3.6直线和圆的位置关系-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.6直线和圆的位置关系-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 219.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-26 13:19:35 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章
3．6直线和圆的位置关系
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
2．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
4．如图所示，点A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．
5.圆O与直线L在同一平面上．若圆O半径为3公分，且其圆心到直线L的距离为2公分，则圆O和直线L的位置关系为（ ）
A．不相交
B．相交于一点
C．相交于两点
D．无法判别
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
7.⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（﹣3，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为（ ）
A．1
B．5
C．3
D．1或5
9．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
10.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
11.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周
B．3周
C．4周
D．5周
12．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，CP切⊙O于点C，交AB的延长线于点P，若∠P＝20°，则∠A＝
．
14．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为 ．
15.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C
为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是
.
16.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程-4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为
．
17．如图，坐标平面内，矩形AOCD的顶点A（0，2）、C（4，0）、D（4，2），抛物线y＝x2﹣1经过点Q（a，4），P（b，4），⊙P的半径为1，当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况共出现 次．
18．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是
．
三.解答题
19.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
20．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．
21.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.
22．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证：GC∥AE；
（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
24．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．
北师大版九年级数学下册第三章
3．6直线和圆的位置关系
同步测试(解析版)
一．选择题
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
解：∵圆半径r＝3，圆心到直线的距离d＝4．
故r＝3＜d＝4，
∴直线与圆的位置关系是相离．
故选：C．
2．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：∵62+82＝100，102＝100，
∴三角形为直角三角形，
设内切圆半径为r，则（6+8+10）r＝×6×8，
解得r＝2，
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆为三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．
∴则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为4个，
故选：B．
3.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
解：
∵⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：B．
4．如图所示，点A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．
解：连接OB，OC，
∵AB是圆的切线，
∴∠ABO＝90°，
在直角△ABO中，OB＝2，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝∠AOB＝60°，且S阴影部分＝S△BOC，
∴△BOC是等边三角形，边长是2，
∴图中阴影部分的面积＝2×＝，
故选：D．
5.圆O与直线L在同一平面上．若圆O半径为3厘米，且其圆心到直线L的距离为2厘米，则圆O和直线L的位置关系为（ ）
A．不相交
B．相交于一点
C．相交于两点
D．无法判别
解：
∵圆心到直线的距离是2小于圆的半径3，
∴直线和圆相交，
∴直线和圆有2个公共点．
故选C．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
解：连接OE，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，
∴四边形OEB′H是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B′H＝OE＝5，
∴CH＝B′C﹣B′H＝3，
∴B′E＝OH＝＝4，
则A′E＝A′B′﹣B′E＝10﹣4＝6，
故选：B．
7.⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
解：
∵⊙O的直径为10
∴r=5，∵d=6
∴d＞r
∴直线l与⊙O的位置关系是相离
故选C
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（﹣3，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为（ ）
A．1
B．5
C．3
D．1或5
解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
综上所述，⊙P向右平移的距离为1或5；
故选：D．
9．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
解：∵PA2＝PB?PC，PA＝8cm，PB＝4cm，
∴PC＝16cm，
∴BC＝12cm．
故选：C．
10.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解：如图：
根据题意知，当∠OAP取最大值时，OP⊥AP；
在Rt△AOP中，∵OP=OB，OB=AB，
∴OA=2OP，
∴∠OAP=30°．
故选A．
11.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周
B．3周
C．4周
D．5周
解：圆在三边运动自转周数：6π÷2π
=3，
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；
可见，⊙O自转了3+1=4周．
故选：C．
12．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
解：连接OC，OD，
∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，
∴△CMO≌△DMO（SSS），
∴∠ODM＝∠OCM，
∵MC与⊙O相切于点C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ODM＝90°，
∴MD与⊙O相切；故①正确；
∵△CMO≌△DMO，
∴∠COM＝∠DOM，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵OA＝OA，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝CM＝DM，
∴四边形ACMD是菱形，故②正确；
∵AC＝CM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∵∠COM＝2∠CAM，
∴∠COM＝2∠CMO，
∴∠CMO＝30°，
∴OC＝OM，
∵OC＝AB，
∴AB＝OM，故③正确；
∵四边形ACMD是菱形，
∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，
∴∠ADM＝120°，故④正确；
故选：A．
二．填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，CP切⊙O于点C，交AB的延长线于点P，若∠P＝20°，则∠A＝ 35° ．
解：连接OC，
∵CP切⊙O于点C，∠P＝20°，
∴∠OCP＝90°，
∴∠COP＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝，
故答案为：35°
14．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为 （2，3） ．
解：如图，点I即为△ABC的内心．
所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
15.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C
为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是
.
