(共30张PPT)
26.2
二次函数的图象与性质
2(6).二次函数的最值问题
教学目标
教学重点与难点
重点:用二次函数的知识解决实际问题中的最值.
难点:根据题意正确列出二次函数模型.
1.能根据实际问题建立二次函数关系式，并能确定自变量取值范围．
2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0
开口_________
a＜0
开口_________
b=0
对称轴为_____轴
a、b同号(ab>0)
对称轴在y轴的____侧
a、b异号(ab<0)
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过____
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
Δ>0
与x轴有_____交点
Δ=0
与x轴有_____交点
Δ<0
与x轴_____交点
原点
向上
向下
y
左
右
左同右异
正
负
两个
唯一
没有
温故夯基
1.若二次函数
y=ax2
+
bx
+
c
的图象如下,与x轴的
一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是(
).
A.b2－4ac>0
B.
C.a+b+c=0
D.
1
x
y
o
-1
B
巩固练习
2.二次函数y=ax?+bx+c(a≠0）图像如图,下列正确的个数为（
）.
①bc＞0；②
2a－3c＜0；③
2a+b＞0；
④ax?+bx+c=0有两个解x1,
x2,当x1＞x2时,x1＞0,x2＜0
；
⑤a+b+c＞0；
⑥当x＞1，y随x增大而减小.
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
B
a＞0,
b<0,
c<0
√
×
√
√
√
×
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
–
h
)2
y
=
a(x
–
h
)2
+
k
y=ax2+bx+c
a＞0向上
(
0
,
0
)
y轴
a＜0向下
(
0
,
k
)
(
h
,
0
)
a＞0向上
a＞0向上
a＞0向上
a＜0向下
a＜0向下
a＜0向下
直线x=h
直线x=h
y轴
(
h
,
k
)
a＜0向下
a＞0向上
知识回顾
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
问题:
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的最值由什么决定?
问题探究
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的最值由a及自变量
的取值范围决定.
二次函数的最值问题
问题归纳
2.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)：
1.对于二次函数y
=
a(x
–
h
)2
+
k(a≠0)：
若a＞0,则当x=
时,y取最
值,最
值为
；
若a＜0,则当x=
时,y取最
值,最
值为
.
若a＞0,则当x=
时,y取最
值,最
值为
；
若a＜0,则当x=
时,y取最
值,最
值为
.
h
大
k
大
h
小
小
k
大
大
小
小
1.
二次函数y=2(x－3)2+5的对称轴是
，
顶点坐标是
.当x=
时,y有最
值是
.
2.
二次函数y=－3(x+4)2－1的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时,y有最
值是
.
3.二次函数y=2x2－8x+9的对称轴是
，
顶点坐标是
.当x=
时,y有最
值是
.
直线x=3
(3
,
5)
3
小
5
直线x=－4
(－4
,－1)
－4
大
－1
直线x=2
(2
,
1)
2
小
1
即时应用
当自变量x有限制时,二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值如何
确定？
例1
求下列函数的最大值与最小值:
x
0
y
解：
-3
1
例题精析
(1)
y=x2+3x－2(－3≤x≤1);
若－5≤x≤－3呢？
若1≤x≤3呢？
解：
0
x
y
1
-3
即x在对称轴的右侧.
∴函数y的值随着x的增大而减小.
∴当x=
时,y取最大值,最大值为
，
－3
当x=
时,y取最小值,最小值为
.
1
若－9≤x≤－6呢？
若1≤x≤5呢？
方法归纳
当自变量的范围有限制时,二次函数y＝ax2＋bx＋c
的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方:求二次函数的顶点坐标及对称轴;
2.画出函数图象,标明对称轴,并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断:判断x的取值范围与对称轴的位置关系.
根据二次函数的性质,确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
例2
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时,它的透光面积最大?最大
透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)
例题精析
x
解:设矩形窗框的宽为x
m，
则高为
m.
∵
x＞0，
矩形窗框的透光面积y与x之间
的函数关系式是：
即
配方得:
∴当x=1时,函数取得最大值,
最大值y=1.5.
∴
0＜x＜2.
∵
0＜x＜2,
∴
所做矩形窗框的宽为1
m、高为1.5
m时,
它的透光面积最大，最大面积是1.5
m2.
例3
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随
矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大?
解:根据题意得:
S=l(30－l),
即
S=－l
2+30l
∴
当l是15m时，场地的面积S最大.
∵
030,
=－(l－15)
2+225
∴当l=15时,S取得最大值,
最大值S=225.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
直线l=15
变式1
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，
菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1
变式1与例3有什么不同？
问题2
我们可以设面积为S，如何设自变量？
有一边靠墙
设垂直于墙的边长为x
m
x
x
60－2x
问题3
面积S的函数关系式是什么？
S＝x(60－2x)
＝－2x2＋60x.
问题4
如何求解自变量x的取值范围？
墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，
即14≤x＜30.
问题5
如何求最值？
S＝－2x2＋60x
=－2(x－15)
2+450,
∴
最值在顶点处取得，即当x=15m时，S=450m2.
变式2
如图,
用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，
菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1
变式1与变式1有什么不同？
墙长不同
问题2
可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
设垂直于墙的边长为x
m，
x
60－2x
则
S＝x(60－2x)
＝－2x2＋60x
∵
0＜60－2x≤18，
∴
21≤x＜30.
=－2(x－15)
2+450,
∵
15＜21，
即x在对称轴的右侧，
∴函数值S随着x的增大而减小,
∴当x=
m时,S取最大值,最大值为
m2
.
