2020--2021学年人教版九年级数学下册 第 二十七 章相似重点题型专题练习（word解析版）

九年级数学下册 第 二十七 章《相似》
重点题型专题练习（二）
一．选择题
1．已知＝2，则的值是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（　　）
A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）
4．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD?AB
6．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（　　）
A．75° B．60° C．87° D．120°
7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里＝300步）
你的计算结果是：出南门几何步而见木（　　）
A．300步 B．315 步 C．400 步 D．415步
8．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
9．如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
10．如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，
使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，则AM的长为（　　）
A．﹣1 B． C．3﹣ D．6﹣2
11．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，AE与BD相交于点G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图矩形ABCD中，E是CD延长线上一点，连结BE交AD于点F，连结CF，已知AB＝1，BC＝2，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题
13．如果＝，那么的值等于　 　．
14．如图，抛物线y＝+2与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，动直线EF（EF∥x轴）从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴，线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动．当出发　 　秒时，△BPF与△ABC相似．
15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　 　米．
16．如图，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等边三角形，点E、G在△ACM的边CM上，设△ABC、△BDE、△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝8，S3＝2，则S2＝　 　．
17．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，点D是△ABC内一个动点，且满足∠DAB＝∠DBC，当线段CD取最小值时，记∠BCD＝α，线段AB上一动点E绕着点D顺时针旋转得到点F，且满足∠EDF＝α，则AF的最小值　 　．
三．解答题
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．点E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当△PEF的周长最小时，求的值．
19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝　 　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
20．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
21．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE＝CE＝，CD＝1，求DF的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
23．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB．F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P．
（1）求EP：PF的值．
（2）求AP：PD的值．
24．已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．
（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；
（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN?DE＝DM?BM．
参考答案
一．选择题
1．解：∵＝2，
∴b＝2a，
∴＝＝﹣．
故选：B．
2．解：∵AD∥BE∥CF，
∴，，
故A、D、C错误，B正确．
故选：B．
3．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝＝，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
4．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
5．解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D、由AC2＝AD?AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故选：B．
6．解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α＝360°﹣60°﹣138°﹣75°＝87°．故选C．
7．解：由题意得，AB＝15里，AC＝4.5里，CD＝3.5里，
△ACB∽△DEC，
∴＝，即＝，
解得，DE＝1.05里＝315步，
∴走出南门315步恰好能望见这棵树，
故选：B．
8．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6cm．
故选：C．
9．解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
10．解：在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，
由勾股定理知PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1．
故选：A．
11．解：∵点E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，
∴△BEG∽△DAG，
∴＝＝，
∴DG＝2BG，
∴BD＝3BG，OD＝OB＝BG，
∴＝；
故选：C．
12．解：设DE＝x．
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝，AF＝2﹣＝，
∵△ABF与△CEF的面积相等，