解：如图，
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=10．
圆与AB相切时，即r=CD=6×8÷5=；
∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点，
∴＜r≤6．
16.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程-4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为
．
解：
∵d、R是方程-4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，
∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，
∴△=16-4m=0，
解得，m=4，
故答案为：4．
17．如图，坐标平面内，矩形AOCD的顶点A（0，2）、C（4，0）、D（4，2），抛物线y＝x2﹣1经过点Q（a，4），P（b，4），⊙P的半径为1，当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况共出现 3 次．
解：由题意抛物线y＝x2﹣1与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1）．
观察图形可知当⊙P在AD上方与AD相切时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点，
当点P运动到（0，﹣1）时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点，
当点P运动到（﹣1，0）时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点，
∵OA＝2，
∴⊙P在AD与OC中间时，不存在满足条件的⊙P，
综上所述，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况有3种情形，
故答案为3．
18．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 （3﹣2，0）或P（3+2，0） ．
解：∵直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝3，
∴A（3，0），B（0．﹣3），
∴OA＝3，OB＝3，
∴AB＝6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝2，
∴OP＝3﹣2或OP＝3+2，
∴P（3﹣2，0）或P（3+2，0），
故答案为（3﹣2，0）或P（3+2，0）．
三．解答题
19.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
解：过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
20．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．
解：（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4，
∴OF＝＝6，
∵OD∥AE，
∴，
∴＝＝，
∴AE＝，ED＝，
∴tan∠EAD＝＝．
21.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.
解：如图：
∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
连接OC，
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
在△COD中，又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
22．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证：GC∥AE；
（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．
解：（1）证明：连接OC，交AE于点H．
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE．
∵GC是⊙O的切线，
∴OC⊥GC，
∴∠OHA＝∠OCG＝90°，
∴GC∥AE；
（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，
∴OC⊥AE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHF＝∠FDA＝90°，
∵∠CFH＝∠AFD，
∴∠OCD＝∠EAB．
∴．
在Rt△CDO中，OD＝3，
∴OC＝5，
∴AB＝10，
连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△AEB中，
∵，
∴BE＝6，
∴AE＝8．
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
24．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．
解：（1）证明：如图，连接AO，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AO平分∠BAC，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠BCA＝60°，
∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴EA为⊙O的切线；
（2）BD＝CF，理由如下：
∵△ABC为正三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；
∵A、B、C、D四边共圆，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°，
∵DF＝DA，
∴△ADF为正三角形，
∴∠DAF＝60°＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF．
所以BD与CF的数量关系为相等．
3．6直线和圆的位置关系
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
2．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
4．如图所示，点A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．
5.圆O与直线L在同一平面上．若圆O半径为3公分，且其圆心到直线L的距离为2公分，则圆O和直线L的位置关系为（ ）
A．不相交
B．相交于一点
C．相交于两点
D．无法判别
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
7.⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（﹣3，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为（ ）
A．1
B．5
C．3
D．1或5
9．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
10.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
11.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周
B．3周
C．4周
D．5周
12．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，CP切⊙O于点C，交AB的延长线于点P，若∠P＝20°，则∠A＝
．
14．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为 ．
15.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C
为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是
.
16.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程-4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为
．
17．如图，坐标平面内，矩形AOCD的顶点A（0，2）、C（4，0）、D（4，2），抛物线y＝x2﹣1经过点Q（a，4），P（b，4），⊙P的半径为1，当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况共出现 次．
18．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是
．
三.解答题
19.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
20．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．
21.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.
