2020-2021学年安徽省安庆市怀宁县八年级（上）期末数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省安庆市怀宁县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．在平面直角坐标系内，下列的点位于第四象限的是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，﹣1）
2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若点（2，y1）和（﹣2，y2）都在直线y＝﹣x+3上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定
4．为了估计池塘A，B两点之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点C，测得AC＝3m，BC＝6m，则A，B两点之间的距离可能是（　　）
A．11m B．9m C．7m D．3m
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．等边对等角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
6．如图，∠ABD＝∠CBD，现添加以下条件不能判定△ABD≌△CBD的是（　　）
A．∠A＝∠C B．∠BDA＝∠BDC C．AB＝CB D．AD＝CD
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝10，则CE的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．若ab＜0且a＜b，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（　　）
A．（22021，22020） B．（22021，22022）
C．（22022，22021） D．（22020，22021）
10．2020年12月22日8时38分，G8311次动车组列车从合肥南站始发，驶向沿江千年古城、“黄梅戏”故乡安庆．这标志着京港高铁合肥至安庆段正式开通运营．运行期间，一列动车匀速从合肥开往安庆，一列普通列车匀速从安庆开往合肥，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（　　）
①合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；
②普通列车到达终点站共需2h；
③普通列车的平均速度为88km/h；
④动车的平均速度为250km/h．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
12．已知点A（3，0）和B（1，3），如果直线y＝kx+1与线段AB有公共点，那么k的取值范围是　 　．
13．已知一次函数y＝kx+3（k＞0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为　 　．
14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　 　．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法正确的是　 　（填序号）．
①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC向右平移5个单位，再向上平移4个单位得到的△A1B1C1，其中点C1的坐标为　 　；
（2）在x轴上画出点P，使PA+PB最小，此时点P的坐标为　 　．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
18．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．
19．定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　 　；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　 　；
（3）若（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
五、（本大题满分10分）
20．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于点E．
求证：AD＝2CE．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．2020年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，感染人数不断攀升，口罩瞬间成为需求最为迫切的防疫物资．为了缓解供需矛盾，在中央的号召下，许多企业纷纷跨界转行生产口罩．我县某工厂接到订单任务，要求用7天时间生产A、B两种型号的口罩，共不少于5.8万只，其中A型口罩只数不少于B型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果2天生产A型口罩，3天生产B型口罩，一共可以生产4.6万只；如果3天生产A型口罩，2天生产B型口罩，一共可以生产4.4万只，并且生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．
（1）试求出该厂的生产能力，即每天能生产A型口罩或B型口罩多少万只？
（2）在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产A型口罩和B型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？
22．数学模型学习与应用：
（1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
（2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BAD＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）；
（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．在平面直角坐标系内，下列的点位于第四象限的是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，﹣1）
解：A、（﹣2，1）在第二象限，故此选项错误；
B、（﹣2，﹣1）在第三象限，故此选项错误；
C、（2，﹣1）在第四象限，故此选项正确；
D、（0，﹣1）在纵轴上，故此选项错误；
故选：C．
2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
3．若点（2，y1）和（﹣2，y2）都在直线y＝﹣x+3上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定
解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵2＞﹣2，
∴y1＜y2．
故选：A．
4．为了估计池塘A，B两点之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点C，测得AC＝3m，BC＝6m，则A，B两点之间的距离可能是（　　）
A．11m B．9m C．7m D．3m
解：根据三角形的三边关系定理得：6﹣3＜AB＜6+3，
即：3＜AB＜9，
则A，B两点之间的距离在3和9之间，
故选：C．
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．等边对等角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
解：A、全等三角形的对应角相等，是真命题，不合题意；
B、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，故原命题是假命题，符合题意；
C、等边对等角，是真命题，不合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，不合题意；
故选：B．
6．如图，∠ABD＝∠CBD，现添加以下条件不能判定△ABD≌△CBD的是（　　）
A．∠A＝∠C B．∠BDA＝∠BDC C．AB＝CB D．AD＝CD
解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴当添加∠A＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△CBD；
当添加∠BDA＝∠BDC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△CBD；
当添加AB＝CB时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CBD；
当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD；
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝10，则CE的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，
∴DE＝AE＝5，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝DE＝5，
故选：A．
8．若ab＜0且a＜b，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵ab＜0且a＜b，
∴a＜0＜b，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
9．如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（　　）
A．（22021，22020） B．（22021，22022）
C．（22022，22021） D．（22020，22021）
解：由已知作图规律可知：A1（2，0），A?（4，0），A3（8，0），A4（16，0），…，An（2n，0），
∴对应的B1（2，4），B2（4，8），B3（8，16），B4（16，32），…，Bn（2n，2n+1），
∴点B2021的坐标为（22021，22022），
故选：B．
