湖南省长沙市望城区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测
高一数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“存在一个无理数，它平方是有理数”的否定是（ ）
A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数
C. 存在一个无理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）．
A. B. C. D.
4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（　 ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数
C. 若，则 D. 若，则
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 函数有最小值2
11. 已知函数，则以下结论恒成立的是（ ）
A. B.
C D.
12. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 函数的定义域为，值域为 D. 函数是增函数?奇函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角第三象限，且，则_________．
14. 函数的值域为_________．
15. 已知函数的定义域为______．
16. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现，工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量．若经过过滤后还剩余的污染物．
（1）求常数k的值；
（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间．（精确到）
（参考数据：）
18. 已知函数
（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；
（2）写出函数的单调递减区间、对称中心坐标和对称轴方程．
19. 已知函数．
（1）当时；解不等式；
（2）若，解关于x的不等式．
20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是扇形弧上动点，矩形内接于扇形．记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．
21. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过，按0.58元/计费；每月用电量超过，其中仍按原标准收费，超过部分按0.98元/计费．
（1）设月用电，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）小王家第四季度用电，共交电费2065元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过，问小王家10月，11月和12月各用电多少？
22. 已知函数（且）是奇函数，且．
（1）求的值及的定义域；
（2）设函数有零点，求常数k的取值范围；
（3）若，求t的取值范围．
长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测
高一数学（解析版）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意知，故选B.
【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.
2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数
C. 存在一个无理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】A
【解析】
【分析】
特称命题否定为全称命题，改量词否结论
【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，
故选：A
3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据图像平移即得解析式.
详解：由题意可知，故选．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
【详解】解：函数在其定义域上单调递增，
（2），（1），
（2）（1）．
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选．
【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
判断由“”能否推出“”和由“”能否推出“”即得结果.
【详解】“”不一定能推出“”，如，，，时，
由“”推出“且”， ，所以
则“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（　 ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先探究出酒精含量递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.
【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,
x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，
由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，
所以，
，
两边取对数得，
，
，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.
故选：C
【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由展开计算正余弦值代入可得答案.
【详解】因为，
所以，，
因为，所以，
又因为，所以，
而，
.
故选：A.
【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在同一个坐标系内作出和y=m,根据有三个交点，判断0详解】
如图示，由的图像关于对称，知，而由，得：
，所以.
故选：C
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由时，可得可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】设幂函数
将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
.
即成立，所以D不正确.
故选：AC
【点睛】关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由，化简得到，从而判断出选项D的正误，属于中档题.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 函数有最小值2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据基本不等式可判断A，B，C正确；D中等号取不到，错误．
【详解】对于A，因为，所以，故，当且仅当时取等号，正确；
对于B，因为，易知不等式显然成立，当时，，当且仅当时取等号，正确；
对于C，因为，所以，，当且仅当时取等号，而，所以，正确；
对于D，，当且仅当时取等号，而，所以函数没有最小值，错误．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查基本不等式的理解和应用，属于基础题．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”，
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
11. 已知函数，则以下结论恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用诱导公式逐个验证即可得答案
【详解】解：对于A，B，，所以A正确，B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，因为，，所以，所以D正确，
故选：ACD
12. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 函数的定义域为，值域为 D. 函数是增函数?奇函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
将代入解析式，即可判断A项；当时，，得出，从而判断B项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C项；取特殊值，判断D项.
【详解】对于A项，，则A正确；
对于B项，当时，，得出，则B正确；
对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，所以，则C正确；
对于D项，，
，
函数既不是增函数也不是奇函数，则D错误；
故选：ABC
【点睛】本题主要考查了求函数值，解析式，定义域，值域，判断函数的单调性以及奇偶性，属于中档题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角在第三象限，且，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由和可求出的值
【详解】解：因为，所以，即，
因为，
所以，得，
因为角在第三象限，所以，
故答案为：
14. 函数的值域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法求解，设，则，而，再利用在定义域内为减函数，可求出函数的值域
【详解】解：设，则，
因为，在定义域内为减函数，
所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
15. 已知函数的定义域为______．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据函数的解析式有意义，得到不等式组，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，要使得函数有意义，则满足，
解得，故函数定义域为.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据函数解析式有意义，得出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为，可得，根据函数的图象可知，解得即可得解.
【详解】因为函数为偶函数，且有且仅有3个零点，
所以必有一个零点为，
所以，得，
所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点，
因为函数的最小正周期，所以，
即，得，
所以的最小值是2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出是解题关键.
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现，工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量．若经过过滤后还剩余的污染物．
（1）求常数k的值；
（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间．（精确到）
（参考数据：）
【答案】（1）（或）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据，，即可解出k的值；
（2）由（1）知，再解方程，即可求出时间．
【详解】（1）由已知得，当时，；当时，．
于有，解得（或）．
（2）由（1）知，当时，有，
解得．
故污染物减少到至少需要．
【点睛】本题主要考查指数函数和对数运算性质的应用，属于基础题．
18. 已知函数
（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；
（2）写出函数的单调递减区间、对称中心坐标和对称轴方程．
【答案】（1）答案见解析；（2）调递减区间：，对称中心坐标：，对称轴方程：.
【解析】
【分析】
（1）描点作图可得答案；
（2）由正弦函数的单调递减区间、对称中心、对称轴方程可得答案.
【详解】（1）列表：
0