22．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证：GC∥AE；
（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
24．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．
北师大版九年级数学下册第三章
3．6直线和圆的位置关系
同步测试(解析版)
一．选择题
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
解：∵圆半径r＝3，圆心到直线的距离d＝4．
故r＝3＜d＝4，
∴直线与圆的位置关系是相离．
故选：C．
2．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：∵62+82＝100，102＝100，
∴三角形为直角三角形，
设内切圆半径为r，则（6+8+10）r＝×6×8，
解得r＝2，
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆为三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．
∴则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为4个，
故选：B．
3.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
解：
∵⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：B．
4．如图所示，点A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．
解：连接OB，OC，
∵AB是圆的切线，
∴∠ABO＝90°，
在直角△ABO中，OB＝2，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝∠AOB＝60°，且S阴影部分＝S△BOC，
∴△BOC是等边三角形，边长是2，
∴图中阴影部分的面积＝2×＝，
故选：D．
5.圆O与直线L在同一平面上．若圆O半径为3厘米，且其圆心到直线L的距离为2厘米，则圆O和直线L的位置关系为（ ）
A．不相交
B．相交于一点
C．相交于两点
D．无法判别
解：
∵圆心到直线的距离是2小于圆的半径3，
∴直线和圆相交，
∴直线和圆有2个公共点．
故选C．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
解：连接OE，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，
∴四边形OEB′H是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B′H＝OE＝5，
∴CH＝B′C﹣B′H＝3，
∴B′E＝OH＝＝4，
则A′E＝A′B′﹣B′E＝10﹣4＝6，
故选：B．
7.⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
解：
∵⊙O的直径为10
∴r=5，∵d=6
∴d＞r
∴直线l与⊙O的位置关系是相离
故选C
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（﹣3，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为（ ）
A．1
B．5
C．3
D．1或5
解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
综上所述，⊙P向右平移的距离为1或5；
故选：D．
9．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
解：∵PA2＝PB?PC，PA＝8cm，PB＝4cm，
∴PC＝16cm，
∴BC＝12cm．
故选：C．
10.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解：如图：
根据题意知，当∠OAP取最大值时，OP⊥AP；
在Rt△AOP中，∵OP=OB，OB=AB，
∴OA=2OP，
∴∠OAP=30°．
故选A．
11.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周
B．3周
C．4周
D．5周
解：圆在三边运动自转周数：6π÷2π
=3，
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；
可见，⊙O自转了3+1=4周．
故选：C．
12．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
解：连接OC，OD，
∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，
∴△CMO≌△DMO（SSS），
∴∠ODM＝∠OCM，
∵MC与⊙O相切于点C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ODM＝90°，
∴MD与⊙O相切；故①正确；
∵△CMO≌△DMO，
∴∠COM＝∠DOM，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵OA＝OA，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝CM＝DM，
∴四边形ACMD是菱形，故②正确；
∵AC＝CM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∵∠COM＝2∠CAM，
∴∠COM＝2∠CMO，
∴∠CMO＝30°，
∴OC＝OM，
∵OC＝AB，
∴AB＝OM，故③正确；
∵四边形ACMD是菱形，
∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，
∴∠ADM＝120°，故④正确；
故选：A．
二．填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，CP切⊙O于点C，交AB的延长线于点P，若∠P＝20°，则∠A＝ 35° ．
解：连接OC，
∵CP切⊙O于点C，∠P＝20°，
∴∠OCP＝90°，
∴∠COP＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝，
故答案为：35°
14．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为 （2，3） ．
解：如图，点I即为△ABC的内心．
所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
15.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C
为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是
.
解：如图，
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=10．
圆与AB相切时，即r=CD=6×8÷5=；
∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点，
∴＜r≤6．
16.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程-4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为
．
解：
∵d、R是方程-4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，
∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，
∴△=16-4m=0，
解得，m=4，
故答案为：4．
17．如图，坐标平面内，矩形AOCD的顶点A（0，2）、C（4，0）、D（4，2），抛物线y＝x2﹣1经过点Q（a，4），P（b，4），⊙P的半径为1，当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况共出现 3 次．
解：由题意抛物线y＝x2﹣1与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1）．
观察图形可知当⊙P在AD上方与AD相切时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点，
当点P运动到（0，﹣1）时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点，
当点P运动到（﹣1，0）时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点，
∵OA＝2，
∴⊙P在AD与OC中间时，不存在满足条件的⊙P，
综上所述，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况有3种情形，
故答案为3．
18．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 （3﹣2，0）或P（3+2，0） ．
解：∵直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝3，
∴A（3，0），B（0．﹣3），
∴OA＝3，OB＝3，
∴AB＝6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝2，
∴OP＝3﹣2或OP＝3+2，
∴P（3﹣2，0）或P（3+2，0），
故答案为（3﹣2，0）或P（3+2，0）．
三．解答题
19.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
解：过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
20．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．
解：（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4，
∴OF＝＝6，
∵OD∥AE，
∴，
∴＝＝，
∴AE＝，ED＝，
∴tan∠EAD＝＝．
21.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.
解：如图：
∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
连接OC，
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
在△COD中，又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
22．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
（1）求证：GC∥AE；
（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．
解：（1）证明：连接OC，交AE于点H．
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE．
∵GC是⊙O的切线，
∴OC⊥GC，
∴∠OHA＝∠OCG＝90°，
∴GC∥AE；
（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，
∴OC⊥AE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHF＝∠FDA＝90°，
∵∠CFH＝∠AFD，
∴∠OCD＝∠EAB．
∴．
在Rt△CDO中，OD＝3，
∴OC＝5，
∴AB＝10，
连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△AEB中，
∵，
∴BE＝6，
∴AE＝8．
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
24．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．
解：（1）证明：如图，连接AO，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AO平分∠BAC，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠BCA＝60°，
∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴EA为⊙O的切线；
（2）BD＝CF，理由如下：
∵△ABC为正三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；
∵A、B、C、D四边共圆，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°，
∵DF＝DA，
∴△ADF为正三角形，
∴∠DAF＝60°＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF．
所以BD与CF的数量关系为相等．