21
378
问题3
可否设与墙平行的一边为xm?
则如何表示另一边?
变式2
如图,
用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，
菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
问题3
可否设与墙平行的一边为xm?
则如何表示另一边?
设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米,
则
S＝
问题4
当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
不正确
问题5
如何求自变量的取值范围？
∵0＜
x≤18，
∴
0＜
x≤18.
问题6
如何求最值？
变式2
如图,
用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，
菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米,
则
S＝
∵0＜
x≤18，
∴
0＜
x≤18.
问题6
如何求最值？
∵
18＜30，
即x在对称轴的左侧，
∴函数值S随着x的增大而增大,
∴当x=
m时,S取最大值,最大值为
m2
.
18
378
方法总结
二次函数解决最值问题的方法
1.实际问题函数化：
自变量选取的方法通常不是唯一的，以直接决定和影响其它因素变化的量作为自变量x，用自变量x表示出其他量y便得到函数关系式；
2.求出函数解析式和自变量的取值范围；
3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
但是一定要注意顶点坐标是否符合自变量的取值
范围.
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2)请设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.
解:(1)设矩形一边长为x
m，则另一边长为(6－x)
m,
∴
S=x(6－x)=－x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=－x2+6x=－(x－3)2+9,
∴当x=3时,即矩形的一边长为3m时,矩形面积最大,为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000(元).
随堂练习
∵
0＜x<6,
例4
已知某商品的进价为每件40元.
现在的售价
是每件60元，每星期可卖出300件.
市场调查反映:如调整价格?,每涨价一元,每星期要少卖出10件;每降价一元,每星期可多卖出20件.
如何定价才能使利润最大?(提示:比较两种调查方案的利润)
例题精析
商品利润最大问题
解答这类题的关键是将实际问题转化求函数最值问题，
解这类题，既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响,两者结合起来,
销售价格就会对销售总利润产生影响.
利润公式:总利润=单个利润×销售量=总销售额－总成本;
利润=售价－进价.
例4
已知某商品的进价为每件40元.
现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格?,每涨价一元,每星期要少卖出10件;每降价一元,每星期可多卖出20件.如何定价才能使利润最大?(提示:比较两种调查方案的利润)
例题精析
商品利润最大问题
解(调查方案一):设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
依题意得:y
=(60－40+x)(300－10x)
=(20+x)(300－10x)
=－10x2+100x+6000
=－10(x2－10x
)
+6000
=－10［(x－5)2－25
］+6000
=－10(x－5)2+6250.
怎样确定x的取值范围
其中(0≤x≤30)
∵0≤x≤30，
∴当x=5时，
y最大值=6250.
∴定价为:
60+5=65(元).
例4
已知某商品的进价为每件40元.
现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格?,每涨价一元,每星期要少卖出10件;每降价一元,每星期可多卖出20件.如何定价才能使利润最大?(提示:比较两种调查方案的利润)
例题精析
商品利润最大问题
(调查方案二)：设每件降价x元时的总利润为y元.
则
y=(60－40－x)(300+20x)
=(20－x)(300+20x)
=－20x2+100x+6000
=－20(x2－5x－300)
=－20(x－2.5)2+6125
,
怎样确定x的取值范围
其中(0≤x≤20)
∵0≤x≤20，
∴当x=2.5时，
y最大值=6125.
∴定价为:60－2.5=57.5(元).
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.
则
y=(x+30－20)(400－20x)
=－20x2+200x+4000=－20(x－5)2+4500,
∵
x=5时，满足0
﹤x
﹤20,
∴当x=5时，y最大值
=4500.
答：售价提高5元时，半月内获最大利润4500元.
∵
x﹥0
400－20x
﹥0
｛
∴
0
﹤x
﹤20.
随堂练习
2.某商场购进一批单价为16元的日用品,经实验发现若按
每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的
价格销售时,每月能卖210件,假设每月销售件数为y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问:销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?
解:
(1)设y=kx+b(k≠0),
把x=20时,y=360;x=25时,y=210代入上式得：
解得:
k=－30,b=960
.
∴
y与x之间的函数关系式是y=－30x+960.
2.某商场购进一批单价为16元的日用品,经实验发现若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假设每月销售件数为y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问:销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?
(2)设每月利润为P元,
则
P=y(x－16)=(－30x+960)(x－16)
=－30x?+1440x－15360
(x≥16,且x为整数)
满足x≥16,且x为整数,
答:销售价格为每件24元时,每月利润最大,最大利润为1920元.
课堂小结
当自变量的范围有限制时,二次函数y＝ax2＋bx＋c
的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方:求二次函数的顶点坐标及对称轴;
2.画出函数图象,标明对称轴,并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断:判断x的取值范围与对称轴的位置关系.
根据二次函数的性质,确定当x取何值时函数有最大或最小值.若自变量受到限制,应根据实际情况讨论最值问题.
课堂小结
二次函数解决最值问题的方法
1.实际问题函数化：
自变量选取的方法通常不是唯一的，以直接决定和影响其它因素变化的量作为自变量x，用自变量x表示出其他量y便得到函数关系式；
2.求出函数解析式和自变量的取值范围；
3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
但是一定要注意顶点坐标是否符合自变量的取值
范围.
作业与课外学习任务
1.作业：课本P20
练习
2,3
2.课外学习任务：
预习课本P21-22
26.3
求二次函数的表达式
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共20张PPT)
26.2
二次函数的图象与性质
2(2).二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学目标
教学重点与难点
重点:二次函数y=a(x－h)2的图象与性质.