∴?AF?AB＝?EC?DF，
∴×1＝×（x+1），
∴解得x＝或（舍弃），
故选：D．
二．填空题（共5小题）
13．解：∵＝，
∴3x﹣3y＝2x，
故x＝3y
∴＝3．
故答案为：3．
14．解：∵抛物线y＝x+2与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，
∴令y＝0，得x+2＝0，解得x＝2或x＝4，
∴A（2，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
在Rt△BOC中，OC＝2，OB＝4，
∴BC＝＝＝2，
∵EF∥OB，
∴，
∴，
∴BF＝（2﹣t），
BP＝2t（0＜t≤2）．
①当FP∥AC时，△BFP∽△BCA，
∴，
∴，
解得t＝．
②当时，△BFP∽△BAC，
∴，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为s或s．
故答案为：或．
15．解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
16．解：△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，
∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴∠CBA＝∠EBD＝60°，
∴∠CBE＝60°，
同理∠EDG＝60°，
∴∠CBE＝∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等边三角形，
∴∠EBD＝∠GDF＝60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB＝∠EGD，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac，
∵S1：S3＝（a：c）2＝8：2＝4：1，
∴a：c＝2：1，
∵S1：S2＝（）2＝＝＝＝，
∴S2＝S1＝4．
故答案是4．
17．解：∵AB⊥BC，AB＝6、BC＝4，
∴∠DBC+∠ABD＝90°，
∵∠DAB＝∠DBC，设∠DAB＝∠DBC＝β，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴点D在以AB为直径的圆上，设圆心为O，半径为AB＝3，则当O、D、C三点共线时CD最小，
∴OD＝OB＝OA＝3，
∴OC＝＝5，
将DA绕点D逆时针旋转α，得到DG，连接GE，
∴DG＝DA，
∠GDA＝∠EDF＝α，
∴∠GDE＝∠ADF，
∵DE＝DF，
∴△GDE≌△ADF（SAS），
∴GE＝AF，
∴当GE⊥AB时，GE最小，即AF最小，
过点D作DM⊥AB于M，过点G作GH⊥DM，交DM的延长线于点H，
∴DM∥BC，四边形GHME为矩形．
∴△OMD∽△OBC，GE＝HM，
∴，
∴，
∴DM＝，OM＝，
∴AM＝OM+OA＝+3＝，
∵∠DAB＝∠DBC＝β，OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝β，
∴∠BOC＝∠ODA+∠OAD＝2β．
∵在Rt△OBC中，∠OCB＝90°﹣∠BOC，
∴α＝90°﹣2β，
∵∠MAD+∠MDA＝90°，
∴β+α+∠GDH＝90°，
∴∠GDH＝β＝∠DAM，
∵∠DHG＝∠AMD＝90°，AD＝DG，
∴△GDH≌△DAM（AAS）．
∴DH＝AM＝，
∴HM＝DH﹣DM＝，即AF的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
18．解：（1）证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∵点A与点C关于EF所在的直线对称
∴AO＝CO，AC⊥EF
∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF
∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小
∵四边形AFCE是菱形
∴AF＝CF＝CE＝AE
∵AF2＝BF2+AB2
∴AF2＝（4﹣AF）2+4
∴AF＝
∵AD∥BC
∴△DEP∽△CHP
∴＝＝．
答：当△PEF的周长最小时，的值为．
19．解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵△ECD∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
21．（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC．
（2）证明：∵△ADB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（3）解：过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE＝EC＝，∠BEC＝90°，
∴BC＝BE＝，∠BCF＝45°，
∵∠BDC＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
∵∠EFD＝∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF＝∠BCF＝45°，
∵∠NED＝90°，
∴∠END＝∠EDN＝45°，
∴EN＝ED，
∵∠BEC＝∠NED＝90°，
∴∠BEN＝∠CED，
∵BE＝CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，
∵EN＝ED，EM⊥DN，
∴MN＝DM＝1，
∴EM＝MN＝MD＝1，
∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF＝DF，
∴DF＝．
22．解：（1）△BAP∽△CPD，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，
又∵∠APD＝∠B，
∴∠DPC＝∠BAP，
∴△BAP∽△CPD；
（2）∵PD∥AB，
∴∠APD＝∠BAP，
又∵∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBA，
∴，
∴，
∴BP＝．
23．解：（1）分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．
则＝＝，＝＝，
又BD＝CD，
∴＝∴＝＝；
（2）设AF1＝y，F1P＝4x，PE1＝5x，E1D＝z，
则＝，＝，
解得y＝36x，z＝15x，
∴＝＝＝．
24．解：（1）∵矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴＝＝5，
∵AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝∠BAD，
∵∠EDF＝∠ADB，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，
∴
解得x＝，
∴AE＝；
（2）证明：∵F为BD的中点，∠A＝∠BFE＝90°，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵MN∥BE，
∴∠NME＝∠BEM，
又∵MN平分∠EMD，
∴∠NMD＝∠NME，
∴∠NMD＝∠BEM
∴△BEM∽△DMN，
∴，
∴，
∴DN?DE＝DM?BM．
第1页（共1页）