山东省菏泽市2021届高三上学期期末考试数学试题（B） Word版含答案

保密★启用前
菏泽市2020—2021学年度第一学期期末考试
高三数学试题（B）
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知命题false：有的三角形是等边三角形，则（ ）
A．false：有的三角形是不等边三角形 B．false：有的三角形不是等边三角形
C．false：所有的三角形都不是等边三角形 D．false：所有的三角形都是等边三角形
3．若直线false与曲线false在点false处的切线垂直，则实数false（ ）
A．false B．false C．2 D．false
4．函数false的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数false的图象关于直线false对称，则（ ）
A．函数false在false上单调递增
B．函数false为偶函数
C．若false，则false的最小值为false
D．函数false的图象向右平移false个单位长度得到函数false的图象
6．已知false，false，false是平面向量，false是单位向量，若向量false满足false，则false（false），则false的最小值是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知false，false是椭圆false：false（false）的左、右焦点，false是false的左圆点，点false在过false且斜率为false的直线上，false且false，则false的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为false，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的false（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下false的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥沙堆．以下结论正确的是（ ）
A．沙漏的侧面积是false
B．沙漏中的细沙体积为false
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为false
D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（false）
二、多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．若false，则false可以是（ ）
A．104 B．106 C．108 D．109
10．2020年11月7日，2020年世界花样滑冰大奖赛中国站双人自由滑的比赛中，中国组合彭程/金杨以223.90分的总成绩排名第一。花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，变化的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
11．如图，在正方体false中，点false是线段false上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．false
B．false平面false
C．当点false为false的中点时，false与false相交于一点，记为点false，且false
D．无论点false在false上怎么移动，异面直线false与false所成角都不可能是30°
12．已知集合false给定一个函数false，定义集合false．若false对任意的false成立，则称该函数false具有性质“false”．则下列函数中具有性质“false”的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
三、填空题：本大题共4小题．
13．在false的展开式中常数项的值为________．
14．对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：
①离心率为2；②一条渐近线的斜率为false；③实轴长为4，且焦点在false轴上写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________．
15．某公司为一个高科技项目投入启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，经过两年后该项目的资金为________万元，该公司经过______年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标（false，false）．
16．已知四边形false是边长为1的正方形，半径为1的圆false所在平面与平面false垂直，点false是圆false上异于false的任一点，当点false到平面false的距离最大时四面体false的体积为________．
四、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列false的前false项和为false，且__________．
（1）求false的通项公式；
（2）设false，记false为数列false的前false项和．若false，求实数false的值．
在①false，false；②false；③18是false和false的等差中项，false．这三个条件中任选一个填在上面的横线上进行解答，若选择多个条件解答，按第一个解答计分．
18．在平面四边形false中，false，false．
（1）证明：false；
（2）记false与false的面积分别为false和false，求出false的最大值．
19．如图1五边形false中，false，false，false，false，将false沿false折到false的位置，得到四棱锥false，如图2，点false为线段false的中点，且false平面false．
（1）求证：false平面false；
（2）若直线false与false所成角的正切值为false，求二面角false余弦值．
20．已知抛物线false：false（false），直线false：false与抛物线false交于false，false两点，且false．
（1）求抛物线false的方程；
（2）已知点false为false上的一点，false，false为false上异于点false的两点，且满足直线false和直线false的斜率之和为false，证明直线false过定点并求出定点的坐标．
21．某市为提升农民年收入，更好地实现2021年扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入false（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入false服从正态分布false，其中false近似为年平均收入false，false近似为样本方差false，经计算得false，利用该正态分布，求：
（i）在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.14%的农民的年收入高于该市制定的 年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，该市随机走访了1000位农民．若每年农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附参考数据：false，随机变量false服从正态分布false，则
false，false，
false．
22．已知函数false，false．
（1）求函数false在false的切线方程；
（2）是否存在正数false的值使得false对任意false恒成立？证明你的结论．
（3）求证：false在false上有且仅有两个零点．
高三数学试题（B）参考答案
一、选择题（共8小题）
1-4 BCDA 5-8 CBDD
二、多项选择题（本大题共4个小题）
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．ABC
三、填空题（本大题共4小题）
13．160 14．①②false（false）；①③false；②③false
15．1112.5 8 16．false
四、解答题（本大题共6小题）
17．解：选择①，（1）设数列false的首项为false，公差为false，
由已知得false解得false
所以false．
（2）由（1）可得false，∴false是首项为4，公比为2的等比数列，
则false．
由false，得false，解得false．
选择②，（1）当false时，false，
当false时，false，代入上式适合，
所以false．
选择③，（1）设数列false的公差为false，false．
则false，false，
∴false，∴false，
∴false．
（2）同选择①．
18．解：（1）在false中，由余弦定理得
false，
在false中，由余弦定理得false，
∴false，
所以false．
（2）false，false，
则false，
由（1）知：false，代入上式得
false，
配方得false，
∴当false时，false取到最大值14．
19．解：（1）证明：取false的中点false，连接false，false
则false，false，
又false，false，
所以false，false，则四边形false为平行四边形，
所以false，
又false平面false，∴false平面false，∴false，false．
由false即false及false为false的中点，可得false为等边三角形，
∴false，
又false，∴false，
∴false，∴false平面false．
（2）false，∴false为直线false与false所成的角，
由（1）可得false，∴false，∴false，
设false，则false，false，
取false的中点false，连接false，易知false平面false过false作false的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系false，
则false，false，false，false，∴false，
所以false，false，false，
设false为平面false的法向量，则false，即false，
取false，则false为平面false的一个法向量，
又平面false的法向量false，设二面角false为false
∴false，
所以二面角false余弦值为false．
20．（1）由false得false，
设false，false，则false，false，
false，
即false，解得false，
所以抛物线false的方程false；
（2）易知点false的坐标为false，
设直线false的方程为false，点false，false
由false，得false，
∴false，false，
∴falsefalse，
解得false，
∴直线false的方程为false，过定点false．
21．（1）false千元，故估计50位农民的年平均收入false为17.40千元．
（2）由题意知false
（i）false，所以false时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．
（ii）由false，
每个农民的年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为false，则false，其中false，于是恰好有false个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为false，从而由false，
得false，而false，
所以，当false时，false，
当false时，false由此可知，在所走访1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人．
22．（1）因为false，所以false，又切点为false，
所以函数false在false处的切线方程为false．
（2）存在，false，可证false，
又false，false．
（3）当false时，false，
所以false在false上无零点．
当false时，false，且单调递增．
因为false，false，
由false得false，
所以false在false单调递减，false单调递增；
当false时，false，
所以false在false上单调递增，
又false，false，false得false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增．
false，false．所以false．
所以由false，得false，
所以false在false单调递增，false单调递减，
所以false在false单调递增，false单调递减，false单调递减，false单调递增，
因为false，false，false，false，
所以false在false上有且仅有两个零点．