难点:理解二次函数y=a(x－h)2与y=ax2图象之间的位置关系.
1.能比较二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2图象的
位置关系．
2.掌握y＝ax2图象的上、下平移规律．
3.掌握y＝a(x－h)2的图象的性质．
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称轴
顶点坐标
(最值)
增减性
开口向上
开口向下
|a|越大,开口越小
y轴(直线x=0)
k>0
k<0
k<0
k>0
(0,k)
当x=0时,y最小=k(顶点最低)
当x=0时,y最大=k(顶点最高)
当x<0时(对称轴左侧)，
y随着x的增大而减小;
当x>0时(对称轴右侧)，
y随着x的增大而增大.
当x<0时(对称轴左侧)
,
y随着x的增大而增大;
当x>0时(对称轴右侧)，
y随着x的增大而减小.
温故夯基
二次函数
y=ax2+k
的图象与性质
当k＞0时,把抛物线y＝ax2向上平移k个单位,就得到抛物线y＝ax2＋k,把抛物线y＝ax2向下平移k个单位得到抛物线y＝ax2－k.
二次函数
y=ax2+k
与函数y=ax2的图象之间的关系
上加下减
1.把抛物线y＝2x2向上平移5个单位,所得到的抛物线的表达式为( ).
A.
y＝2x2＋5 B.
y＝2x2－5
C.
y＝2(x＋5)2
D.y＝2(x－5)2
巩固练习
A
巩固练习
2.抛物线y=?2x2+3的顶点坐标是
，对称轴是
,在
侧，y随着x的增大而增大；在
侧，y随着x的增大而减小,当x=
时,函数y的值最大,最大值是
;它是由抛物线y=
?2x2线怎样平移得到的
.
(0,
3)
y轴
对称轴左
对称轴右
0
3
向上平移2个单位
3.形状与y=－9x2+2的图象形状相同，但开口方向不同,顶点坐标是(0,
3)的抛物线的解析式是
.
y=9x2+3
解：列表：
x
···
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
···
…
···
···
…
…
…
探索发现
问题1:在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像:
描点连线：
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
探索发现
问题1:在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像:
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
x
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
y轴
(0,
0)
向上
直线x=2
(2,
0)
向上
直线x=-2
(－2,
0)
根据所画出的图象,说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并填写下表：
通过图象,发现三条抛物线有何异同点?
直线x=2
直线x=-2
相同点？？？
不同点？？？
因为a相同,所以三条抛物线的开口方向,形状大小相同.
但上表可发现它们顶点和对称轴不同,也就是位置不同.
那同学们思考下，它们的位置有何关联呢？
探索发现
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
向右平移2个单位
向左平移2个单位
顶点(0,0)
向右平移2个单位
顶点(2,0)
向左平移2个单位
顶点(－2,0)
对称轴:y轴
即直线:
x=0
向右平移2个单位
直线x=2
向左平移2个单位
直线x=－2
直线x=2
直线x=-2
探索发现
探索发现
问题2:在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像:
x
y
1.说出上述函数的开口方向，
对称轴及顶点坐标；
2.结合图象，指出上述函数的性质及相互关系.
抛物线y=a(x－h)2(a≠0)的图象特点:
(1)对称轴是x=h;
(2)顶点坐标是(h,0).
(3)抛物线y=a(x－h)2可以
由抛物线y=ax2向左或向右
平移|h|得到.
h>0，向右平移;
h<0，向左平移.
---顶点在x轴上的抛物线.
x
y
要点归纳
y=a(x－h)2
a＞0
a＜0
图象
开口方向
对称性
顶点坐标
增减性
开口向上
开口向下
关于直线x=h对称，即对称轴是直线x=h
顶点(h,
0)
(1)在对称轴左侧(x＜h)
y随x的增大而减小；
(2)在对称轴左侧(x＞h)
y
随x的增大而增大.
(1)在对称轴左侧(x＜h)
y随x的增大而增大；
(2)在对称轴左侧(x＞h)
y
随x的增大而减小.
当x=h时,y最小=
0
当x=h时,y最大=
0
－－－顶点（h,0）在x轴上的抛物线
h>0
h>0
h<0
h<0
要点归纳
二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的性质
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
直线x=-h
直线x=h
由函数y=ax2得到函数y=a(x±h)2
(h>0)
向左平移
h个单位
y=a(x+h)2
左加
向右平移
h个单位
y=a(x－h)2
右减
例题精析
例1
(1)把抛物线y=2x2向右平移6个单位,得到的
抛物线的解析式是
；
y=2(x－6)2
(2)把抛物线y=2x2向
平移
个单位,可得到
抛物线y=2(x+2)2；
左
2
(3)把抛物线y=2(x－6)2向
平移
个单位,
可得到抛物线y=2(x+2)2；
左
8
(4)把抛物线y=2(x+3)2向
平移
个单位,
可得到抛物线y=2(x－2)2.
右
5
例2
如图,A、B两条抛物线是由抛物线C:
平移而得到的,写出A、B的解析式.
分析：左右平移实质是顶点横坐标
的变化，可依据“左加右减自变量”
来解决．
解:抛物线A的解析式是
抛物线B的解析式是
1.若将抛物线y=－2(x－2)2的图象的顶点移到原点,则下列平移方法正确的是(
).
A.向上平移2个单位
B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位
D.向右平移2个单位
C
随堂练习
2.抛物线y=4(x－3)2的开口方向
,对称轴是
,顶点坐标是
，顶点是抛物线最
点，
当x=
时，y有最
值，其值为
.
