1.1.2
等边三角形的性质
1.下列性质中,等边三角形具有而等腰三角形也具有是( D )
A.三条边相等 B.三个内角相等
C.有三条对称轴
D.是轴对称图形
2.如图:在△ABC中,D,E是BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,则∠BAC的度数为( B )
A.110°
B.120°
C.135°
D.145°
3．在△PMN中，PM＝PN，D，E，F分别是MN，PN，PM的中点，则下列结论一定成立的是( C )
A．PD＝ME
B．PD＝NF
C．ME＝NF
D．PD＝ME＝NF
【点拨】本题的易错点是对等腰三角形的性质理解不充分．因为等腰三角形的两腰一定相等，所以两腰上的中线一定相等．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D分别是AC，AB的中点，F是BE，CD的交点，则图中全等的三角形共有( A )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是( D )
A．BD，CE分别为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
6．【中考·福建】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【点拨】易知∠ACD＝60°，∠ECD＝45°，∴∠ACE＝∠ACD－∠ECD＝60°－45°＝15°.
7．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE的度数为( B )
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
8．【2020·宁波】△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( A )
A．△ABC的周长
B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长
D．四边形ADEC的周长
【点拨】易证得△AFH≌△CHG(AAS)，得出AF＝CH.由题意可知BE＝FH，DE＝BD，则得出五边形DECHF的周长＝AB＋BC，则可得出答案．
9.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：
①AD⊥BC；
②EF＝FD；
③BE＝BD.其中正确结论的个数为( A )
A．3
B．2
C．1
D．0
【点拨】等边三角形的任何一边上都有“三线合一”的性质，有时要运用的条件和已知条件不一致，需要通过“三线合一”的性质进行转化．
10．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有( C )
A．1条
B．2条
C．1条或3条
D．不确定
错解：A
诊断：等腰三角形包括底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情形，在解决有关问题时，往往因为忽略这种特殊情形而漏解．等边三角形有3条对称轴．
11.如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N.有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN.其中正确结论的个数是( B )
A．3
B．2
C．1
D．0
【点拨】∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC＝DC，∠DCA＝∠BCE＝60°，CE＝CB.又∠ACE＝∠DCA＋∠DCN，∠DCB＝∠DCN＋∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB(SAS)，
故①正确；
由△ACE≌△DCB可得∠CAM＝∠CDN.∵∠ACD＋∠DCN＋∠BCE＝60°＋∠DCN＋60°＝180°，∴∠DCN＝∠DCA＝60°.又∵AC＝DC，∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴CM＝CN.故②正确；
由△ACM≌△DCN可得AM＝DN.若AC＝DN，则AC＝AM.又∠DCA＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴∠CAM＝60°，显然不符合题意，故③错误．
【答案】B
二、填空题。
12.如图所示,△ABC是等边三角形,AB=4
cm,AD是BC边上的高,△ABC的周长为___12CM_____
,?∠BAD=___30______度.?
13.在△ABC中,AB=AC=BC,则∠A=___60°__,∠B=__60°__,∠C=__60°_____.?
14.如图,若∠A=10°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF等于____100°_____
15.如图所示,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,点E,F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是___2______.?
三.计算证明题。
如图，D是△ABC内部的一点，E是△ABC外部的一点，连接DA，DC，DE，EB，EC.已知△ABC与△DEC均为等边三角形，∠BAD＝40°，∠ACD＝15°，求∠BEC的度数．
解：∵△ABC与△DEC均为等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝DC，∠BAC＝∠ACB
＝∠DCE＝60°.∴∠DCE－∠BCD＝∠ACB－∠BCD，
即∠BCE＝∠ACD.
∵∠BAD＝40°，∠ACD＝15°，
∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝20°，∠BCE＝15°.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)．∴∠CBE＝∠CAD＝20°.
∴∠BEC＝145°.
17．如图，点A，D，E是直线BC同侧的三个点，已知△ABD，△AEC都是等边三角形，连接BE，CD.求证：BE＝CD.
证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE.
在△ABE和△ADC中，
∴△ABE≌△ADC(SAS)，∴BE＝CD.
18．【2020·凉山州】如图，点P，Q分别是等边三角形ABC边AB，BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时分别从点A、点B出发．
(1)如图①，连接AQ，CP.求证：△ABQ≌△CAP.
如图，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
(3)如图，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA.