0 3 0
0
描点画图
（2）单调递减区间
即；
由得
对称中心坐标：；
由得
对称轴方程：.
19. 已知函数．
（1）当时；解不等式；
（2）若，解关于x的不等式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，得到，解出不等式，再解；
（2）时，可以判断出，写出不等式的解集.
【详解】（1）当时，
由 得
由得
所以不等式的解集为
（2）由得，

不等式的解集为.
【点睛】常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；
(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；
(3)高次不等式用穿针引线法；
(4)复合函数型不等式化用换元法解.
20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形．记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】当时，矩形的面积，最大面积为.
【解析】
【分析】
由题意可得，，从而可得矩形的面积为，再由可得，由此可得时，取得最大值
【详解】在中，，
在中，
所以
所以
设矩形的面积为，则

由，得，所以当，即时，
因此，当时，矩形的面积，最大面积为
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形的面积表示为，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题
21. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过，按0.58元/计费；每月用电量超过，其中仍按原标准收费，超过部分按0.98元/计费．
（1）设月用电，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）小王家第四季度用电，共交电费206.5元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过，问小王家10月，11月和12月各用电多少？
【答案】（1）；（2）小王家10月，11月和12月分别用电.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得当时，，当时，，从而可得答案.
（2）先求出小王家10月用电量为，然后判断11月用电是否超过，然后设11月用电（），则12月用电，列式得出答案.
【详解】（1）当时，；
当时，
所以
（2）若每月用电量为，则费用为58元.
10月份电费为49．3元，没超过58元，故10份用电少于，所以用电量为
若11月用电也超过，
则11月和12月份的电费共为
则第四季度共交电费元 这与已知不符
所以11月用电不超过
设11月用电（），则12月用电
由已知得：
化简得 解得
所以 小王家10月，11月和12月分别用电
【点睛】关键点睛：本题考查分段函数模型的应用，考查函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是先判断出11月用电是否超过，然后设11月用电（），则12月用电，由已知得：，属于中档题.
22. 已知函数（且）是奇函数，且．
（1）求的值及的定义域；
（2）设函数有零点，求常数k的取值范围；
（3）若，求t的取值范围．
【答案】（1），， 定义域为；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由是奇函数，可得，从而可得，，进而可求出的值和定义域；
（2）由（1）可得，则函数有零点，可转化为 有实数解，而，从而可得且，进而可得k的取值范围；
（3）先利用单调性的定义证明在上单调递减，再利用奇函数的性质将由转化为，则有，从而可求出t的取值范围
【详解】（1）由 得……①
又是奇函数，
即……②
联立①、②并注意到 解得，

由 得
的定义域为
（2），
有零点，即关于的方程有实数解
有实数解
， 且
且
的取值范围是
（3）先证明函数上单调递减
设，则
，
即
函数在上单调递减
由
得 又是奇函数


所以的取值范围是
【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数的性质和单调性的应用，考查函数的零点，考查利用函数的单调性解不等式，第3问中解题的关键是先判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将转化为，从而得，属于中档题