抛物线与x轴交点坐标
,与y轴交点坐标
.
向上
直线x=3
(3,
0)
低
3
小
0
(3,
0)
(0,
36)
y=
?2(x+3)2
3.画出下列函数图象,并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点,最大值或最小值各是什么及增减性如何？
y=
2(x－3)2
y=
?2(x－2)2
y=
3(x+1)2
3
-3
2
-1
x=3
x=-3
x=2
x=
-1
3.抛物线y=ax2+k:
当a>0时,
开口向上;
当a<0时,开口向下.
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点坐标是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2:
(1)顶点(h,0)在x轴上的抛物线;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点坐标是(h,0).
2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|个单位得到.
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|个单位得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
(h>0,向右平移;h<0向左平移.)
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的
形状完全相同,开口方向一致.
(1)顶点(0,k)在y轴上的抛物线;
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P24
习题26.2
1,2,3
2.课外学习任务：
预习课本P14-15
26.2
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共23张PPT)
26.2
二次函数的图象与性质
2(5).二次函数y=ax2+bx+c的图象、性质与系数的关系
教学目标
教学重点与难点
重点:由y＝ax2＋bx＋c的图象,得出a、b、c及与a、b、c有关代数式的正、负.
难点:由抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，得出a、b、c及与a、b、c有关代数式的正、负.
1.会由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判断系数a、
b、c、
2a＋b、2a－b、a－b＋c、a＋b＋c的符号.
2.
知道抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、对称轴与系数a、b、c
的关系．
温故夯基
已经学过的二次函数之间的关系
对称轴：
顶点坐标：
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与系数k、b之间的关系
温故夯基
k决定直线的倾斜方向，b决定与y轴的交点情况.
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
k
0,b
0.
k
0,b
0.
k
0,b
0.
k
0,b
0.
＞
＜
＞
＞
＞
＜
＜
＜
直线与y轴交与正半轴,则b>0.
直线与y轴交与负半轴,则b<0.
直线向右倾斜,则k>0.
直线向左倾斜,则k<0.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数间有何关系呢？
x
y
O
直线
如果a＞0时,开口向上,
当
时，
问题探索
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数间的关系
问题1：二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数a有何作用？
x
y
O
直线
如果a＜0时,开口向下,
当
时，
问题探索
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数间的关系
问题1：二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数a有何作用？
综上所述，系数a的作用：
1.决定抛物线的开口方向：
当a＞0
,抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下；
当
时,
函数取得最值,最值
2.开口大小：
｜a︱越大，开口越小.
当a>0，a越大，开口越小；当a<0，a越大，开口越大；
3.当图象形状大小相同时,若开口相同,则a
相同;
若开口相反,则a互为相反数.
x
y
O
直线
对称轴
在y轴的左侧，a，b同号；
对称轴
在y轴的右侧，a，b异号.
由此可知,
a、b决定抛物线对称轴与y轴的位置关系：
(1)当a、b同号时，抛物线的对称轴位于y轴的左侧；
(2)当a、b异号时，抛物线的对称轴位于y轴的右侧.
问题探索
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数间的关系
问题2：二次函数y=ax2+bx+c中a,b
的作用？
即：左同右异.
x
y
O
当c＞0时,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴;
当c=0时，抛物线与y轴的交点为原点；
当c＜0时,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴.
由此可知,c决定抛物线与y轴的交点(0，c)情况：
(1)当c＞0时,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；
(2)当c=0时,抛物线与y轴的交点为原点；
(3)当c＜0时,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴.
问题探索
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数间的关系
问题3：二次函数y=ax2+bx+c中c
的作用？
x
y
O
当△＞0时,抛物线与x轴有两个不同的交点;
当△=0时,抛物线与x轴只有一个交点;
当△＜0时,抛物线与x轴没有交点.
由此可知,a,b,c决定抛物线与x轴的交点情况：
(1)当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)当△=0时，抛物线与x轴有且只有一个交点；
(3)当△＜0时，抛物线与x轴没有交点.
问题探索
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数间的关系
问题4：二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c
的作用？
要点归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0
开口_________
a＜0
开口_________
b=0
对称轴为_____轴
a、b同号(ab>0)
对称轴在y轴的____侧
a、b异号(ab<0)
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过____
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
Δ>0
与x轴有_____交点
Δ=0
与x轴有_____交点
Δ<0
与x轴_____交点
原点
向上
向下
y
左
右
左同右异
正
负
两个
唯一
没有
例1
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,则下列结论正确的是（
）.
O
y
x
A.
a>0,
b>0,c>0
a<0
c>0
D
例题精析
B.
a<0,
b<0,c>0
C.
a<0,
b>0,c<0
D.
a<0,
b>0,c>0
例2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,则下列结论正确的是（
）.
O
y
x
a>0
c>0
b>0
A
例题精析
A.
a>0,
b>0,
b2－4ac>0
B.
a<0,
b>0,
b2－4ac>0
C.
a>0,
b<0,
b2－4ac>0
D.
a>0,
b>0,
b2－4ac<0
例题精析
例3
在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与
一次函数y=ax+c的大致图象可能是(
).