∵点P，Q同时出发且运动速度相同，
∴AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP(SAS)．
(2)：点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小不变．∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC是△ACM的一个外角，∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC.
∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°.
（3）：当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，∠QMC的大小不变．
易证得△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的一个外角，
∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°.
19．如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)求证：AE∥BC.
(2)当点D运动到什么位置时，BC⊥EC？为什么？
【思路点拨】采用逆向思维由果索因寻找解题途径：要使AE∥BC，需证∠EAC＝∠ACB＝60°，由∠B＝60°，只需证∠B与∠EAC所在的三角形全等即可．
证明：(1)∵△ABC和△EDC均为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACE.∴∠BCD＝∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠CAE.
又∵∠B＝∠ACB，∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC.
【思路点拨】要使BC⊥EC，只要找到满足∠BCD＝30°的条件即可．
(2)：当点D运动到AB的中点时，BC⊥EC.理由如下：
∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB.
∴∠BDC＝90°.∴∠BCD＝30°，
∴∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝30°＋60°＝90°.
∴BC⊥EC.
20．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．
①求证：∠BCE＋∠BAC＝180°；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
若∠BAC≠60°，当点D在线段BC的延长线上移动时，如图②，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．
证明：（1）①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BCE＋∠BAC＝∠BCA＋∠ACE＋∠BAC＝∠BCA＋∠ABD＋∠BAC＝180°.
（1）②∵△ABC是等边三角形，
且AB＝AC＝2，∴BC＝2.
∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.
∴四边形ADCE的周长＝AD＋DC＋CE＋AE＝AD＋DC＋BD＋AE＝BC＋2AD.
∴当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长最小．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝CB＝1.
（2）：∠BCE＋∠BAC＝180°.
理由如下：如图，设CE与AD交于点F.
∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC.∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD.∵∠BAC＝∠FAE，∴∠BAC＝∠ECD，
又∵∠BCE＋∠ECD＝180°，∴∠BCE＋∠BAC＝180°.1.1.2
等边三角形的性质
1.下列性质中,等边三角形具有而等腰三角形也具有是( )
A.三条边相等 B.三个内角相等
C.有三条对称轴
D.是轴对称图形
2.如图:在△ABC中,D,E是BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,则∠BAC的度数为( )
A.110°
B.120°
C.135°
D.145°
3．在△PMN中，PM＝PN，D，E，F分别是MN，PN，PM的中点，则下列结论一定成立的是( )
A．PD＝ME
B．PD＝NF
C．ME＝NF
D．PD＝ME＝NF
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D分别是AC，AB的中点，F是BE，CD的交点，则图中全等的三角形共有( )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是( D )
A．BD，CE分别为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
6．【中考·福建】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15°
B．30°
C．45
D．60°
7．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE的度数为( )
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
8．【2020·宁波】△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( )
A．△ABC的周长
B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长
D．四边形ADEC的周长
9.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：
①AD⊥BC；
②EF＝FD；
③BE＝BD.其中正确结论的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
10．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有( )
A．1条
B．2条
C．1条或3条
D．不确定
11.如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N.有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN.其中正确结论的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
二、填空题。
12.如图所示,△ABC是等边三角形,AB=4
cm,AD是BC边上的高,△ABC的周长为________
,?∠BAD=_________.?
13.在△ABC中,AB=AC=BC,则∠A=_____,∠B=____,∠C=_______.?
14.如图,若∠A=10°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF等于_________
15.如图所示,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,点E,F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是________.?
三.计算证明题。
如图，D是△ABC内部的一点，E是△ABC外部的一点，连接DA，DC，DE，EB，EC.已知△ABC与△DEC均为等边三角形，∠BAD＝40°，∠ACD＝15°，求∠BEC的度数．
17．如图，点A，D，E是直线BC同侧的三个点，已知△ABD，△AEC都是等边三角形，连接BE，CD.求证：BE＝CD.
18．【2020·凉山州】如图，点P，Q分别是等边三角形ABC边AB，BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时分别从点A、点B出发．
(1)如图①，连接AQ，CP.求证：△ABQ≌△CAP.
如图，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
(3)如图，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
19．如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)求证：AE∥BC.
(2)当点D运动到什么位置时，BC⊥EC？为什么？
20．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．
①求证：∠BCE＋∠BAC＝180°；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
若∠BAC≠60°，当点D在线段BC的延长线上移动时，如图②，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．
