN＝CD＝1，
∴∠AHE＝90°，FN＝CF+CN＝1+1＝2，
∴BF＝＝＝，
∵∠AHE＝∠ABE＝90°，
∴A、B、H、E四点共圆，
∴∠EAH＝∠EBH，
∵∠EFD＝∠EAH+∠FCA＝∠EBH+∠HCD＝∠EBD，
∴B、D、E、F四点共圆，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴BF⊥AE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝2BF＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF＝AD．理由如下：
由（1）得：四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，
∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴EF∥BC；
当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
∴EF＝AD；
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．
17．解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）上图中的点能组成3个平行四边形，它们是：平行四边形ABA′B′、平行四边形ACA′C′、平行四边形BCB′C′．
18．解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝，
故答案为：；
②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
19．解：（1）如图2，
∵∠C＝90°，∠ABC＝∠DEC＝α，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∵△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，
∴∠ACD等于旋转角，CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
∴∠ACD＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
即旋转角为2α；
故答案为2α；
（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC＝∠EMC＝90°，
∵△ACB≌△DCE，
∴BC＝EC，
在△CBN和△CEM中
，
∴△CBN≌△CEM，
∴BN＝EM，
∵S△BDC＝?CD?BN，S△ACE＝?AC?EM，
∵CD＝AC，
∴S△BCD＝S△ACE．
20．解：感知：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∴∠AFD＝∠FDB+∠FBD＝135°，
∵△ADF≌△EDB，
∴∠DBE＝∠AFD＝135°，
∴∠ABE＝135°﹣45°＝90°，
故答案为：90；
探究：过点D作DF∥AC交AB于点F，
则∠DFB＝∠CAB，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB，
由旋转变换的性质可知，∠ADF＝∠EDB，
在△ADF和△EDB中，
，
∴△ADF≌△EDB，
∴∠DBE＝∠AFD，
∴∠ABE＝∠C＝α；
应用：∵α＝60°，CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，
∴BA＝AC＝2，
∵∠ABE＝∠C＝60°，∠AEB＝90°，
∴AE＝AB×sin∠ABE＝，
故答案为：．