3.3垂径定理-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3垂径定理-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 389.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-26 13:18:52 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章3．3垂径定理
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形
B．是长方形
C．是菱形
D．以上答案都不对
2．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（ ）
A．12cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
3．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．8m
4．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（ ）
A．3分米
B．4分米
C．5分米
D．10分米
5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4
B．9
C．5
D．8
7.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是（
）mm．
A．100
B．200
C．300
D．400
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（ ）
A．
B.
C．
D．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝（
）．
A．25寸
B．26寸
C．27寸
D．28寸
11．如图，⊙O过点B．C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（ ）
A．6
B．13
C．
D．2
12．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
二．填空题
13．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为
．
14．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是
（结果保留根号）．
15．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米．
16．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是 ．
17．如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A．B两点到直线CD的距离之和为
18．一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB＝120°，则储水部分（阴影部分）的面积是
平方米．
三．解答题
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
22．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
23．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心．AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
24．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
北师大版九年级数学下册第三章3．2垂径定理
同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形
B．是长方形
C．是菱形
D．以上答案都不对
解：
因为圆O的弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理可知，半径OC垂直平分AB，即
OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
故选C．
2．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（ ）
A．12cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
解：如图：
∵CD是直径，CD⊥AB，AB=12cm，
∴AE=AB=6cm（垂径定理）．
故选B．
3．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．8m
解：连接BO，
由题意可得：AD＝BD＝4m，设⊙O的半径OC＝xm，
则DO＝（8﹣x）m，
由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．
故选：B．
4．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（ ）
A．3分米
B．4分米
C．5分米
D．10分米
解：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x﹣1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，
在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2，
∵OA＝OC，
∴32+x2＝42+（x﹣1）2，
解得x＝4，
∴半径OA＝分米＝5分米，
故选：C．
5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
解：如图：
过O作OC⊥AB于C，
∵OC过圆心O，AB=24，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=
=5．
故选：B．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4
B．9
C．5
D．8
解：设OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴OE＝4cm，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，
故选：B．
7.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是（
）mm．
A．100
B．200
C．300
D．400
解：∵⊙O的直径为1000mm，
∴OA＝OA＝500mm．
∵OD⊥AB，AB＝800mm，
∴AC＝400mm，
∴OC＝＝300mm，
∴CD＝OD﹣OC＝500﹣300＝200（mm）．
答：水的最大深度为200mm．
故答案为：B．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（ ）
A．
B.
C．
D．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8，
∴CE=CD=4（垂径定理）；
在Rt△OEC中：OC=5，CE=4，
∴OE=3（勾股定理）．
∴tan∠COE=
故选D．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝（
）．
A．25寸
B．26寸
C．27寸
D．28寸
解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，
根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故答案为：B．
11．如图，⊙O过点B．C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（ ）
A．6
B．13
C．
D．2
解：如图：
过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，
所以点D也为BC的中点．
根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A．O．D共线．
∵⊙O过B．C，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，
∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=3，
∴OD=3-1=2，
由勾股定理得：OB==
13
．
故选C．
12．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
二．填空题
13．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为 4或2 ．
解：分两种情况：
①如图1所示：作OE⊥AC于E，连接OA．OB，
则AE＝CE＝AC＝，
∴OE＝＝＝1＝OA，
∴∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴OA＝OB＝AB，
∴∠OAB＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC＝2OA＝4；
②如图2所示：作OE⊥AC于E，连接OA．OB，
同①得：∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝AB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BAC＝30°，∠ACB＝∠AOB＝30°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝AB＝2；
故答案为：4或2．
14．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是
（结果保留根号）．
解：连OC，如图，
∵直径AB=12，M是半径OB的中点，
∴OC=6，OM=3，
在Rt△OCM中，CM=，
∵CD⊥AB，
∴CM=CD，
∴CD=2CM=．
故答案为6．
15．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 50 米．
解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米．
故答案为50．
16．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是 8 ．
解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
∵OC＝5，CD＝2，
∴OE＝3，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，
∴AB＝2AD＝8，
故答案为8．
17．如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A．B两点到直线CD的距离之和为
解：过O作OG⊥CD于G，连接OC，如图所示，
∵OG⊥CD，CD=8cm，
∴G为CD的中点，即CG=DG=4cm，
在Rt△OCG中，OC=1
2
AB=5cm，CG=4cm，
根据勾股定理得：OG==3cm，
又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，又O为AB的中点，
∴G为EF的中点，即OG为梯形AEFB的中位线，
∴OG=（AE+BF），
则AE+BF=2OG=6cm．
故答案为：6cm．
18．一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB＝120°，则储水部分（阴影部分）的面积是 平方米．
解：过点O作OC∠AB于点C，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OAB＝＝＝30°，
∴AC＝OA?cos30°＝2×＝m，OC＝OA＝×2＝1m，
∴AB＝2AC＝2m，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×2×1＝﹣．
故答案为：﹣．
三．解答题
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．
解：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
解：作弦AC的垂直平分线交直线CD于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
解：如图：
过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，
∴AB=AE+EB=2+6=8，
∴OA=4，
∴OE=OA-AE=4-2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，
∴OF=OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，
根据勾股定理得：DF=
，
则CD=2DF=2．
22．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
解：如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM＝MD．
∵CD＝10，
∴CM＝5．
设OC＝x，则OM＝25﹣x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25﹣x）2＝x2．
解得
x＝13．
∴⊙O的半径为13．
23．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心．AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵?AB?AC＝?BC?AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
24．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形
B．是长方形
C．是菱形
D．以上答案都不对
2．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（ ）
A．12cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
3．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．8m
4．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（ ）
A．3分米
B．4分米
C．5分米
D．10分米
5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4
B．9
C．5
D．8
7.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是（
）mm．
A．100
B．200
C．300
D．400
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（ ）
A．
B.
