3.9弧长及扇形的面积-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.9弧长及扇形的面积-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 310.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-26 13:18:05 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章
3.9
弧长及扇形的面积
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
2．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则劣弧AC的长为（ ）
A．7π
B．8π
C．9π
D．10π
3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．9
C．2
D．3
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（ ）厘米．
A．20
B．24
C．10π
D．30π
如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作?ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当?ABCD面积为最大值时，的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．3π
6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（ ）
A．1π
B．1.5π
C．2π
D．3π
8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π
9.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．2.5
π
D．3π
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣6π
B．54﹣18π
C．36﹣6π
D．27﹣9π
11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4
B．4﹣
C．﹣8
D．9﹣3π
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为
度．
14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是 ．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为
．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为
．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝
．
19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为
．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为
．
三.解答题
21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
24．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
北师大版九年级数学下册第三章
3.9
弧长及扇形的面积
同步测试(解析版)
一．选择题
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
解：
=2π．
故选：B．
2．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则劣弧AC的长为（ ）
A．7π
B．8π
C．9π
D．10π
解：连接OA、OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠D＝70°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°，
∴劣弧AC的长为＝7π，
故选：A．
3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．9
C．2
D．3
解：扇形的面积==3π．
解得：r=3．
故选D．
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（ ）厘米．
A．20
B．24
C．10π
D．30π
解：点O移动的距离为扇形的弧长，
根据面积公式求出弧长，
即30π=×l×6，
解得l=10π．
故选C．
5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作?ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当?ABCD面积为最大值时，的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．3π
解：如图，作CF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝AB?CF，
∵AB是定值，
∴CF定值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，
∵CF≤AC，
∴当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，
此时tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：B．
6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：如图，设与EF交于H，连接AH，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，
∴AH＝AD＝BC＝4，
∴∠AHE＝∠GAH＝30°，
∵AE＝AB＝2，
∴HE＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+×2×2＝+2，
故选：D．
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（ ）
A．1π
B．1.5π
C．2π
D．3π
解：
∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
∴弧DE的长为，
故选C．
8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π
解：连接EB，BH，AB，
∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，
∴BE2+AB2＝AE2，
∴∠ABE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠AHB＝90°，
∴BH⊥AH，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴弧AH所对的圆心角为90°，
∴的长＝＝．
故选：B．
9.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．2.5
π
D．3π
解：
连接OB．
∵OA=OB=OC=AB=BC，
∴∠AOB=∠COB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=120°．
又∵∠COE=∠DOA，
∴∠DOE=120°．
∴扇形ODE的面积为=3π．
故选D．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣6π
B．54﹣18π
C．36﹣6π
D．27﹣9π
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，
∴OB＝OC，
∵BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，BC＝BO，
即AC＝2BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
（6）2+BC2＝（2BC）2，
解得：BC＝6，
∴阴影部分的面积＝S△BCD﹣S扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，
故选：A．
11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4
B．4﹣
C．﹣8
D．9﹣3π
解：由折叠可知，
S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴AD＝OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠DOB＝30°，
∵AD＝OD＝OA＝4，
∴CD＝2，
∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣＝，
∴S弓形OD＝，
阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD＝﹣（）＝4﹣，
故选：B．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）
A．
B．
C．
D．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝＝．
故选：C．
二．填空题
13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为 90 度．
解：设这个扇形的圆心角为n°，
则＝3π，
解得，n＝90，
故答案为：90．
14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是 π ．
解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3，
∴此扇形的弧长是＝π，
故答案为：π．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°÷
6
=60°，
的长为．
故答案为：．
16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为 ．
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∵BC＝AC?tan∠BAC＝1，
∴OC＝OB＝1，∠BOC＝60°，
∴的长＝＝，
故答案为．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为 4 ．
解：如图连接BE，EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝∠EBF＝60°，
∵BE＝BF，
∴△EBF是等边三角形，
∵S阴＝S△BEF＝×42＝4，
故答案为4．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝ ．
解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE＝，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC∥BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为．
19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为 3π﹣ ．
解：连接OB和AC交于点D，
∵圆的半径为3，
∴OB＝OA＝OC＝3，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，
∴AC＝2CD＝3，
∵sin∠COD＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝×3×3＝，
S扇形AOC＝＝3π，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为 ．
解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝30°，
∴DO＝DB，
在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD，
∴BD＝AD，
∵S△AOD＝×6×＝6，
∴S△BOD＝S△AOD＝3，
∴阴影部分的面积＝S△AOD+S扇形BOC﹣S△BOD
＝6+﹣3
＝3+3π．
故答案为3+3π．
三.解答题
21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
解：狗能活动的范围面积=π×142+π×42=147π+8π=155π．
答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．
22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．
解：连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
解：
（1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴弧AB和弧AD的度数都等于60°，
又∵BC是直径，
∴弧CD的度数也是60°，
∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴BC==4
，故R=2
，
∵弧AB和弧AD的度数都等于60°，
∴∠BOD=120°，
连接OA交BD于点E，则OA⊥BD，
在Rt△BOE中：OE=OBsin30°=
，BE=OB?cos30°=3，BD=2BE=6，
故S阴影=S扇形BOD-S△BOD=×6×=4π-3．
24．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．
