1.1.3
等腰三角形的判定
1.下列长度的三条线段,能组成等腰三角形的是
(
C
)
A.1,
1,
2 B.2,
2,
5
C.3,
3,
5
D.3,
4,
5
2.用反证法证明“在△ABC中,AB=AC,则∠B是锐角”时,应先假设
(
B
)
A.在△ABC中,∠B一定是直角
B.在△ABC中,∠B是直角或钝角
C.在△ABC中,∠B是钝角
D.在△ABC中,∠B可能是锐角
3．【2020·南充】如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( C )
A.
B.
C．a－b
D．b－a
【点拨】∵在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，
∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°.∴∠ABD＝36°＝∠A.
∴BD＝AD.
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°＝∠C.∴BD＝BC.∴AD＝BC.
∵AB＝AC＝a，BC＝b，∴CD＝AC－AD＝a－b.
【答案】C
4．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有( D )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
5.【中考·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
【点拨】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE.∴∠ABD＝∠BDE.∴BE＝DE.∴△AED的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝3＋1＝4.故选C.
6.【2019·青岛】如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为( C )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【点拨】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF，∴AB＝BE.根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，由线段垂直平分线的性质得AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∴∠BAD＝∠BED.∵∠BAD＝180°－35°－50°＝95°，∠BED＝∠CDE＋50°，∴∠CDE＝95°－50°＝45°.
【答案】
C
7.下列条件能证明△ABC为等腰三角形的有( D )
①AD⊥BC于点D，且AD平分BC；②AD⊥BC于点D，且∠BAD＝∠CAD；
③AD是BC的中线，且∠BAD＝∠CAD.
A．①
B．②
C．③
D．①②③
【点拨】如图所示．①∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故①正确．
②∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵AD＝AD，∠BAD＝∠CAD，
∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故②正确．
③过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵∠BAD＝∠CAD，∴DE＝DF.
∵AD是BC的中线，∴BD＝CD.
又∵BE2＝BD2－DE2，CF2＝CD2－DF2，∴BE＝CF.
∴△BDE≌△CDF，∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故③正确．
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形．
【答案】D
8．【2020·湘西州】已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F.画直线EF，分别交OA于D，交OB于G.那么△ODG一定是( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( D )
A．6
B．7
C．8
D．9
10．下列命题中，宜用反证法证明的是( C
)
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
11．已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.
下面写出了用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B＜90°；
③假设∠B≥90°；
④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序是( C )
A．①②③④
B．③④②①
C．③④①②
D．④③②①
【点拨】用反证法证明命题一般分三步：(1)假设命题结论的反面是正确的；(2)在假设的条件下经过推理，推出与基本事实、定理、定义或其他已知条件相矛盾的结论；(3)利用矛盾说明假设不成立，进而得出原命题正确．故本题选C.
二、填空题
12.已知a=4
cm,b=8
cm,如果c与a,b能组成一个等腰三角形,那么c=__8___cm.?
13.在△ABC中,∠A=80°,当∠B=
__80°或50°或20_时,
△ABC是等腰三角形.?
14.用反证法证明命题“在一个三角形中,不能有两个内角为钝角”时,第一步应假设____在一个三角形中,可以有两个内角为钝角
_____
15.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D.再添加一个条件,就可以确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是___AB=AC或∠B=∠C或BD=CD或∠BAD=∠CAD等 _
计算证明
16如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD＝CE，AD＝AE.求证：∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE.
小明的证法，你能说他正确吗？
证明：∵AD＝AE，∴∠B＝∠C.
∵BD＝CE，∴∠BAD＝∠CAE.
诊断：等腰三角形的性质“等边对等角”只有在同一个三角形中才成立，对于不属于同一个三角形中的等边未必有等角的结论，切不可不加分析而乱用．
小明的证法错误
证明：过点A作AF⊥BC，垂足为F.
∵AD＝AE，AF⊥BC，∴DF＝EF，∠DAF＝∠EAF.
又∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.
∴AF垂直平分BC.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
∴∠B＝∠C，∠BAF＝∠CAF.
∴∠BAF－∠DAF＝∠CAF－∠EAF.
即∠BAD＝∠CAE.
17．【2019·重庆】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
解：（1）∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－36°＝54°，
∴∠BAD＝54°.
（2）：∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠EBC.
∵EF∥BC，∴∠BEF＝∠EBC，
∴∠EBF＝∠BEF，∴FB＝EF.
18．【2019·玉林】如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝36°.