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
a<0
抛物线：
直线：
a>0
矛盾
a>0
a<0
矛盾
a<0
a<0
a>0
a>0
要从哪个方面考虑？
抛物线与直线要交于y轴上同一个点(0,c)
C
∴
abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1,可得:
,
例题精析
例4
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论:①abc＞0;②2a－b＜0;③4a－2b＋c＜0;④(a＋c)2＜b2
其中正确的个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
解析:由图象开口向下可得
，
a＜0
由对称轴在y轴左侧可得
，
b＜0
由图象与y轴交于正半轴可得
，
c＞0
∴
2a－b＜0，故②正确；
C
由图象上横坐标为
x＝－2的点在第
象限,
由图象与x轴有两个交点得：b2－4ac＞0，
例题精析
例4
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论:①abc＞0;②2a－b＜0;③4a－2b＋c＜0;④
4ac＞b2
.
其中正确的个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
∴
4a－2b＋c＜0，故③正确；
三
∴
4ac＜b2，故④不正确．
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
-3
-3
-3
-3
随堂练习
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图,
反比例函数
与
正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（
）.
a＜0
b＞0
C
2.若一次函数
y=
ax
+
b
的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y
=
ax2
+
bx
－
3的大致图象是(
).
a＜0
b＜0
C
3.二次函数y=ax?+bx+c的图像如图所示，对称轴是直线x=1，则下列结论错误的是（
）.
A.
c＞0
B.
2a+b=0
C.
b?－4ac＞0
D.
a－b+c＞0
D
随堂练习
O
y
x
–1
–2
3
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
(1)a、b同号；
(2)当x=–1和x=3时,函数值相等；
(3)
4a+b=0；
(4)当y=
–2时,x的值只能取0；
其中正确的是
.
直线x=1
(2)
随堂练习
x
y
O
2
1
-1
-2
⑦
随堂练习
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，对于
下列说法：①abc＞0,②b2－4ac＞0,③
2a+b＞0,
④a+b+c＜0,⑤a－b+c>0,⑥4a+2b+c＜0;
⑦4a－2b+c＜0.
正确的有
.(填写序号)
a＜0
b＞0
c＞0
②
③
∴
2a+b>0.
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
下列结论:①a+b+c＜0;②a－b+c＞0;③
abc＞0；
④b=2a;⑤a+b－c>0;⑥4a+2b+c>0;
⑦4a－2b+c>0.
其中正确的个数为(
).
A.
4个
B.
5个
C.
6个
D.
7个
y
1
x
-1
O
B
随堂练习
√
√
√
√
∵
a＜0,b＜0,c＞0,
∴
a+b－c＜0.
×
×
∵对称轴为x=－1,
∴当x=－2和x=0时,
函数值相等，
∴
y=4a－2b+c=c>0.
√
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0
开口_________
a＜0
开口_________
b=0
对称轴为_____轴
a、b同号(ab>0)
对称轴在y轴的____侧
a、b异号(ab<0)
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过____
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
Δ>0
与x轴有_____交点
Δ=0
与x轴有_____交点
Δ<0
与x轴_____交点
原点
向上
向下
y
左
右
左同右异
正
负
两个
唯一
没有
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P24
习题26.2
1,2,3
2.课外学习任务：
预习课本P19-20
26.2
二次函数的图象与性质
应用
例5
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共17张PPT)
26.2
二次函数的图象与性质
2(1).二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学目标
教学重点与难点
重点:二次函数y=ax2+k的图象与性质.
难点:理解二次函数y=ax2+k与y=ax2图象之间的
位置关系.
1.能比较二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象的位置
关系．
2.掌握y＝ax2图象的上、下平移规律．
3.掌握y＝ax2＋k的图象的性质．
y＝ax2
a>0
a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
温故夯基
二次函数
y=ax2
的图象与性质
巩固练习
1.已知抛物线y=－6x2.
图象的开口
,顶点坐标是_____,对称轴是____.
在___________
侧,y随着x的增大而增大；
当__________时,y随着x的增大而减小;
当x=___
时,函数y的值最
,最
值是
___
;
当x____0时,y<0.
抛物线y=－6x2在x轴的_____方(除顶点外).
向下
(0,0)
y轴
对称轴的左
>0
0
大
大
0
≠
下
2.已知
y
=(m+1)x
是二次函数且其图象开口
向上,则m的值为
，函数的解析式是
.
m2+m
1
y=2x2
m+1>0
①
m2+m=2
②
解：列表：
x
···
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
···
…
···
···
…
…
…
探索发现
问题1:在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像:
描点连线：
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
探索发现
问题1:在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像:
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
探索发现
当自变量x取同一数值时,这三个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
观察这三个函数的图象,分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.它们有哪些是相同的?又有哪些不同?
当自变量x取同一数值时,函数
的值都比函数
的值大1.
反映在图象上,函数
的图象上的每一点都在
函数
的图象上相应点的上方1个单位.
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
探索发现
观察图形，完成下列填表：
x
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
(0,0)
y轴
向上
向上
(0,1)
(0,－1)
y轴
y轴
这三个函数图像间有何关联呢？
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
向上平移
1个单位
向下平移
1个单位
探索发现
探索发现
问题2:在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图像:
y=－x2
y=－x2+3
y=－x2－2
x
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
y=－x2
y=－x2+3
y=－x2－2
向下
向下
向下
(0,0)
(0,3)
(0,－2)
y轴
y轴
y轴
函数y=ax2
(a≠0)和函数y=ax2+k
(a≠0)的图象形状
,
只是位置不同.当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2
的图象向
平移
个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到。
y=－x2－2
y=－x2+3
y=－x2
函数y=－x2－2的图象可由y=－x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
函数y=-x2+3的图象可由y=－x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.
