2020-2021学年北师大版九年级数学下册：3.8圆内接正多边形-同步测试（Word版 含答案）

北师大版九年级数学下册第三章
3.8
圆内接正多边形
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.下列正多边形中，中心角等于内角的是（　　）
A．正三角形
B．正四边形
C．正六边形
D．正八边形
2．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
3.正八边形的中心角是（　　）
A．45°
B．135°
C．360°
D．1080°
4.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3
B．9
C．18
D．36
5．下列说法错误的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆内接四边形的对角互补
C．任意三角形都有一个外接圆
D．正n边形的中心角等于
6．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．24﹣4π
B．12+4π
C．24+8π
D．24+4π
7.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（　　）
A．3
B．2
C．3
D．6
9．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（　　）
A．83°
B．84°
C．85°
D．94°
10．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连结AC，AE，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是
.
12．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝　　．
13．如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S1，平行四边形的面积记为S2，则的值为　　．
14.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为_______cm2.
15．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是
16．如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为　　；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为　　．（用n的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）
三.解答题
17.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
18．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF，若⊙O的半径为2，求：阴影部分（弓形）的面积．（结果保留π）
19．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
20.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
21．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
22．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：①当t＝　
　s时，四边形PBQE为菱形；
②当t＝　
　s时，四边形PBQE为矩形．
23．如图1，2，3，…，n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是_______；图3中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
北师大版九年级数学下册第三章
3.8
圆内接正多边形
同步测试(解析版)
一．选择题
1.下列正多边形中，中心角等于内角的是（　　）
A．正三角形
B．正四边形
C．正六边形
D．正八边形
解：设正边形的边数是n．
根据题意得：180-，
解得：n=4．
故选B．
2．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ACD的外心，
故选：D．
3.正八边形的中心角是（　　）
A．45°
B．135°
C．360°
D．1080°
解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A．
4.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3
B．9
C．18
D．36
解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2
，高为3，
因而等边三角形的面积是3
，
∴正六边形的面积=18
，
故选C．
5．下列说法错误的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆内接四边形的对角互补
C．任意三角形都有一个外接圆
D．正n边形的中心角等于
解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴选项A符合题意；
B、∵圆内接四边形的对角互补，∴选项B不符合题意；
C、∵任意三角形都有一个外接圆，∴选项C不符合题意；
D、∵正n边形的中心角等于，∴选项D不符合题意；
故选：A．
6．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．24﹣4π
B．12+4π
C．24+8π
D．24+4π
解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，
∴S阴＝6?（S半圆﹣S弓形AmB）＝6?（?π?22﹣π+4）＝24﹣4π，
故选：A．
7.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°-150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=(180°?120°)÷
2
=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B
8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（　　）
A．3
B．2
C．3
D．6
解：
如图所示：
⊙O的半径为3，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC=2×3=6，
∵，AB=BC，
∴=36，
解得：AB=3
，
即⊙O的内接正方形的边长等于3
，
故选C．
9．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（　　）
A．83°
B．84°
C．85°
D．94°
解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
10．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连结AC，AE，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：连接AG、GE、EC，如图所示：
在正八边形ABCDEFGH中，AB＝BC＝AH＝HG，∠B＝∠H＝135°，
∴△ABC≌△AHG（SAS），
∴AC＝AG，同法可得AC＝CE＝EG，
∴AC＝CE＝EG＝AG，
∴四边形ACEG是菱形，
∵∠BAC＝∠GAH＝22.5°，∠BAH＝135°，
∴∠CAG＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴∠CAE＝45°，
∴＝sin45°＝，
故选：A．
二．填空题
11.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是
.
解：∵一个正多边形的一个外角为60°，
∴360°÷60°=6，
∴这个正多边形是正六边形，
设这个正六边形的半径是r，
则外接圆的半径r，
∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是r，
∴它的内切圆半径与外接圆半径之比是：
：2．
12．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝　　．
解：∵S正六边形＝6×?a2＝a2，S空白＝2×??a??a＝a2，
∴S阴＝a2，
∴．
故答案为
13．如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S1，平行四边形的面积记为S2，则的值为　　．
解：如图，则S阴影＝2（S△BEF+S四边形FGMN），
设正六边形的边长为a，
由于正六边形的存在，所以∠BEF＝60°，
则可得BE＝EF＝2a，BC＝4a，AB＝3a，
则在Rt△BEF中可得其高EP＝a，
同理可得FQ＝a，
∴S1＝2（S△BEF+SFGMN）
＝2（?BF?EP+FG?FQ）
＝2（?2a?a+a?a）
＝3a2，
而S2＝BC?h＝4a?a＝6a2，
∴＝，
故答案为：．
14.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为_______cm2.
解：连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为：，∴∠HGM=45°.∴MH=MG.
设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，
∴BG×GF=2（+1）x2=20，四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=10，
∴正八边形的面积为：10×2+20=40（cm2）.
15．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系
是
解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为?．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD===a，
∴S3=S△ABC=BC?AD=×2a×a=a2≈1.73a2．
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=，
∴S4=S□ABCD=AB2=×=a2≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC==60°，
∴∠BOG=30°，OG===a．
∴S△BOC=×a×a=a2，
∴S6=6S△BOC=6×a=a2≈2.59a2．
∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．
16．如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为　60°　；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为　　．（用n的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）
解：（1）在正△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°
∴∠ABE＝∠BCD＝120°，
又∵BE＝CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E＝∠D
又∵∠FBE＝∠CBD，
∴∠AFB＝∠E+∠FBE＝∠D+∠CBD＝∠ACB＝60°
（2）由以上不难得：△AEB≌△BDC进一步证出，△BEF∽△BDC，
得出，∠AFB的度数等于∠DCB＝90°，同理可得：∠AFB度数为108°
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为．
故填：60°；．
三.解答题
17.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
解：连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴
，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCD为正五边形．
18．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF，若⊙O的半径为2，求：阴影部分（弓形）的面积．（结果保留π）
解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积为π×22＝4π，
∵空白正六边形为六个边长为2的正三角形，
∴每个三角形面积为×2×2×sin60°＝，
∴正六边形面积为6，
∴阴影面积为（4π﹣6）×＝π﹣，
19．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA＝OB，
∴AM＝AB＝a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R＝＝＝；
∴周长P＝na；
∴面积S＝nS△OAB＝n×a×r＝nar．
20.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=6cm，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=AM
:AB
，
∴AM=6×
=3
（cm），
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∴AC=2AM=6（cm）．
扳手张开的开口b至少为6cm.
21．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
22．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t＝　2　s时，四边形PBQE为菱形；
②当t＝　0或4　s时，四边形PBQE为矩形．
（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t＝2s．
②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°，
∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
23．如图1，2，3，…，n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是_______；图3中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
解：(1)连接OB、OC.
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°，
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°
　(2)90°　72°
(3)∠MON＝