10．2020年12月22日8时38分，G8311次动车组列车从合肥南站始发，驶向沿江千年古城、“黄梅戏”故乡安庆．这标志着京港高铁合肥至安庆段正式开通运营．运行期间，一列动车匀速从合肥开往安庆，一列普通列车匀速从安庆开往合肥，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（　　）
①合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；
②普通列车到达终点站共需2h；
③普通列车的平均速度为88km/h；
④动车的平均速度为250km/h．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由图象可得，
合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇，故①正确；
普通列车到达终点站共需2h，故②正确；
普通列车的平均速度为：176÷2＝88（km/h），故③正确；
动车的平均速度为：176÷0.5﹣88＝352﹣88＝264（km/h），故④错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．函数y＝中自变量x的取值范围是　x≥﹣且x≠1　．
解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1．
故答案为：x≥﹣且x≠1．
12．已知点A（3，0）和B（1，3），如果直线y＝kx+1与线段AB有公共点，那么k的取值范围是　﹣≤k≤2　．
解：由y＝kx+1可知直线经过点（0，1），
当k＞0时，y＝kx+1过B（1，3）时，
3＝k+1，解得k＝2，
∴直线y＝kx+1与线段AB有公共点，则k≤2；
当k＜0时，y＝kx+1过A（3，0），
0＝3k+1，解得k＝﹣，
∴直线y＝kx+1与线段AB有公共点，则k≥﹣．
综上，满足条件的k的取值范围是﹣≤k≤2；
故答案为﹣≤k≤2．
13．已知一次函数y＝kx+3（k＞0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为　y＝x+3　．
解：一次函数y＝kx+3与y轴的交点A的坐标为（0，3），
则OA＝3，
由题意得，×OB×3＝3，
解得，OB＝2，
则点B的坐标为（﹣2，0），
∴﹣2k+3＝0，
解得，k＝，
∴一次函数的表达式为y＝x+3，
故答案为：y＝x+3．
14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　18°或112°　．
解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，
当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，
当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，
故答案为：18°或112°．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法正确的是　①②④　（填序号）．
①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．
解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法正确；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法正确；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，
故答案为：①②④．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC向右平移5个单位，再向上平移4个单位得到的△A1B1C1，其中点C1的坐标为　（1，0）　；
（2）在x轴上画出点P，使PA+PB最小，此时点P的坐标为　（﹣，0）　．
【解答】解（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点C1的坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2）作A点关于x轴对称点A′，则A′（﹣2，2），
故设直线BA′的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线BA′的解析式为：y＝x+5，
当y＝0时，x＝﹣，
此时点P的坐标为：（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
18．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．
解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，
理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠DAB＝∠EAC＝90°．
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．
19．定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　y＝﹣bx+2　；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　x＝1　；
（3）若（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
解：（1）由题意可得，
一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y﹣bx+2，
故答案为：y＝﹣bx+2；
（2）由题意可得，
当2x﹣b＝﹣bx+2时，解得x＝1，
即当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
故答案为：x＝1；
（3）函数y＝2x﹣b与y轴的交点是（0，﹣b），函数y＝﹣bx+2与y轴的交点为（0，2），
由（2）知，当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
∵（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，
∴＝4，
解得b＝6或b＝﹣10，
即b的值是6或﹣10．
五、（本大题满分10分）
20．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于点E．
求证：AD＝2CE．
【解答】证明：延长AB、CE交于点F，
∵∠ABC＝90°，CE⊥AD，∠ADB＝∠CDE，
∴∠BAD＝∠ECD，
在△ABD和△CBF中，
，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD＝CF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△CAE和△FAE中，
，
∴△CAE≌△FAE（ASA），
∴CE＝EF，
∴AD＝CF＝2CE．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．2020年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，感染人数不断攀升，口罩瞬间成为需求最为迫切的防疫物资．为了缓解供需矛盾，在中央的号召下，许多企业纷纷跨界转行生产口罩．我县某工厂接到订单任务，要求用7天时间生产A、B两种型号的口罩，共不少于5.8万只，其中A型口罩只数不少于B型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果2天生产A型口罩，3天生产B型口罩，一共可以生产4.6万只；如果3天生产A型口罩，2天生产B型口罩，一共可以生产4.4万只，并且生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．
（1）试求出该厂的生产能力，即每天能生产A型口罩或B型口罩多少万只？
（2）在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产A型口罩和B型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？
解：（1）设该厂每天能生产A型口罩x万只或B型口罩y万只．
根据题意，得，
解得，
答：该厂每天能生产A型口罩0.8万只或B型口罩1万只．
（2）设该厂应安排生产A型口罩m天，则生产B型口罩（7﹣m）天．
根据题意，得，
解得≤m≤6，
设获得的总利润为w万元，
根据题意得：w＝0.5×0.8m+0.3×1×（7﹣m）＝0.1m+2.1，
∵m＝0.1＞0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m＝0.6时，w取最大值，最大值＝0.1×6+2.1＝2.7（万元）．
答：当安排生产A型口罩6天、B型口罩1天，获得2.7万元的最大总利润．
22．数学模型学习与应用：
（1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝　DE　，BC＝　AE　．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
（2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BAD＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）；
（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．
解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE，AE；
（2）∵∠BAD＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
∵DE＝a，BD＝b，
∴CE＝DE﹣BD＝a﹣b；
（3）△DEF是等边三角形，
理由如下：由（2）知：△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，
∵△ACF是等边三角形，
∴∠CAF＝60°，AB＝AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABD+∠ABD＝∠CAE+∠CAF，
即∠DBF＝∠FAE，
在△BDF和△AEF中，
，
∴△BDF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形．