华东师大版九年级数学下册26.2.3求二次函数的表达式课件(共25张PPT)

26.2 二次函数的图象与性质
3. 求二次函数的表达式
教学目标
教学重点与难点
重点:用待定系数法求二次函数的表达式.
难点:根据题目的已知条件，灵活选择合适的二次函数表达式.
1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式
的方法．
2.由已知条件的特点，灵活选择二次函数的两种形式,合理地设出函数解析式,可使计算过程更简便．
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？
通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？
它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
复习引入
如果要求二次函数y=ax?+bx+c(a≠0)的表达式，
又需要几个条件呢？
例1 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点(2,3)和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
∴{
a =2，
c =－5.
解得:
{
关于y轴对称
一.特殊条件的二次函数的表达式
学习新知
已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2, 8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点(－2,8)和(－1,5) ,
图象经过原点
8=4a－2b，
5=a－b，
∴{
解得: a=－1,b=－6.
∴ 这个二次函数的表达式y=－x2－6x.
随堂练习
例2 已知二次函数的顶点是(－2, 1),且函数图象过点(1，－8)，求这个二次函数的表达式.
解:设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2+k(a≠0),
∴ y=a(x+2)2+1，
∴ a(1+2)2+1=－8，
解得: a =－1.
∴所求二次函数的表达式是y=－(x+2)2+1或y=－x2－4x－3.
二.顶点法求二次函数的表达式
∵ 这个二次函数的顶点是(－2, 1),
∵ 函数图象过点(1, －8)，
学习新知
顶点法求二次函数的表达式的步骤
①设函数表达式是y=a(x－h)2+k (a≠0)；
方法总结
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
(函数表达式的结果可以用顶点式或一般式表示)
例3 一个二次函数的图象经点 (0, 1),它的顶点坐标为(8,9),
求这个二次函数的表达式.
例题精析
解: ∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
∴ 设函数的表达式为y=a(x－8)2+9(a≠0).
又∵ 函数的图象经过点(0 ,1)，
∴ 0=a(0－8)2+9.
解得:a= .
∴所求的二次函数的表达式是
1.抛物线的顶点在原点,且抛物线经过点(2,8),
求它的表达式.
随堂练习
解：∵抛物线的顶点在原点,
∴ 设它的表达式为y=ax2(a≠0).
∵ 抛物线经过点(2,8),
∴ 8=a×22，
∴ a=2.
∴ 所求抛物线的表达式为y=2x2.
2.抛物线的顶点坐标为(－1,－2),且抛物线经过
点(1,10),求该抛物线的表达式.
解: ∵抛物线的顶点坐标为(－1,－2)，
∴ 设该抛物线的表达式为y=a(x+1)2－2(a≠0).
∵ 抛物线经过点(1,10),
∴ 10=a(1+1)2－2.
解得:a=3.
∴ 该抛物线的表达式为y=3(x+1)2－2.
即 y=3x2+6x+1.
学习新知
三.一般式法求二次函数的表达式
例4 一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵ 函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，
解得:a= ,b= ,c= .
1
∴ 所求二次函数的表达式为
④把待定系数a,b,c用数字换掉,写出函数的表达式.
一般式法求二次函数的表达式的步骤
方法总结
①设函数的表达式为y=ax2+bx+c (a≠0) ；
②把已知点的坐标代入所设的表达式，得到一个
三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
随堂练习
1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过三点:(－1,－1),(1,1),
(0,－2),求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
依题意得:
解得:a= ,b= ,c= .
－2
2
1
∴ 所求二次函数的表达式为y=2x2+x－2.
2.已知二次函数的图象经过(0, 3), (－2,－5), (1, 4),
求这个二次函数的表达式.
随堂练习
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
依题意得:
解得:a= ,b= ,c= .
3
－1
2
∴ 所求二次函数的表达式为y=－x2+2x+3.
交点法求二次函数的表达式的步骤
其步骤是：
①设函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2) (其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将已知的另一个条件代入方程求出a的值;
④a用数值换掉，写出函数表达式.
学习新知
知道抛物线与x轴的交点，求抛物线的表达式
的方法叫做交点法.
例题精析
例5 已知抛物线与x轴交于点A(－3，0)、B(5，0)，
且与y轴交于点C(0, －15)，求抛物线的解析式.
解:设所求抛物线的解析式是y=a(x+3)(x－5)，
把点(0, －3)代入上式得:
a(0+3)(0－5)=－15，
解得:a= ，
1
∴ 所求抛物线的表达式为y=(x+3)(x－5),
即 y=x2－2x－15.
已知抛物线与x轴相交于点A(－1, 0)，B(1, 0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1,0)，B(1,0)是图象与x轴的交点，
∴ 设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又∵抛物线过点M(0，1)，
∴1＝a(0＋1)(0－1)，
解得:a＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
随堂练习
类型
基本形式
适用情况
一般式
顶点式
交点式
已知图象上任意三点
已知顶点坐标、对称轴、最值和其他条件.
已知抛物线与x轴的两个交点坐标和任一个点的坐标
方法归纳
二次函数的表达式的三种形式
用待定系数法求二次函数表达式的步骤：
(1)设出适当的二次函数表达式的形式；
(2)代入点的坐标得到方程(组)；
(3)解方程(组)求出待定系数的值；
(4)写出所求二次函数的表达式式并化为一般形式.
1.已知二次函数的图象过点(2, 4),且当x=1时, y有最值为6，则该二次函数的表达式是 .
y=－2(x－1)2+6
随堂练习
2.如图,二次函数的图象过A、B、C三点,点A的坐标为(－1，0),点B的坐标为(4，0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,则这个二次函数的表达式为 .
A
O
C
B
x
y
解:设所求二次函数的表达式是y=a(x+1)(x－4)，
∵ AB=OC=5，
∴点C的坐标为(0,5),
∴ a(0+1)(0－4)=5，
解得:a= .
随堂练习
3.如图,当x=－1时,抛物线的最高点的纵坐标为4,
且与x轴两交点之间的距离为6,求抛物线的表达式.
O
x
y
解:依题意设该抛物线的表达式为y=a(x+1)2+4.
∵ 抛物线的对称轴为x=－1，
抛物线与x轴两交点之间的距离为6,
∴ 抛物线与x轴的交点分别为(－4,0),(2,0),
∴ 0=a(2+1)2+4，
解得:a= .
∴所求抛物线的表达式为
4.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与
y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得:16－4b＋c＝－3，
∴ c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，
∴b＝6，
∴c＝5，
∴ 抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5.
随堂练习
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，
∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，

∴△BCD的面积＝
C
D
＝28.
－7
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x－h)2+k
用交点法:y=a(x－x1)(x－x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
课堂小结
作业与课外学习任务
1.作业：课本P24 习题26.2 4,5
2.课外学习任务：
预习课本P26-29 26.3 实践与探索
教学反馈：
作业存在的主要问题：