2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章《相似》单元培优测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年九年级下册数学第27章《相似》
单元培优测试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，DE∥AB，如果CE：AE＝1：2，DE＝3，那么AB等于（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
2．分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（　　）
A．两个直角三角形
B．有一个角为110°的两个等腰三角形
C．有一个角为55°的两个等腰三角形
D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形
3．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（　　）
A．8 B．6 C． D．2
4．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（　　）
A．DF＝ B．EF＝ C．CD＝ D．BF＝
6．如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
7．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
8．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
9．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：
①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2﹣2．
则其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：
①△ANH≌△GNF；
②∠AFN＝∠HFG；
③FN＝2NK；
④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每题4分，共20分）
11．已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB?AP，则的值等于　 　．
12．如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于　 　．
13．如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A2020OC2020B2020的对角线交点的纵坐标为　 　．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，AB∥EF∥CD．
（1）AB＝10，CD＝15，AE：ED＝2：3，求EF的长．
（2）AB＝a，CD＝b，AE：ED＝k，求EF的长．
17．如图所示，在?ABCD中，AE：EB＝1：2．
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．
18．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
参考答案
一．选择题
1．解：∵DE∥AB，
∴△CED∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得，AB＝9，
故选：B．
2．解：两个直角三角形不一定相似；
因为只有一个直角相等，
∴A不一定相似；
有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；
因为110°的角只能是顶角，
所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，
∴B一定相似；
一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；
因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，
∴C不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；
因为这个对应角不一定是夹角；
∴D不一定相似；
故选：B．
3．解：若b是a、c的比例中项，
即b2＝ac．
42＝2c，
解得c＝8，
故选：A．
4．解：∵，
∴DE∥BC，
∵，
∴DE∥BC，
∵，
∴DE∥BC，
故选：B．
5．解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，
∴，
即，
解得：DF＝，
∴BF＝BD+DF＝，
故选：D．
6．解：
∵在?ABCD中，EM∥AD
∴易证四边形AMEN为平行四边形
∴易证△BEM∽△BAD∽△END
∴＝＝，A项错误
＝，B项错误
＝＝，C项错误
＝＝，D项正确
故选：D．
7．解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
8．解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴AE＝AF，BE＝CF．故①正确；
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，
∴∠EAB＝∠CEF，故②正确；
∵∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°，
∵∠AEB＜60°，
∴△ABE和△EFC不会相似，故③不正确；
过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，
∴∠AEB＝45°，
在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴BG＝2，AG＝2，
在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，
∴AG＝GE＝2，
∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴∠ABE＝∠ACF＝120°，EB＝CF＝2﹣2，
∴∠FCE＝60°，
在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2﹣2，
∴CH＝﹣1．
∴FH＝（﹣1）＝3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣，故④不正确．
综上，正确结论的个数是2个，
故选：B．
10．解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，
∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD＝4，AH＝2，
∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，
∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN＝∠HFG，
∵AG＝FG＝2＝AH，
∴AF＝FG＝AH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴AN＝AG＝1，
∵GM＝BC＝4，
∴＝＝2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN＝∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK＝∠AMG，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴AK＝HK，
∴AK＝HK＝NK，
∵FN＝HN，
∴FN＝2NK；故③正确；
∵延长FG交DC于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM＝AG＝2，
∵S△AFN＝AN?FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD?DM＝×4×2＝4，
∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：根据黄金分割定义可知：
∵BP2＝AB?AP，
设AB为1，则AP＝1﹣BP，
∴BP2＝1?（1﹣BP）
BP2+BP﹣1＝0，
解得BP＝（舍去）
∴BP＝．
故答案为．
12．解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
∴BE＝BD+DE＝6，
故答案为6．
13．解：如图，设直线l与AB、CD分别交于点E、D，
则由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，
∴＝，
∵l∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝＝，
设AE＝AD＝x，
则＝，
∴x＝，
∴BE＝CD＝2﹣，
∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4．
14．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴＝，＝，即＝，＝，
解得，OD＝6，OF＝6，
则点E的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）．
15．解：∵四边形AOCB为矩形，OA＝2，OC＝1，
∴矩形AOCB的对角线交点的纵坐标为，
∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1的对角线交点的纵坐标为×，
…
∴矩形A2020OC2020B2020的对角线交点的纵坐标为×（）2020＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）过点A作AN∥BC交CD于N，交EF于M，如图，
∵AB∥EF∥DC，
∴四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，
∴AB＝MF＝NC＝10，
∴DN＝CD﹣CN＝15﹣10＝5，
∵EM∥DN，
∴＝＝，
∴EM＝×5＝2，
∴EF＝EM+MF＝2+10＝12；
（2）∵四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，
∴AB＝MF＝NC＝a，
∴DN＝CD﹣CN＝a﹣b，
∵EM∥DN，
∴＝＝，
∴EM＝DN＝（a﹣b），
∴EF＝EM+MF＝（a﹣b）+a＝．
17．解：（1）∵AE：EB＝1：2，
∴AE：AB＝1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF
∴C△AEF：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3，
即△AEF与△CDF的周长比为1：3；
（2）∵△AEF∽△CDF，
∴S△AEF：S△CDF＝（AE：CD）2，
即6：S△CDF＝（1：3）2
∴S△CDF＝6×9＝54 cm2．
∵＝＝，
∴S△ADF＝3×6＝18（cm2）．
18．解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
19．解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（3，1）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
20．解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，
CQ＝tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t?（10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．
（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）；
如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．