图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
相同
上
k
下
|k|
1.函数y=4x2+6的图象由y=4x2的图象向
平移
个单位得到；y=4x2－9的图象由y=4x2的图象向
平移
个单位得到.
3.将抛物线y=4x2向上平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式是
；
将抛物线y=－5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数表达式是
.
2.将函数y=－3x2+5的图象向
平移
个单位可得函数y=－3x2的图象；将函数y=2x2－3的图象向
平移
个
单位得到函数y=2x2的图象;将函数y=x2－7的图象向
平移
个单位可得到
y=x2+3的图象.
上
6
下
9
下
5
上
3
上
10
y=4x2+2
y=－5x2－4
随堂练习
二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的性质
要点总结
当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧,y随x的增大而
，
当x=
时，取得最
值，y最小值＝_____;
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口
,对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧,y随x的增大而
，
当x=
时，取得最
值，
y最大值＝
.
向上
y轴
(0,k)
减小
增大
0
小
k
向下
y轴
(0,k)
增大
减小
0
大
k
平移规律:当k＞0时,把抛物线y＝ax2向上平移k个单位,就得到抛物线y＝ax2＋k,把抛物线y＝ax2向下平移k个单位得到抛物线y＝ax2－k.
上加下减
1.抛物线y=－3x2+9的开口
，对称轴是
,顶点坐标是
,在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而
,当x=
时,取得最
值,y的最值是______.
3.二次函数y=ax2+k
(a≠0)的图象经过点A(1,－1),B(2,
5),
则函数y=ax2+k的表达式为
.
若点C(－2,m),D(n
,9)也在函数的图象上，则点C的坐标
为
,
点D的坐标为
.
2.抛物线y=7x2－3的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
，当x=
时，取得最
值，
y的最值
.
向下
y轴
(0,9)
减小
增大
0
大
9
向上
y轴
(0,－3)
减小
增大
0
小
－3
y=2x2－3
(－2,5)
或
随堂练习
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称轴
顶点坐标
(最值)
增减性
二次函数y=ax2+k的性质：
开口向上
开口向下
|a|越大,开口越小
y轴(直线x=0)
k>0
k<0
k<0
k>0
(0,k)
当x=0时,y最小=k(顶点最低)
当x=0时,y最大=k(顶点最高)
当x<0时(对称轴左侧)，
y随着x的增大而减小;
当x>0时(对称轴右侧)，
y随着x的增大而增大.
当x<0时(对称轴左侧)
,
y随着x的增大而增大;
当x>0时(对称轴右侧)，
y随着x的增大而减小.
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P24
习题26.2
1,2,3
2.课外学习任务：
预习课本P11-13
26.2
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共23张PPT)
26.2
二次函数的图象与性质
2(4).二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学目标
教学重点与难点
重点:用配方法求y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标以及
会用描点法画y＝ax2＋bx＋c的图象并能说出图象的性质.
难点:用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、对称轴，并确定y随x的增减性.
1.会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2.会用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、对称轴，并确定y随x的增减性．
a＞0
a＜0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
向上
向下
抛物线关于直线x=h对称,即对称轴是直线x=h
顶点坐标(h，k)
当x=h时,y最小值=k
(1)在对称轴左侧(x＜h)
y随x的增大而减小；
(2)在对称轴左侧(x＞h)
y
随x的增大而增大.
(1)在对称轴左侧（x＜h）
y随x的增大而增大；
(2)在对称轴左侧（x＞h）
y
随x的增大而减小.
当x=h时,
y最大值=k
二次函数y=a(x－h)2+k的图象与性质
温故夯基
一般地,抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同,位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：
括号内左加右减；
上下平移：
括号外上加下减.
温故夯基
巩固练习
1.若抛物线y=－x2向左平移2个单位,再向下平移4个
单位所得抛物线的解析式是________.
y＝－3(x+2)2－4
2.在平面直角坐标系中，抛物线y＝－2(x＋1)2的
图象不经过的象限是( ).
A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第二、三象限
A
3.对称轴是直线x=－2的抛物线是(
).
A.
y=－2x2－2
B.
y=2x2－2
C.
y=－3(x+2)2－2
D.
y=－5(x－2)2－6
C
问题探究
问题:画出二次函数
的图象,并说明
这个函数具有哪些性质？
我们已经知道y=a(x－h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论
的图象和性质？
怎样将
化成y=a(x－h)2+k的形式？
配方法
分析：
∴
函数即为
它的开口向
,对称轴为
,顶点坐标为
.
下
直线x=1
(1,－2)
想一想：配方的方法及步骤是什么？
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”:提出二次项系数；
(2)“配”:括号内配成完全平方;
(3)“化”:化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为顶点式.
对称轴为
,顶点坐标为
.
直线x=h
(h,k)
解：列表：
x
···
-2
-1
0
1
2
3
4
···
…
…
-6.5
问题探究
问题:画出二次函数
的图象,并说明
这个函数具有哪些性质？
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
O
-2
-3
-4
-1
-5
1
2
x
y
描点连线：
(1,－2)
直线x=1
由图可知,函数具有性质如下：
当x＜1，y随x的增大而增大；
当x＞1
,y随x的增大而减小；
当x=1,函数值取得最大值，
最大值是y=－2.
试一试
(1)试按照上面的方法，画出函数
的图象,
由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
提
配
化
5
10
x
y
5
10
x=4
由图可知,函数具有性质如下：
当x
时,y随x的增大而增大；
当x＜4时,y随x的增大而
；
当x=
时,函数值取得最
值,
最
值是
.
