2020-2021学年七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》
常考题培优练习（五）
1．如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂线的定义）
∴
＝
∥
∴∠1＝
∠2＝
∵∠1＝∠2（已知）
∴
＝
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）
2．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①若∠4＝36°，求∠2的度数；
②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由．
3．如图：BD平分∠ABC，∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝50°．请问：
（1）∠BDC+∠C的度数是多少？并说明理由；
（2）若P点是BC上的一动点（B点除外），∠BDP与∠BPD之和是一个确定的值吗？如果是，求出这个确定的值；如果不是，说明理由．
4．初一（10）班数学学习小组“孙康映雪”在学习了第七章平面图形的认识（二）后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题．
如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
【片断一】
（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝
°．
【片断二】
（2）小康说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．
【片断三】
（3）小雪说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．
5．一个长方形台球桌面ABCD（AB∥CD，AD∥BC，∠A＝90°）如图1所示，已知台球在与台球桌边沿碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反射线路与桌边的夹角，如∠1＝∠2
（1）台球经过如图2的两次反弹后，撞击线路EF，第二次反弹线路GH，求证：EF∥GH；
（2）台球经过如图3所示的两次反弹后，撞击线路EF和第二次反弹线路GH是否仍然平行，给出你的结论并说明理由．
6．实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝70°，则∠2＝
°，∠3＝
°．
（2）在（1）中，若∠1＝50°，则∠3＝
°；若∠1＝35°，则∠3＝
°．
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3＝
°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请你写出推理过程．
7．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：
∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3
（
）
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），
即：
（等量代换），
∴
．（
）
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC＝
°时，仍可以使入射光线m与反射光线n平行但方向相反．（直接写出结果）
8．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
9．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）
10．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成
个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成
个三角形，……；则n边形可以分割成
个三角形．
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为
．
（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成
个三角形．
参考答案
1．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义），
∴∠ADC＝∠EFC，
AD∥EF，
∴∠1＝∠DAB，∠2＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAB＝∠DAC，
即AD平分∠BAC（角平分线定义）
故答案为：∠ADC；∠EFC；AD；EF；∠DAB；∠DAC；∠DAB；∠DAC．
2．解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4＝36°；
②位置关系是：EM∥FN．理由：
由①知，∠1＝∠3＝∠2＝∠4，
∴∠MEF＝∠EFN＝180°﹣2∠1，
∴∠MEF＝∠EFN
∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）
（2）关系是：∠EFD＝2∠GEH．理由：
∵EG平分∠MEF，
∴∠MEG＝∠GEH+∠HEF①
∵EH平分∠AEM，
∴∠MEG+∠GEH＝∠AEF+∠HEF②
由①②可得：
∴∠AEF＝2∠GEH，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GEH．
3．解：（1）∠BDC+∠C＝155°．
理由：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABD＝∠CBD＝25°；
又∠ABD＝∠ADB＝25°，∠BDC+∠C＝180°﹣∠CBD＝155°．
（2）是确定的值．
理由：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADP+∠BPD＝180°；
∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠ADB＝155°．
4．解：（1）①由四边形内角的性质，得
∠OBC+∠ODC＝180°；
（2）∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵∠BOD＝∠C，
∴∠ODB＝∠CDB，
∴BD平分∠ODC；
（3）如图，延长DE交BF于G，
，
∵∠ODC+∠OBC＝∠CBM+∠OBC＝180，
