3.2圆的对称性-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2圆的对称性-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 322.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-26 13:22:16 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°
B．50°
C．65°
D．75°
2．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3.如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
4．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
6.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交
于E，F两点，则∠EDF的度数为（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
7．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5°
B．130°
C．122.5°
D．115°
8.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
解：连接BE，OE，
9.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（ ）
A．50°
B．55°
C．65°
D．80°
10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
11.如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（ ）
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（ ）
A．56
B．58
C．60
D．62
二．填空题
13．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于
°
14.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为
cm．
15．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 ．
17．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为
．
18．如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为
．
三．解答题
19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，
求证：BM＝DM．
20.如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
21．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
22．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．
23．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
24．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．
25.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性
同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°
B．50°
C．65°
D．75°
解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
2．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解：如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：C．
3.如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
解：∵在⊙O中，，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，
∴∠B＝＝75°．
故选：B．
4．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：连接OC．
∵∠DOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴＝，
∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，
∴OA＝2，
∴AE＝＝，
故选：A．
5．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的度数为120°
故选：C．
6.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交
于E，F两点，则∠EDF的度数为（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
解：∵AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，
∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，
∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，
∵AC∥ED，AB∥DF，
∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，
∴∠EDF＝180°－60°－55°＝65°．
故选：C．
7．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5°
B．130°
C．122.5°
D．115°
解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故选：B．
8.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
解：连接BE，OE，
∵AE∥CD
∴∠A＝∠AOC＝50°，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，∠B＝40°，
∴∠AOE＝80°，即弧AE的度数为80°．
故选：D．
9.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（ ）
A．50°
B．55°
C．65°
D．80°
解：∵OM＝ON，
∴∠N＝∠M＝50°．
再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON＝180°－50°×2＝80°．
故选：D．
10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
解：连结OD，如图，
∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，
∴BC垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，
∴的度数为50°，
故选：B．
11.如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（ ）
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
解：线段OA，OB，OC，OD每两条都相等，因而有6对；
∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，
，．故选：A．
12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（ ）
A．56
B．58
C．60
D．62
解：
以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴弧AM＝弧DC＝62°，
∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
二．填空题
13．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于 120 °
解：如图，连接OA．
.∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴弧AC的度数为120°．
故答案为120．
14.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径
为
cm．
解：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，＝2π×5×3，解得，r＝40cm．
故应填40．
15．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数 60° ．
解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，
∴2OM＝OC，2ON＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴∠MCO＝∠NDO＝30°，
∴∠MOC＝∠NOD＝60°，
∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴的度数是60°，
故答案为：60°
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 72° ．
解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝90°﹣∠A＝54°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠A＝54°，
∴∠ACD＝180°﹣54°﹣54°＝72°；
故答案为：72°．
17．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 或2 ．
解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故答案为或2．
18．如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为 ．
解：作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．
由∠AOC＝90°，可得∠ABC＝135°，
在Rt△AHB中，∵AB＝，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△AHC中，∵CH＝CB+BH＝2，AH＝1，
∴AC＝＝，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC＝，
故答案为．
三．解答题
19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．
证明：连接BD．如图：
∵AB＝CD，
∴，
∴＝，即，
∴∠B＝∠D，
∴BM＝DM．
20.如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
解：（1）△AOC是等边三角形.
证明：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝60°
∵OA＝OC
∴△AOC是等边三角形；
（2）∵
＝，
∴OC⊥AD
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD
∴OC∥BD.