＞4
减小
4
大
大
2
(2)通过配方，说出函数y=－2x2+8x－8图象的开口
方向，对称轴和顶点坐标.这个函数有最大值还是
最小值？这个值是什么？
试一试
y=－2x2+8x－8
提
=－2(x2－4x+4)
化
=－2(x－2)2
这个函数的开口向
,对称轴为
,
顶点坐标为
.
下
直线x=2
(2,
0)
这个函数有最
值,这个值是
.
小
0
你能总结将二次函数一般式
配成顶点式的方法吗？
思考
对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定
它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把
结果写出来吗？
加上一个数,还要再减去这个数,
才能保持式子的恒等.
这个结果通常称为
求顶点坐标公式。
思考
对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定
它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把
结果写出来吗？
开口方向
,对称轴为
,顶点坐标为
.
当a>0时,向上
当a<0时,向下
最值情况:
若a＞0时,则当x=
时,y有最
值为
；
小
若a＜0时,则当x=
时,y有最
值为
.
大
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
开口向上
在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
开口向下
在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
要点概括
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例题精析
例1
(1)抛物线y=2x2+4x的开口向
,对称轴是
,
顶点坐标是
；
(2)抛物线y=－2x2－3x的开口向
,对称轴是
,
顶点坐标是
；
(3)抛物线y=－3x2+6x－7的开口向
,
对称轴是
,顶点坐标是
；
(4)抛物线
的开口向
,
对称轴是
,顶点坐标是
.
上
直线x=－1
(－1,
－2)
下
上
下
直线x=1
直线x=4
(1,
－4)
(4,
－3)
通过配方,把下列二次函数化成y=a(x－h)2+k的形式,
并写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，最大(或最小)值：
随堂练习
解：
∴抛物线的开口方向
，顶点坐标是
,
对称轴是
;
当x
时,y随x的增大而增大，
当x
时,y随x的增大而减小；
当x
时,y有最
值，最
值是
.
向下
(－3,
4)
直线x=－3
＜3
＞3
=3
大
大
4
通过配方,把下列二次函数化成y=a(x－h)2+k的形式,
并写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，最大(或最小)值：
随堂练习
∴抛物线的开口方向
，顶点坐标是
,
对称轴是
;
当x
时,y随x的增大而增大，
当x
时,y随x的增大而减小；
当x
时,y有最
值，最
值是
.
向上
(1,
8)
直线x=1
＜1
＞1
=1
小
小
8
例2
已知抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标是(－1,2),
求b,c的值.
解：依题意得：
解得：b=
,c=
.
4
4
例3
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c,
当x＞1时,y的值随x值的增大而增大,当x＜1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的值为
.
1
例题精析
例3
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c,当x＞1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是(
).
A.
b≥－1
B.
b≤－1
C.
b≥1
D.
b≤1
D
例题精析
∵二次项系数为－1＜0，
∴抛物线开口向下，
在对称轴
侧，y的值随x值的增大而减小，
由题意可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的
侧,
右
左
∵抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴x=
，
b
∴
b≤1.
随堂练习
1.抛物线y=2x2+8x－11的顶点在(
).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的
顶点都在(
).
A.直线y
=
x上
B.直线y
=
－
x上
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2
+
4x+a－1的最小值是2,
则a的值是(
).
A.
4
B.
－1
C.
3
D.
4或－1
C
B
∴a2－3a－4=0,
解得:a=4或－1.
A
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成
y=a(x－h)2+k的形式，即
顶点坐标是
对称轴是
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x<
时，y随x的增大而减小；当x>
时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x<
时，y随x的增大而增大；当x>
时，y随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P24
习题26.2
1,2,3
2.课外学习任务：
预习课本P19-20
26.2
二次函数的图象与性质
应用
例5
教学反馈：
作业存在的主要问题：(共23张PPT)
26.2
二次函数的图象与性质
2(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学目标
教学重点与难点
重点:二次函数y=a(x－h)2+k的图象与性质.
难点:根据二次函数y=a(x－h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.
1.会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
2.掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的位置关系.
3.理解y=a(x－h)2＋k、y＝a(x－h)2、y＝ax2的图象之间的平移转化．
4.掌握y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．
温故夯基
抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+k的关系：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
a>0
a<0
y=ax2+k
a>0
a<0
向上
向下
y轴
(0,
0)
向上
向下
y轴
(0,
k)
上下平移|k|个单位
温故夯基
抛物线y=ax2与抛物线y=a(x－h)2的关系：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
a>0
a<0
y=a(x－h)2
a>0
a<0
向上
向下
y轴
(0,
0)
向上
向下
直线x=h
(h,
0)
左右平移|h|个单位
巩固练习
1.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数
y＝－2(x＋2)2的图象，平移的方法是( ).
A.向上平移2个单位 B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位 D.向右平移2个单位
C
2.把抛物线y=－x2沿着x轴方向平移6个单位长度，
那么平移后抛物线的解析式是
.
y=－(x+3)2或y=－(x－3)2
3.二次函数y=3(x+4)2图象的对称轴是直线____，
顶点是________.
x=－4
(－4,
0)
4.若(－2,
y1),(－1,
y2),(3,
y3)为二次函数y=5(x－2)2图象上
的三点，则y1
，y2
，y3的大小关系为_______________.
y1
＞y2
＞
y3
解:列表：
x
···
-1
0
1
2
3
4
5
···
…
…
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
探索发现
问题1:画出函数
的图像，并指出它的
开口方向，顶点坐标和对称轴.