∴∠CBM＝∠ODC，
∠CBM＝∠EBG＝∠ODC＝∠EDC．
∵∠BEG＝∠DEC，
∴△DEC∽△BEG，
∴∠BGE＝∠DCE＝90°，
∴DE垂直BF．
故答案为：180．
5．（1）证明：
由题意可知∠AFG＝∠BFE，∠DGH＝∠CGF，
∵AB∥CD，
∴∠AFG＝∠CGF，
∴∠AFG＝∠BFE＝∠DGH＝∠CGF，
∵∠GFE＝180°﹣2∠AFG，∠FGH＝180°﹣2∠CGF，
∴∠GFE＝∠FGF，
∴EF∥GH；
（2）解：EF∥GH．理由如下：
由题意可知∠AFG＝∠BFE，∠AGF＝∠DGH，
∵∠A＝90°，
∴∠AFG+∠AGF＝90°，
∵∠GFE＝180°﹣2∠AFG，∠FGH＝180°﹣2∠AGF，
∴∠GFE+∠FGH＝360°﹣2（∠AFG+∠AGF）＝360°﹣180°＝180°，
∴EF∥GH．
6．解：（1）∵∠1＝∠4＝70°，
∴∠5＝180°﹣2×70°＝40°，
∵m∥n，
∴∠2+∠5＝180°，
∴∠2＝140°，
∴∠6＝（180°﹣∠2）＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠6＝90°；
（2）同样的方法当∠1＝50°，∠3＝90°；当∠1＝35°，∠3＝90°；
（3）当∠3＝90°时，m∥n．理由如下：
∵∠3＝90°，
∴∠4+∠6＝90°，
∴2∠4+2∠6＝180°，
∴∠2+∠5＝180°，
∴m∥n．
故答案为：（1）140，90；（2）90，90；（3）90．
7．（1）证明：如图2，∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3
（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），
即：∠5＝∠6（等量代换），
∴m∥n
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等，∠5＝∠6，m∥n，内错角相等，两直线平行；
（2）∠ABC＝90°，
理由是：如图3，∵∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，
∴∠EAC+∠FCA＝180°+180°﹣180°＝180°，
∴AE∥CF．
故答案为：90．
8．【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线
AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
9．解：如图：
（1）∠APC＝∠PAB+∠PCD；
证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；
（3）∠APC＝∠PAB﹣∠PCD；
（4）∵AB∥CD，
∴∠POB＝∠PCD，
∵∠POB是△AOP的外角，
∴∠APC+∠PAB＝∠POB，
∴∠APC＝∠POB﹣∠PAB，
∴∠APC＝∠PCD﹣∠PAB．
10．解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．
若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．
故答案为：3，4，（n﹣2）；
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，
那么此多边形的边数为：2016+2＝2018；
故答案为：2018；
（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．
故答案为：（n﹣1）．
第1页（共1页）2020-2021学年七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》
常考题培优练习（四）
1．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①∠ABN的度数是
；
②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠
；
（2）求∠CBD的度数；
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是
．
2．已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．
（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；
（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．
3．说理过程填空：
（1）如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，那么∠1与∠2是否相等？为什么？
解：∵OA⊥OB，（已知）
∴∠1与
互余．
又∵
，（已知）
∴∠2与
互余．
∴
．（同角的余角相等）
（2）如图，∵∠A＝
，（已知）
∴AC∥ED．（
）
∵∠2＝
，（已知）
∴AC∥ED．（
）
∵∠A+
＝180°，（已知）
∴AB∥FD．（
）
4．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）分别计算出当∠A为70°，80°时∠A1的度数；
（2）根据（1）中的计算结果写出∠A与∠A1之间等量关系
；
（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与∠A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A6与∠A的数量关系
；
（4）如图，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：
①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
5．已知多边形的内角和等于1440°，求：
（1）这个多边形的边数；
（2）过一个顶点有几条对角线；
（3）总对角线条数．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F，求∠AFC的度数．
7．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数，下面给出了求∠AGD的度数的过程，将此补充完整并在括号里填写依据．
【解】∵EF∥AD（已知）
∴∠2＝
（
）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（等式性质或等量代换）
∴AB∥
（
）
∴∠BAC+
＝180°（
）
又∵∠BAC＝70°（已知）
∴∠AGD＝