21．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
22．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．
证明：如图，连结BD
∵PB＝PD
∴∠PBD＝∠PDB，
∴优弧＝优弧，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD．
23．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
证明：（1）连接OB、OC，
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
24．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．
（1）证明：延长BO交⊙O
于F，连接DF，AD．
∵BF是直径，
∴∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴AC∥DF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOF，
∵∠AOB+∠AOF＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°．
（2）解：连接AF．
由（1）可知：＝，
∴AF＝CD＝6，
∵BF是直径，
∴∠BAF＝90°，
∴BF＝＝＝10，
∴⊙O的直径为10．
25.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
即∠ACB＝30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，
∴cos30°＝，
∴CD＝，
∵AD＝CD，
∴AC＝3，
∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，
∴AE＝×3＝．
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°
B．50°
C．65°
D．75°
2．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3.如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
4．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
6.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交
于E，F两点，则∠EDF的度数为（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
7．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5°
B．130°
C．122.5°
D．115°
8.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
解：连接BE，OE，
9.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（ ）
A．50°
B．55°
C．65°
D．80°
10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
11.如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（ ）
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（ ）
A．56
B．58
C．60
D．62
二．填空题
13．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于
°
14.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为
cm．
15．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 ．
17．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为
．
18．如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为
．
三．解答题
19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，
求证：BM＝DM．
20.如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
21．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
22．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．
23．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
24．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．
25.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性
同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°
B．50°
C．65°
D．75°
解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
2．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解：如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：C．
3.如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
解：∵在⊙O中，，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，
∴∠B＝＝75°．
故选：B．
4．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：连接OC．
∵∠DOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴＝，
∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，
∴OA＝2，
∴AE＝＝，
故选：A．
5．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的度数为120°
故选：C．
6.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交
于E，F两点，则∠EDF的度数为（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
解：∵AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，
∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，
∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，
∵AC∥ED，AB∥DF，
∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，
∴∠EDF＝180°－60°－55°＝65°．
故选：C．
7．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5°
B．130°
C．122.5°
D．115°
解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故选：B．
8.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
解：连接BE，OE，
∵AE∥CD
∴∠A＝∠AOC＝50°，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，∠B＝40°，
∴∠AOE＝80°，即弧AE的度数为80°．
故选：D．
9.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（ ）
A．50°
B．55°
C．65°
D．80°
解：∵OM＝ON，
∴∠N＝∠M＝50°．
再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON＝180°－50°×2＝80°．
故选：D．
10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
解：连结OD，如图，
∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，
∴BC垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，
∴的度数为50°，
故选：B．
11.如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（ ）
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
解：线段OA，OB，OC，OD每两条都相等，因而有6对；
∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，
，．故选：A．
12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（ ）
A．56
B．58
C．60
D．62
解：
以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴弧AM＝弧DC＝62°，
∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
二．填空题
13．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于 120 °
解：如图，连接OA．
.∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴弧AC的度数为120°．
故答案为120．
14.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径
为
cm．
解：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，＝2π×5×3，解得，r＝40cm．
故应填40．
15．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数 60° ．
解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，
∴2OM＝OC，2ON＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴∠MCO＝∠NDO＝30°，
∴∠MOC＝∠NOD＝60°，
∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴的度数是60°，
故答案为：60°
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 72° ．
解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝90°﹣∠A＝54°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠A＝54°，
∴∠ACD＝180°﹣54°﹣54°＝72°；
故答案为：72°．
17．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 或2 ．
解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝，
∴边CD＝＝；
如图②，BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝＝＝2，
∴边CD＝＝＝2，
故答案为或2．
18．如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为 ．
解：作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．
由∠AOC＝90°，可得∠ABC＝135°，
在Rt△AHB中，∵AB＝，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△AHC中，∵CH＝CB+BH＝2，AH＝1，
∴AC＝＝，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC＝，
故答案为．
三．解答题
19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．
证明：连接BD．如图：
∵AB＝CD，
∴，
∴＝，即，
∴∠B＝∠D，
∴BM＝DM．
20.如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
解：（1）△AOC是等边三角形.
证明：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝60°
∵OA＝OC
∴△AOC是等边三角形；
（2）∵
＝，
∴OC⊥AD
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD
∴OC∥BD.
21．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
22．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．
证明：如图，连结BD
∵PB＝PD
∴∠PBD＝∠PDB，
∴优弧＝优弧，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD．
23．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
证明：（1）连接OB、OC，
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
24．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．
（1）证明：延长BO交⊙O
于F，连接DF，AD．
∵BF是直径，
∴∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴AC∥DF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOF，
∵∠AOB+∠AOF＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°．
（2）解：连接AF．
由（1）可知：＝，
∴AF＝CD＝6，
∵BF是直径，
∴∠BAF＝90°，
∴BF＝＝＝10，
∴⊙O的直径为10．
25.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
即∠ACB＝30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，
∴cos30°＝，
∴CD＝，
∵AD＝CD，
∴AC＝3，
∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，
∴AE＝×3＝．