(1)在AC上作一点D，使AD＝BD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
解：如上图所示．
证明：（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠C＝(180°－∠A)＝72°.
∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD.
∴∠BDC＝2∠A＝72°.
∴∠BDC＝∠C.∴BD＝BC.
∴△BCD是等腰三角形．
19．【2020·哈尔滨】已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE.
如图①，求证：AD＝AE；
(2)如图②，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.
证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵AB＝AC，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE.
（2）：满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF.
20．【2020·河池】(1)如图①，已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2.求证：△ACE≌△BCE.
(2)如图②，已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
证明：（1）在△ACE和△BCE中，
∴△ACE≌△BCE(SAS)．
（2）：AE＝BE.
理由如下：如上图，在CE上取点F，使CF＝DE，连接BF.
易得△ADE≌△BCF(SAS)，
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB.
∵∠AED＋∠BEF＝180°，
∠CFB＋∠EFB＝180°，
∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC，且BE交AC于点E.
(1)求证：BC＝BE＋AE.
(2)探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．
【思路点拨】要证BC＝BE＋AE，联想到等量代换和截长补短法，可考虑构造等腰三角形来进行证明．
证明：（1）如上图，在BC上截取BD＝BE，连接DE.
∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.
∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.
又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，
∴∠CED＝40°＝∠C.∴DE＝DC.
过点E作EM⊥BA，且EM交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N.
∵BE平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，∴EM＝EN.
∵∠BAC＝100°，∴∠CAM＝180°－100°＝80°.
在△EMA和△END中，
∴△EMA≌△END(AAS)．∴EA＝ED.
又∵DE＝DC，∴EA＝DC.∴BC＝BD＋DC＝BE＋AE.
（2）：BC＝CE＋AB.理由如下：
如上图，在CB上截取CP＝CE，连接PE.
∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.
∵CP＝CE，∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.
∴∠BPE＝180°－72°＝108°.∴∠BPE＝∠A.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.
在△ABE和△PBE中，
∴△ABE≌△PBE(AAS)．∴BA＝BP.
∴BC＝CP＋BP＝CE＋AB.1.1.3
等腰三角形的判定
1.下列长度的三条线段,能组成等腰三角形的是
(
)
A.1,
1,
2 B.2,
2,
5
C.3,
3,
5
D.3,
4,
5
2.用反证法证明“在△ABC中,AB=AC,则∠B是锐角”时,应先假设
(
)
A.在△ABC中,∠B一定是直角
B.在△ABC中,∠B是直角或钝角
C.在△ABC中,∠B是钝角
D.在△ABC中,∠B可能是锐角
3．【2020·南充】如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( )
A.
B.
C．a－b
D．b－a
4．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
5.【中考·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
6.【2019·青岛】如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为( )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
7.下列条件能证明△ABC为等腰三角形的有( )
①AD⊥BC于点D，且AD平分BC；②AD⊥BC于点D，且∠BAD＝∠CAD；
③AD是BC的中线，且∠BAD＝∠CAD.
A．①
B．②
C．③
D．①②③
8．【2020·湘西州】已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F.画直线EF，分别交OA于D，交OB于G.那么△ODG一定是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
10．下列命题中，宜用反证法证明的是(
)
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
11．已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.
下面写出了用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B＜90°；
③假设∠B≥90°；
④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序是( )
A．①②③④
B．③④②①
C．③④①②
D．④③②①
二、填空题
12.已知a=4
cm,b=8
cm,如果c与a,b能组成一个等腰三角形,那么c=_____cm.?
13.在△ABC中,∠A=80°,当∠B=
__时,
△ABC是等腰三角形.?
14.用反证法证明命题“在一个三角形中,不能有两个内角为钝角”时,第一步应假设___
____
15.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D.再添加一个条件,就可以确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是_______
计算证明
16如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD＝CE，AD＝AE.求证：∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE.
小明的证法，你能说他正确吗？
证明：∵AD＝AE，∴∠B＝∠C.
∵BD＝CE，∴∠BAD＝∠CAE.
17．【2019·重庆】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
18．【2019·玉林】如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝36°.
(1)在AC上作一点D，使AD＝BD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
19．【2020·哈尔滨】已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE.
如图①，求证：AD＝AE；
(2)如图②，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.
20．【2020·河池】(1)如图①，已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2.求证：△ACE≌△BCE.
(2)如图②，已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC，且BE交AC于点E.
(1)求证：BC＝BE＋AE.
(2)探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．
