华东师大版九年级数学下册26.1二次函数课件(共21张PPT)

26.1 二 次 函 数
教学目标
教学重点与难点
重点:理解并掌握二次函数的概念和一般形式.
难点:会列二次函数表达式解决实际问题.
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.
复习回顾
在某一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的
每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么
我们就把 x叫做自变量, y叫做因变量,y叫x的函数.
2.我们已经学习了那几种类型的函数？它们的表达
式是什么？
1.什么叫函数?
一次函数
y=kx+b(k,b是常数,k≠0)
当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
反比例函数
它们的图象是什么？
直线
双曲线
问题1 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个
矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？

如图,设围成的矩形花圃为ABCD,靠墙的
一边为AD,垂直于墙面的两边分别为AB
和CD.设AB长为x m ,先取x的一些值,进而可以求出BC边的长，从而可得矩形的面积 y.将计算结果写在下表的空格中：
A D
B C
AB的长(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC的长
12
面积(y)
48
单位：m
18
16
14
10
8
6
4
2
18
32
42
50
48
42
32
18
问题引入
从所填的表格中,你能发现什么?能作出怎样的猜想?
AB的长(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC的长
18
16
14
12
10
8
6
4
2
面积(y)
18
32
42
48
50
48
42
32
18
通过填写表格可以发现当x的值为__时,y的值最大,为___.
即在问题1中垂直于墙的一边AB的长为__ m,另一边BC的
长为__ m时,得到的矩形花圃的面积最大．
5
50
5
10
(1)在问题1中AB(x)是否可以任意取值?
x的取值范围是什么?
x不能任意取值. x的取值范围是0＜x＜10.
(2)在问题1中,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的_____,它们之间的函数关系式为y=_________ 或y=_________ ．
函数
x(20－2x)
－2x2+20x
问题2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元
出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量
的办法来提高利润. 经过市场调查,发现这种商品单价每
降低0.1元,每天的销售量可增加10件.将这种商品的售价
降低多少时,其每天的销售利润最大?
(1)每件进价8元，每件10元出售，则每件利润为 元；
2
(2)若售价降低x元，则每件利润为 元；
(10－x－8)
(3)售价降低x元时，则能多卖 件，
共卖 件；
=100x
(100+100x)
(4)在问题2中等量关系是什么？
利润=(售价－进价)×销售量
问题2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元
出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量
的办法来提高利润. 经过市场调查,发现这种商品单价每
降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低
多少时,能使销售利润最大?
在问题2中,设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元,则y是x的______.
函数关系式为:y=___________________ 或者
为y=________________. 其中x表示每件商品降价
的钱数,最小降价为__元,最大降价为__元,因此x的
取值范围为________．
函数
(10－x－8)(100+100x)
－100x2+100x+200
0
2
0≤x≤2
探索发现
问题1与问题2中的函数关系式有什么共同点?
y=－2x2+20x;
y=－100x2+100x+200.
(1)自变量x的最高次数是 ；
(2)二次项系数a ；
(3)右边是关于自变量x的 式.
≠0
整
2
(自变量x不能出现在分母中或根号里)
请你给它们命一个合理的姓名: ,
二次函数
再请你给它们一个合理的表达式: .
y=ax2+bx+c
(a、b、c为常数,a≠0)
学习新知
二次函数的概念和一般形式:
形如y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的函数,
叫做二次函数.
其中,x是自变量,a,b,c分别是函数
表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
说明:
(1)等号左边是因变量y,右边是关于自变量x的整式;
(2) a,b,c为常数，且二次项系数a≠0;
(3)等式右边的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项;
(4)自变量x不能出现在分母中或根号里;
(5) 自变量x的取值范围是任意实数.
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？
(x是自变量)
① y=ax2+bx+c ; ② s=3－2t? ; ③y=x2 ;
④ ⑤y=x?+x?+25 ; ⑥ y=(x+3)?－x?.
不一定是，
缺少a≠0的条件.
不是，
右边是分式.
不是，
x的最高次数是3.
y=6x+9
例题精析
不是，
x的最高次数不是2.
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外,二次函数
除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0) 外,还有其特殊形式如y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
下列函数中，哪些是二次函数？
随堂练习
(6)y=3x－1；
(7)y=3x3+2x2.
是
否
y=x2－5x+6
是
否
否
否
否
y=x2+2x－3
y=2x－5
想一想
1.函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数),当a,b,c满足
什么条件时：
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数?
(3)它是正比例函数?
a≠0
a=0,b≠0
a=0,b≠0,c=0
2.二次函数的一般式y=ax２＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0(a≠0)有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.
例题精析
例2 已知函数y=(m2+m)xm2－2m+2.
(1)当函数是二次函数时,求m的值；
(2)当函数是一次函数时,求m的值．
随堂练习
1.如果函数y=xk2－3k+2 +kx+1 二次函数,
则k的值是______.
0或3
2.如果函数y=(k－3)xk2－3k+2 +kx+1 二次函数,
则k的值是______.
0
3.若函数y=(m2－9)x2 +(m－3)x+1 二次函数,
则m的取值范围是 ______ .
m≠±3
4.已知 ,当m= 时,y是x的二次函数.
－2
5.已知函数y=(m+3)xm2－7.
(1)当m取什么值时，此函数是正比例函数？
(2)当m取什么值时，此函数是二次函数？
随堂练习
例题精析
例3 写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数：
(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的
函数关系；
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
解: 由题意得:
S=6a2(a>0) ,
其中S是a的二次函数.
随堂练习
课本P4 练习1,2
1.已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm.
(1)当它的一条直角边的长为4.5cm时,求这个直角
三角形的面积;
(2)设这个直角三角形的一条直角边的长为x cm,
面积为S cm2,求S与x之间的函数关系式.
S=4.5×5.5÷2
=12.375 cm2
∵ 这个直角三角形的一条直角边的长为x cm,
∴它的另一条直角边的长为(10－x) cm,
∴ S与x之间的函数关系式为
(其中02.已知正方体的棱长为x cm,表面积为S cm2,
体积为V cm3.
(1)分别写出S与x、V与x之间的函数关系式.
(2)这两个函数中，哪个是x的二次函数？
S=6x2，
V=x3;
S=6x2是x的二次函数.
3.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆，
下部是一个矩形，矩形的一边长为2.5m．
则隧道截面的面积S(m2)与上半部半径
r(m)的函数关系式是 .
二次函数的概念和一般形式:
形如y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的函数,
叫做二次函数.
其中,x是自变量,a,b,c分别是函数
表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
说明:
(1)等号左边是因变量y,右边是关于自变量x的整式;
(2) a,b,c为常数，且二次项系数a≠0;
(3)等式右边的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项;
(4)自变量x不能出现在分母中或根号里;
(5) 自变量x的取值范围是任意实数.
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P4 习题26.1 1,2,3
2.课外学习任务：
预习课本P5-6 26.2 二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2的图象与性质
教学反馈：
作业存在的主要问题：