（
）
8．如图，BD是△ABC的角平分线，ED∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝44°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；
（2）若∠A﹣∠ABD＝31°，∠EDC＝76°，求∠ADB的度数．
9．三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．
（1）如图1，求证：CF∥AB；
（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．
10．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
参考答案
1．解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为：116°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
故答案为：CBN；
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
故答案为：29°．
2．（1）证明：∵∠FEC＝∠A+∠ADE，∠F+∠BDF＝∠ABC，
∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE＝∠BDF，
∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，
∵∠A＝∠ABC，
∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC＝2∠A．
（2）∠MBC＝∠F+∠FEC．
证明：∵BM∥AC，
∴∠MBA＝∠A，、
∵∠A＝∠ABC，
∴∠MBC＝∠MBA+∠ABC＝2∠A，
又∵∠F+∠FEC＝2∠A，
∴∠MBC＝∠F+∠FEC．
3．解：（1）∵OA⊥OB，（已知）
∴∠1与∠AOC互余．
又∵OC⊥OD，（已知）
∴∠2与∠AOC互余．
∴∠1＝∠2．（同角的余角相等），
故答案分别为∠AOC，OC⊥OD，∠AOC，∠1＝∠2．
（2）如图，∵∠A＝∠BED，（已知）
∴AC∥ED．（同位角相等两直线平行）
∵∠2＝∠CFD，（已知）
∴AC∥ED．（内错角相等两直线平行）
∵∠A+∠AFD＝180°，（已知）
∴AB∥FD．（同旁内角互补两直线平行）
故答案分别为∠BED，（同位角相等，两直线平行），∠DFC，（内错角相等，两直线平行），∠AFD，（同旁内角互补，两直线平行）．
4．解：（1）∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD；
由三角形的外角性质知：∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC，即：
∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；
当∠A＝70°时，∠A1＝35°；当∠A＝80°，∠A1＝40°．
（2）由（1）知：∠A1＝∠A．
（3）同（1）可求得：
∠A2＝∠A1＝∠A，
∠A3＝∠A2＝∠A，
…
依此类推，∠An＝∠A；
当n＝6时，∠A6＝∠A．
（4）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A1＝2（180°﹣∠Q），
化简得：∠A1+∠Q＝180°，
因此①的结论是正确的，且这个定值为180°．
5．解：（1）设边数是n，根据题意得（n﹣2）180＝1440，
解得：n＝10．
则这个多边形是十边形；
（2）过一个顶点的对角线的条数是10﹣3＝7；
（3）对角线的总条数是：×10×7＝35（条）．
6．解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°．
∴∠CAE＝50°﹣30°＝20°
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝70°．
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝35°．
∴∠AFC＝180°﹣35°﹣20°＝125°．
7．解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°（等式性质），
故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等，DG，内错角相等，两直线平行，∠AGD，两直线平行，同旁内角互补，100°，等式性质．
8．解：如图，∵∠BDC＝60°，
∴∠ADB＝120°．
又∵∠A＝44°，
∴∠2＝180°﹣44°﹣120°＝16°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2＝16°．
又ED∥BC，
∴∠BED+2∠1＝180°，
∴∠BED＝180°﹣32°＝148°；
（2）∵ED∥BC，
∴∠EDC+∠C＝180°．
又∵∠EDC＝76°，
∴∠C＝104°．
BD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2．
∵∠A﹣∠2＝31°，∠A+2∠2+∠C＝180°
∴∠1＝∠2＝15°，
∴∠ADB＝∠1+∠C＝119°．
9．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠BCF+∠ADE＝180°．
∴∠BCF+∠B＝180°．
∴CF∥AB；
（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，
∴∠BEK＝∠ABE＝40°，
∵CF∥AB，
∴CF∥EK，
∴∠CEK＝∠ACF＝60°，
∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；
（3）∵BE平分∠ABG，
∴∠EBG＝∠ABE＝40°，
∵∠EBC：∠ECB＝7：13，
∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，
∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，
∴13x+7x+100＝180，
解得x＝4，
∴∠EBC＝7x°＝28°，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，
∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．