C．
D．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝（
）．
A．25寸
B．26寸
C．27寸
D．28寸
11．如图，⊙O过点B．C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（ ）
A．6
B．13
C．
D．2
12．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
二．填空题
13．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为
．
14．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是
（结果保留根号）．
15．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米．
16．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是 ．
17．如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A．B两点到直线CD的距离之和为
18．一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB＝120°，则储水部分（阴影部分）的面积是
平方米．
三．解答题
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
22．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
23．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心．AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
24．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
北师大版九年级数学下册第三章3．2垂径定理
同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形
B．是长方形
C．是菱形
D．以上答案都不对
解：
因为圆O的弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理可知，半径OC垂直平分AB，即
OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
故选C．
2．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（ ）
A．12cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
解：如图：
∵CD是直径，CD⊥AB，AB=12cm，
∴AE=AB=6cm（垂径定理）．
故选B．
3．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．8m
解：连接BO，
由题意可得：AD＝BD＝4m，设⊙O的半径OC＝xm，
则DO＝（8﹣x）m，
由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．
故选：B．
4．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米．则该水槽截面半径为（ ）
A．3分米
B．4分米
C．5分米
D．10分米
解：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x﹣1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，
在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2，
∵OA＝OC，
∴32+x2＝42+（x﹣1）2，
解得x＝4，
∴半径OA＝分米＝5分米，
故选：C．
5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
解：如图：
过O作OC⊥AB于C，
∵OC过圆心O，AB=24，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=
=5．
故选：B．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4
B．9
C．5
D．8
解：设OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴OE＝4cm，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，
故选：B．
7.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是（
）mm．
A．100
B．200
C．300
D．400
解：∵⊙O的直径为1000mm，
∴OA＝OA＝500mm．
∵OD⊥AB，AB＝800mm，
∴AC＝400mm，
∴OC＝＝300mm，
∴CD＝OD﹣OC＝500﹣300＝200（mm）．
答：水的最大深度为200mm．
故答案为：B．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（ ）
A．
B.
C．
D．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8，
∴CE=CD=4（垂径定理）；
在Rt△OEC中：OC=5，CE=4，
∴OE=3（勾股定理）．
∴tan∠COE=
故选D．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝（
）．
A．25寸
B．26寸
C．27寸
D．28寸
解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，
根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故答案为：B．
11．如图，⊙O过点B．C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（ ）
A．6
B．13
C．
D．2
解：如图：
过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，
所以点D也为BC的中点．
根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A．O．D共线．
∵⊙O过B．C，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，
∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=3，
∴OD=3-1=2，
由勾股定理得：OB==
13
．
故选C．
12．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
二．填空题
13．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为 4或2 ．
解：分两种情况：
①如图1所示：作OE⊥AC于E，连接OA．OB，
则AE＝CE＝AC＝，
∴OE＝＝＝1＝OA，
∴∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴OA＝OB＝AB，
∴∠OAB＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC＝2OA＝4；
②如图2所示：作OE⊥AC于E，连接OA．OB，
同①得：∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝AB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BAC＝30°，∠ACB＝∠AOB＝30°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝AB＝2；
故答案为：4或2．
14．如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是
（结果保留根号）．
解：连OC，如图，
∵直径AB=12，M是半径OB的中点，
∴OC=6，OM=3，
在Rt△OCM中，CM=，
∵CD⊥AB，
∴CM=CD，
∴CD=2CM=．
故答案为6．
15．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 50 米．
解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米．
故答案为50．
16．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是 8 ．
解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
∵OC＝5，CD＝2，
∴OE＝3，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，
∴AB＝2AD＝8，
故答案为8．
17．如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A．B两点到直线CD的距离之和为
解：过O作OG⊥CD于G，连接OC，如图所示，
∵OG⊥CD，CD=8cm，
∴G为CD的中点，即CG=DG=4cm，
在Rt△OCG中，OC=1
2
AB=5cm，CG=4cm，
根据勾股定理得：OG==3cm，
又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，又O为AB的中点，
∴G为EF的中点，即OG为梯形AEFB的中位线，
∴OG=（AE+BF），
则AE+BF=2OG=6cm．
故答案为：6cm．
18．一条排水管截面圆的半径为2米，∠AOB＝120°，则储水部分（阴影部分）的面积是 平方米．
解：过点O作OC∠AB于点C，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OAB＝＝＝30°，
∴AC＝OA?cos30°＝2×＝m，OC＝OA＝×2＝1m，
∴AB＝2AC＝2m，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×2×1＝﹣．
故答案为：﹣．
三．解答题
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．
解：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
解：作弦AC的垂直平分线交直线CD于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
解：如图：
过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，
∴AB=AE+EB=2+6=8，
∴OA=4，
∴OE=OA-AE=4-2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，
∴OF=OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，
根据勾股定理得：DF=
，
则CD=2DF=2．
22．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
解：如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM＝MD．
∵CD＝10，
∴CM＝5．
设OC＝x，则OM＝25﹣x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25﹣x）2＝x2．
解得
x＝13．
∴⊙O的半径为13．
23．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心．AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵?AB?AC＝?BC?AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
24．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．