1.1.1
等腰三角形的性质
1．(2020·永州)如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是( )
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．ASA
2．(2020·鄂州)如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD相交于点M，连接OM.下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.
其中正确的结论个数有( )
A．4
B．3
C．2
D．1
3．【2020·自贡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
4．(2020·聊城)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( )
A．120°
B．130°
C．145°
D．150°
5．(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为( )
A．18°
B．20°
C．24°
D．28°
6．【2020·甘孜州】如图，在等腰三角形ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A．AD＝AE
B．BE＝CD
C．∠ADC＝∠AEB
D．∠DCB＝∠EBC
7．【2020·福建】如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( )
A．10
B．5
C．4
D．3
8..如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点．若∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为( )
A．60°
B．63°
C．67°
D．70°
9．【2020·青海】等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
10．在△ABC中，∠ACB为钝角，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是( )
11．(2020·深圳)如图，在△ABC中，AB＝AC.在AB，AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.若BC＝6，则BD的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
12．(中考·湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
13．(2019·眉山)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE＝BE.求证：∠D＝∠C.
14．(2020·绍兴)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
15．(2019·重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
16．(2020·黔东南州)如图①，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，
(2)若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD长．
(3)若B，C，E三点在一条直线上(如图②)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．1.1.1
等腰三角形的性质
1．(2020·永州)如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是( A )
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．ASA
2．(2020·鄂州)如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD相交于点M，连接OM.下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.
其中正确的结论个数有( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
【点拨】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，②正确；由三角形的外角性质得∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，所以∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于点G，OH⊥DM于点H，如图所示，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，
由角平分线的判定方法得出MO平分
∠AMD，④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，又因为OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，③错误．故选B.
3．【2020·自贡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( D )
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
4．(2020·聊城)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( B )
A．120°
B．130°
C．145°
D．150°
5．(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为( C )
A．18°
B．20°
C．24°
D．28°
【点拨】由旋转的性质可得∠C＝∠C′，AB＝AB′，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB′，∠B＝∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
6．【2020·甘孜州】如图，在等腰三角形ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是( B )
A．AD＝AE
B．BE＝CD
C．∠ADC＝∠AEB
D．∠DCB＝∠EBC
7．【2020·福建】如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( B )
A．10
B．5
C．4
D．3
8..如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点．若∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为( C )
A．60°
B．63°
C．67°
D．70°
9．【2020·青海】等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( D )
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
易错分析：本题应用分类讨论思想，分两种情况讨论，解题时易漏解．
10．在△ABC中，∠ACB为钝角，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是( B )
11．(2020·深圳)如图，在△ABC中，AB＝AC.在AB，AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.若BC＝6，则BD的长为( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
12．(中考·湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( B )
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
13．(2019·眉山)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE＝BE.求证：∠D＝∠C.
证明：∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA.∵DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA.∴∠DEA＝∠CEB.
∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.
在△DEA和△CEB中，
∴△DEA≌△CEB(SAS)．∴∠D＝∠C.
14．(2020·绍兴)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
解：(1)∠DAC的度数不会改变．理由如下：
∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C.
∵∠BAE＝90°，
∴∠B＝180°－∠BAE－∠EAC－∠C＝90°－2∠C.
∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.
∴∠BAD＝[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝45°.
(2)：设∠ABC＝m°，则∠BAD＝(180°－m°)＝90°－m°，
∠AEB＝180°－n°－m°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝n°－90°＋m°.
∵∠EAC＝∠C，∠AEB＝∠EAC＋∠C，
∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°，
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE
＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°.
15．(2019·重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
证明：(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.
∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.
16．(2020·黔东南州)如图①，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，
(2)若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD长．
(3)若B，C，E三点在一条直线上(如图②)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【思路点拨】根据等式性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后根据SAS可证明△ACE≌△BCD；
解：(1)全等．证明如下：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△ACE≌△BCD(
SAS)．
【思路点拨】由(1)知BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
(2)：由(1)得△BCD≌△ACE，∴BD＝AE.
∵△DCE是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2.
∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°.
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝，∴BD＝.
【思路点拨】如图②，过A作AF⊥CD于F，先根据平角定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
图②
(3)：如图，过点A作AF⊥CD于点F.
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA＋∠ACD＋∠DCE＝180°.
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°.
在Rt△ACF中，设CF＝x，
∵∠ACF＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF＝30°.
∴AC＝2x.∴2x＝1.∴x＝，即CF＝.
∴FD＝CD－CF＝2－＝，AF＝＝＝.
∴S△ACD＝×CD×AF＝×2×＝.
在Rt△AFD中，AD2＝AF2＋FD2＝＋＝3，∴AD＝.