10．解：（1）DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，
∴CD⊥AB．七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》
常考题培优练习（五）
1．把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（
）
∴∠2＝∠3
∴
（
）
∴∠C＝∠4（
）
又∵
（已知），
∴∠B＝∠4，
∴AB∥CD（
）
∴∠A＝∠D（
）
2．已知：如图，AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F
（1）如图1，已知∠A＝30°，∠APC＝80°，求∠C的度数；
（2）如图2，当动点P在线段EF上运动时（不包括E，F两点），∠A，∠APC与∠C之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）当动点P在直线EF（线段EF除外）上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠A，∠APC与∠C之间的数量关系．
3．把两块三角板按如图（1）放置，直角顶点B与F重合，其中一直角边BC和FE在同一直线上，∠ABC＝90°，∠A＝45°，∠DFE＝90°，∠D＝60°，BC＜BD．
（1）设直线AC与直线DE交于点M（请你在图中标上点M），则∠AMD＝
；
（2）如图（2）所示，把△ABC绕点B按顺时针方形旋转n°（0＜n＜180）．
①在旋转过程中，会出现直线AC与直线DE平行吗？若会，请求出此时n的值；若不会，请说明理由；
②在旋转过程中，当直线AC与线段DE（端点除外）相交时，设交点为M，求∠AMD的度数（用含n的代数式表示）．
4．已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某一顶点的对角线的条数，探求多边形内角和公式．
（1）如图所示，一个四边形可以分成
个三角形；于是四边形的内角和为
；
（2）一个五边形可以分成
个三角形；于是五边形的内角和为
；
（3）按此规律，n（n≥3）边形可分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度？
5．如图1所示，△ABC的三条边是三块平面镜，已知：三角形的三个角的和是180°，入射光线EF经平面镜AC反射成光线FG，满足∠EFC＝∠AFG（其余光线经平面镜反射类同）
（1）若光线EF∥AB，光线FG∥BC，∠GFE＝40°，则∠AFG的度数＝
．∠C的度数＝
，∠B的度数＝
，∠A的度数＝
；
（2）如图2，若光线EF∥AB，光线FG∥BC，光线FG经平面镜AB反射光线GH，GH∥AC，光线GH经平面镜BC反射成光线HD，请画出HD，并证明HD∥AB．
6．如图1，光线CO经过镜面AB反射得到光线OD，过点O作OP⊥AB，已知∠AOC＝∠DOB．
（1）求证：∠COP＝∠DOP；
（2）如图2，若光线DE经取镜面AB和BC两次反射后得到光线FG，已知∠AED＝∠BEF＝α，∠EFB＝∠GFC＝β．
①若两镜面形成的夹角∠ABC＝90°，求证：DE∥FG；
②如图3，若两镜面形成的夹角∠ABC＝130°，过点F作PF⊥BC，且PF∥DE，求α和β的值．
7．如图，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）用尺规作图作出光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD；
（2）试判断AB与CD的位置关系；
（3）你是如何思考的．
8．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点．
（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，求∠P的度数；
（2）若∠A＝60°，求∠P的度数；
（3）那么∠A和∠P有什么样的数量关系？请简述理由．
9．已知直线l1∥l2，直线l3与直线l1、l2分别交于C、D两点．
（1）如图①，有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；
（2）如图②，当动点P在线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否还成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
10．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题：
（1）如图（2），n边形A1A2A3A4…An中，过顶点A
1可以画
条对角线，它们分别是
；
过顶点A2可以画
条对角线，过顶点A
3可以画
条对角线．
（2）过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗？过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗？
（3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？
参考答案
1．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等）
∴∠2＝∠3
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等）
又∵∠B＝∠C，（已知），
∴∠B＝∠4，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等，CE∥BF，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠B＝∠C，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相．
2．解：（1）如图①，过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A＝30°，
∴∠APO＝∠A＝30°，∠C＝∠CPO，
∵∠APC＝80°
∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝80°﹣30°＝50°；
（2）∠A+∠C＝∠APC，
证明：如图②，过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；
（3）不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，
理由：如图③，过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，