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
O
-1
-2
-3
1
2
3
4
x
y
描点连线：
x=2
(1)顶点坐标
；
(2)对称轴
；
(3)当x
时，y随x的增大而增大；
当x
时,
y随x的增大而减小；
当x
时,y取得最
值,最
值是
.
(2,1)
直线x=2
＞2
＜2
=2
小
小
1
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
向上平移
1个单位
向右平移
2个单位
问题2:抛物线
怎样变换可以得到
抛物线
？
还有其他平移方法吗？
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
O
9
-1
问题2:抛物线
怎样变换可以得到
抛物线
？
向由平移
2个单位
向上平移
1个单位
想一想
这四条抛物线的相同点和不同点有哪些？
问题2:抛物线
怎样变换可以得到
抛物线
？
向上平移
1个单位
向右平移
2个单位
向由平移
2个单位
向上平移
1个单位
相同点:
(1)图像都是抛物线,
形状相同,
开口方向相同；
(2)都是轴对称图形；
(3)顶点都是最低点；
(4)在对称轴左侧,都随x的增大而减小,在对称轴右侧,
都随x的增大而增大.
不同点:
(1)对称轴不同;
(2)顶点不同；
(3)最小值不同.
向上平移
1个单位
向右平移
2个单位
向由平移
2个单位
向上平移
1个单位
二次函数的图象与性质
开口方向
对称轴
顶点坐标
开口向上
y轴
直线x=2
(0,
0)
(0,
1)
(2,
0)
(2,
1)
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=-1
问题3:画出函数
的图像，并指出它的
开口方向，顶点坐标和对称轴.
探索发现
(1)顶点坐标
；
(2)对称轴
；
(3)当x
时，y随x的增大而增大；
当x
时,
y随x的增大而减小；
当x
时,y取得最
值,最
值是
.
(－1,－1)
直线x=－1
＜－1
＞－1
=－1
大
大
－1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
向下平移
1个单位
向左平移
1个单位
问题4:抛物线
怎样变换可以得到
抛物线
？
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0
a＜0
向上
1.通过刚才的探究，完成下表：
直线x=2
(2,
1)
向下
直线x=－1
(－1,－1)
向上
直线x=h
(h,
k)
向下
2.根据上表，你能概括二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质吗？
感悟新知
平移方法
向左（右）平移
|h|个单位
向上（下）平移
|k|个单位
向左（右）平移
|h|个单位
向上（下）平移
|k|个单位
要点概括
二次函数的图象间的关系
一般地,抛物线y=a(x－h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同.
把抛物线y=ax2向上(或向下)向右(或向左)平移,可以得到
抛物线y=a(x－h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来
决定.
a＞0
a＜0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
向上
向下
抛物线关于直线x=h对称,即对称轴是直线x=h
顶点坐标(h，k)
当x=h时,y最小值=k
(1)在对称轴左侧(x＜h)
y随x的增大而减小；
(2)在对称轴左侧(x＞h)
y
随x的增大而增大.
(1)在对称轴左侧（x＜h）
y随x的增大而增大；
(2)在对称轴左侧（x＞h）
y
随x的增大而减小.
当x=h时,
y最大值=k
二次函数y=a(x－h)2+k的图象与性质
要点概括
例1.完成下列表格:
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
直线x=－3
(－3,
5)
向下
例题精析
y=－3(x－1)2－2
y=4(x－4)2+4
y=－5(x+6)2－7
直线x=1
(1,
－2)
向上
直线x=4
(4,
4)
向下
直线x=－6
(－6,
－7)
例题精析
例2
请回答抛物线y=6(x－5)2+9由抛物线y=6x2
怎样平移得到？
方法一：把抛物线y=6x2向
平移
个单位得到
抛物线
,再把抛物线
向
平移
个单位得到抛物线y=6(x－5)2+9.
右
5
y=6(x－5)2
y=6x2+9
y=6(x－5)2
上
9
方法二：把抛物线y=6x2向
平移
个单位得到
抛物线
,再把抛物线
向
平移
个单位得到抛物线y=6(x－5)2+9.
上
9
y=6x2+9
右
5
例题精析
例3
已知函数y＝(x－2)2－4.
则其对称轴是
,
顶点坐标为
，
当x＞2时，y随x的增大而
；
当x
时，y随x的增大而减小；
当x
时，函数y有最
值是
.
增大
＜2
直线x＝2
(2,
－4)
=2
小
－4
例4
已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示,则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( ).
a>0
－c<0
∴c>0
A
随堂练习
1.把抛物线y＝－x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( ).
A.
y＝－(x－1)2－3
B.
y＝－(x＋1)2－3
C.
y＝－(x－1)2＋3
D.
y＝－(x＋1)2＋3
D
2.把抛物线y=－3x2先向下平移2个单位,再向右平移
5个单位，则所得抛物线是___________________.
y＝－3(x－5)2－2
3.抛物线y=6x2+2的图象向右平移2个单位，再向上
平移1个单位，得到抛物线的解析式为__________.
y＝6(x－5)2+3
4.如果一条抛物线的形状与y=－9x2+2形状相同，
且顶点坐标是(4,－2),则这个函数的关系式是
.
y＝－9(x－4)2－2
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(－1,3),且它是
由二次函数y=5x2平移得到，则该二次函数的解析
式是
.
y＝5(x+1)2+3
一般地,抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同,位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：
括号内左加右减；
上下平移：
括号外上加下减.
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P24
习题26.2
1,2,3
2.课外学习任务：
预习课本P14-15
26.2
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学反馈：
作业存在的主要问题：