26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴＝．
∴AB＝BC．
（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．
3.9
弧长及扇形的面积
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
2．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则劣弧AC的长为（ ）
A．7π
B．8π
C．9π
D．10π
3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．9
C．2
D．3
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（ ）厘米．
A．20
B．24
C．10π
D．30π
如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作?ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当?ABCD面积为最大值时，的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．3π
6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（ ）
A．1π
B．1.5π
C．2π
D．3π
8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π
9.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．2.5
π
D．3π
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣6π
B．54﹣18π
C．36﹣6π
D．27﹣9π
11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4
B．4﹣
C．﹣8
D．9﹣3π
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为
度．
14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是 ．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为
．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为
．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝
．
19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为
．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为
．
三.解答题
21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
24．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
北师大版九年级数学下册第三章
3.9
弧长及扇形的面积
同步测试(解析版)
一．选择题
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
解：
=2π．
故选：B．
2．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则劣弧AC的长为（ ）
A．7π
B．8π
C．9π
D．10π
解：连接OA、OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠D＝70°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°，
∴劣弧AC的长为＝7π，
故选：A．
3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．9
C．2
D．3
解：扇形的面积==3π．
解得：r=3．
故选D．
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（ ）厘米．
A．20
B．24
C．10π
D．30π
解：点O移动的距离为扇形的弧长，
根据面积公式求出弧长，
即30π=×l×6，
解得l=10π．
故选C．
5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作?ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当?ABCD面积为最大值时，的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．3π
解：如图，作CF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝AB?CF，
∵AB是定值，
∴CF定值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，
∵CF≤AC，
∴当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，
此时tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：B．
6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：如图，设与EF交于H，连接AH，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，
∴AH＝AD＝BC＝4，
∴∠AHE＝∠GAH＝30°，
∵AE＝AB＝2，
∴HE＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+×2×2＝+2，
故选：D．
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（ ）
A．1π
B．1.5π
C．2π
D．3π
解：
∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
∴弧DE的长为，
故选C．
8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π
解：连接EB，BH，AB，
∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，
∴BE2+AB2＝AE2，
∴∠ABE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠AHB＝90°，
∴BH⊥AH，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴弧AH所对的圆心角为90°，
∴的长＝＝．
故选：B．
9.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．2.5
π
D．3π
解：
连接OB．
∵OA=OB=OC=AB=BC，
∴∠AOB=∠COB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=120°．
又∵∠COE=∠DOA，
∴∠DOE=120°．
∴扇形ODE的面积为=3π．
故选D．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣6π
B．54﹣18π
C．36﹣6π
D．27﹣9π
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，
∴OB＝OC，
∵BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，BC＝BO，
即AC＝2BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
（6）2+BC2＝（2BC）2，
解得：BC＝6，
∴阴影部分的面积＝S△BCD﹣S扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，
故选：A．
11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4
B．4﹣
C．﹣8
D．9﹣3π
解：由折叠可知，
S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴AD＝OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠DOB＝30°，
∵AD＝OD＝OA＝4，
∴CD＝2，
∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣＝，
∴S弓形OD＝，
阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD＝﹣（）＝4﹣，
故选：B．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）
A．
B．
C．
D．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝＝．
故选：C．
二．填空题
13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为 90 度．
解：设这个扇形的圆心角为n°，
则＝3π，
解得，n＝90，
故答案为：90．
14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是 π ．
解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3，
∴此扇形的弧长是＝π，
故答案为：π．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为
解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°÷
6
=60°，
的长为．
故答案为：．
16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为 ．
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∵BC＝AC?tan∠BAC＝1，
∴OC＝OB＝1，∠BOC＝60°，
∴的长＝＝，
故答案为．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为 4 ．
解：如图连接BE，EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝∠EBF＝60°，
∵BE＝BF，
∴△EBF是等边三角形，
∵S阴＝S△BEF＝×42＝4，
故答案为4．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝ ．
解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE＝，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC∥BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为．
19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为 3π﹣ ．
解：连接OB和AC交于点D，
∵圆的半径为3，
∴OB＝OA＝OC＝3，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，
∴AC＝2CD＝3，
∵sin∠COD＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝×3×3＝，
S扇形AOC＝＝3π，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为 ．
解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝30°，
∴DO＝DB，
在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD，
∴BD＝AD，
∵S△AOD＝×6×＝6，
∴S△BOD＝S△AOD＝3，
∴阴影部分的面积＝S△AOD+S扇形BOC﹣S△BOD
＝6+﹣3
＝3+3π．
故答案为3+3π．
三.解答题
21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
解：狗能活动的范围面积=π×142+π×42=147π+8π=155π．
答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．
22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．
解：连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
解：
（1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴弧AB和弧AD的度数都等于60°，
又∵BC是直径，
∴弧CD的度数也是60°，
∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴BC==4
，故R=2
，
∵弧AB和弧AD的度数都等于60°，
∴∠BOD=120°，
连接OA交BD于点E，则OA⊥BD，
在Rt△BOE中：OE=OBsin30°=
，BE=OB?cos30°=3，BD=2BE=6，
故S阴影=S扇形BOD-S△BOD=×6×=4π-3．
24．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．
26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴＝．
∴AB＝BC．
（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．