即∠A﹣∠C＝∠APC．
3．解：（1）如图1所示，点M即为所求，
∵∠A＝45°，∠D＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠D＝75°；
故答案为：75°；
（2）①如图2，当△ABC旋转至AC∥ED时，设AC，BD相交于G，
∵AC∥ED，
∴∠1＝∠D＝60°，
∵∠1＝∠CBG+∠C，
∴∠CBG＝∠1﹣∠C＝15°，
∴n°＝90°+∠CBG＝90°+15°＝105°；
②发两种情况：当旋转至图3
的位置时，设AC与BE交于N，
∵∠ENM＝n°+∠BCN＝（n+45）°，
∵∠E＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AMND＝∠EMN+∠E＝30°+（n+45）°＝（n+75）°；
当旋转至图4的位置时，
∵∠BPA＝∠PBC+∠C，
∴∠PBC＝（n﹣90）°，
∴∠BPA＝∠PBC+∠C＝（n﹣45）°，
∵∠BPM＝∠D+∠AMD，
∴∠AMD＝∠BPM﹣∠D＝∠BPA﹣∠D＝（n﹣45）°﹣60°＝（n﹣105）°，
综上所示，在旋转过程中，当AC与DE相交时，∠AMD的度数为（n+75）°，或（n﹣105）°．
4．解：（1）∵四边形可分为两个三角形，
∴四边形的内角和＝180°×2＝360°．
故答案为：2，360°；
（2））∵五边形可分为三个三角形，
∴四边形的内角和＝180°×3＝540°．
故答案为：3，540°；
（3）由（1）、（2）可知，过n边形一个顶点的对角线将n边形可以分成（n﹣2）个三角形，于是n边形的内角和为（n﹣2）?180°．
故答案为：n﹣2，（n﹣2）?180°．
5．解：（1）∵∠GFE＝40°，∴∠EFC＝∠AFG＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵FG∥BC，∴∠C＝∠AFG＝70°，
∵EF∥AB，FG∥BC，∴四边形GFEB为平行四边形，
∴∠B＝∠GFE＝40°，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
故答案为70°；70°；40°；70°．
（2）∵GH∥AC，∴∠BGH＝∠A，
∵FG∥BC，∴∠AGF＝∠B，
∵∠AGF＝∠BGH，
∴∠A＝∠B，
同理，∠A＝∠C，
∴△ABC是等边三角形，
∵GH∥AC，∴∠BGH＝∠A＝60°，
∴∠DHC＝60°＝∠B，
∴HD∥AB．
6．（1）证明：∵OP⊥AB，
∴∠AOP＝∠BOP＝90°．
∵∠AOC＝∠DOB，
∴∠COP＝∠DOP；
（2）证明：①如图2，过点E作EP⊥AB，过点F作FH⊥BC，根据反射定律可知∠DEP＝∠FEP，∠EFH＝∠GFH，
∵∠B＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，即α+β＝90°．
∵∠BEF+∠FEP＝90°，即α+∠FEP＝90°，
∴∠FEP＝β．
∵∠AED＝∠BEF＝α，∠DEP＝β，
∴∠DEF＝2β．
同理，∠EFG＝2α，
∴∠DEF+∠EFG＝180°，
∴DE∥FG；
②解：如图3，延长DE交CB的延长线与点G，
∵∠ABC＝130°，
∴α＝∠EBG＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BEP＝90°﹣50°＝40°．
在△EBF中，β＝180°﹣130°﹣40°＝10°．
7．解：（1）只要作出的光线BC经镜面EF反射后的反射角等于入射角即∠5＝∠6即可．
（2）CD∥AB．
（3）如图，作图可知∠5＝∠6，∠3+∠5＝90°，∠4+∠6＝90°，
∴∠3＝∠4；
∵EF∥MN，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4；
∵∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴CD∥AB．
8．解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠A＝60°．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝100°．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC＝20°，∠PCD＝50°，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝30°；
（2）∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC＝，∠PCD＝．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠P＝（∠A+∠ABC）﹣＝＝30°；
（3）．
理由：∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．
∵∠ABC、∠ACD的平分线交于点P，
∴∠PBC＝，∠PCD＝．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠P＝（∠A+∠ABC）﹣＝．
9．解：（1）∠3+∠1＝∠2成立．
理由如下：
过点P作PE∥l1，
∴∠1＝∠APE；
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠3＝∠BPE；
又∵∠BPE+∠APE＝∠2，
∴∠3+∠1＝∠2．
（2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1＝∠2．
理由如下：
过点P作PE∥l1，
∴∠1＝∠APE；
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠3＝∠BPE；
又∵∠BPE﹣∠APE＝∠2，
∴∠3﹣∠1＝∠2．
10．解：（1）过顶点A1可以画（n﹣3）条对角线，它们分别是A1An﹣1（n＞3）；过顶点A2可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A3可以画（n﹣3）条对角线；
（2）过点A1的和过点A2的没有重复的，但和过点A3的有重复的（A1A3和A3A1重复）；
（3）n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条，
共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
即n边形的对角线条数的为．
故答案为：（n﹣3），A1An﹣1（n＞3），（n﹣3），（n﹣3）．
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