3.5确定圆的条件-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.5确定圆的条件-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 276.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-26 13:23:29 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.三角形的外心是三角形中（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交
D．三条高的交点
2．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD为弦，连接AD，若∠ADC＝55°，则∠CAB的度数为（ ）
A．25°
B．35°
C．36°
D．40°
4．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．6
5.下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
6．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O外
C．在⊙O上
D．不能确定
7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．2cm或3cm
D．2cm或
cm
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为3cm，若BC＝3cm，则∠A的度数为（ ）
A．15°
B．25°
C．30°
D．10°
9．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A．a＜﹣1
B．a＞3
C．﹣1＜a＜3
D．a≥﹣1且a≠0
10.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
A．BC的长
B．DE的长
C．AD的长
D．AE的长
11．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
二．填空题
13．如图，等边△ABC的三个顶点在圆O上，BD是直径，则∠BDC＝
度，∠BCD＝
度，∠ACD＝
度．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
15．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为
．
16．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆．
17.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件
.
18.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是
.
19．如图，若△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为 ．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为 ．
三．解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为
；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
22．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
23.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
24．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
25．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝
时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为
．
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．
北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件
同步测试(解析版)
一．选择题
1.三角形的外心是三角形中（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交
D．三条高的交点
解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：A．
2．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
解：∵AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，
故选：A．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD为弦，连接AD，若∠ADC＝55°，则∠CAB的度数为（ ）
A．25°
B．35°
C．36°
D．40°
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝55°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°；
故选：B．
4．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．6
解：如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．
∵AB是直径，AB⊥CT，
∴CF＝FT，
∵DE＝EC，
∴EF＝DT，
当DT是直径时，EF的值最大，最大值＝×8＝4，
故选：B．
5.下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
解：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B.三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D.同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
6．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O外
C．在⊙O上
D．不能确定
解：∵P（﹣3，4），
∴OP＝＝5，
∵OP＝r＝5，
∴点P在⊙O上，
故选：C．
7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．2cm或3cm
D．2cm或
cm
解：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；
由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，
故选A．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为3cm，若BC＝3cm，则∠A的度数为（ ）
A．15°
B．25°
C．30°
D．10°
解：连接OB、OC，如图，
∵OB＝OC＝BC＝3，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°．
故选：C．
9．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A．a＜﹣1
B．a＞3
C．﹣1＜a＜3
D．a≥﹣1且a≠0
解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜2，
∴﹣1＜a＜3．
故选：C．
10.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
A．BC的长
B．DE的长
C．AD的长
D．AE的长
解：如图：
过B作⊙O的直径BF，交⊙O于F，连接FC，则∠BCF=90°，
Rt△BCF中，sinF=
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，即DE=，
∴sinA=sinF==DE．
故选B．
11．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
12．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
解：甲，∵＝，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，
∴、为此圆直径，
∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
二．填空题
13．如图，等边△ABC的三个顶点在圆O上，BD是直径，则∠BDC＝ 60 度，∠BCD＝ 90 度，∠ACD＝ 30 度．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠BDC＝∠A＝60°，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°．
故答案为60，90，30．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 圆外 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
解：∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0，
∴d＞1，
∵⊙O的半径为1，
∴d＞r；
∴点P在⊙O的外部，
故答案为：圆外．
15．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为 或 ．
解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为；
当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是；
故答案为：或．
16．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 5 个不同的圆．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
17.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件
.
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，-3），
∴
解得：k=-2.5
，b=4.5
，
∴直线AB的解析式为y=-2.5
x+4.5
，
∵点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
18.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是
.
解：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°．
若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．
∴∠A=30°或150°．
故答案为：30°或150°．
19．如图，若△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为 6 ．
解：过点O作OD⊥BC于点D，如图所示：
则BD＝CD，
∵△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，CO＝BO＝6，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴OD＝OB＝3，
∴BD＝＝3，
∴BC＝2BD＝6，
故答案为：6．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为 4 ．
解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝4，
故答案为：4．
三．解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
22．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
23.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
解：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：
BD
＝
CD
，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
24．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
解：
（1）对角互补（对角之和等于180°）；
如图1，矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．
如图2，在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，A，B，C，D四点不共圆
如图3，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，∠A＝∠B，∠C＝∠D，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．
综上所述，相对的两个角之间的关系是：互补．
（2）如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．
图4：连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°；
图5：连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BED＞∠C，
∴∠A+∠C＜180°．
25．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝ 60° 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为 ．
【解答】证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACE
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD
∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．
解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵AD是△BAC的∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
Rt△ACD与Rt△ADE中，
∠CAD=∠BAD，
∠ACB=∠AED
，AD=AD
，
∴Rt△ACD≌Rt△ADE（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，
∴
∵由（1）知，AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=90°，
∴设CD=x，则BD=8-x，BE=AB-AE=10-6=4，
在Rt△BDE中，，即解得x=3．
在Rt△ACD中即解得AD=，
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.三角形的外心是三角形中（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交
D．三条高的交点
2．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD为弦，连接AD，若∠ADC＝55°，则∠CAB的度数为（ ）
A．25°
B．35°
C．36°
D．40°
4．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．6
5.下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
6．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O外
C．在⊙O上
D．不能确定
7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．2cm或3cm
D．2cm或
cm
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为3cm，若BC＝3cm，则∠A的度数为（ ）
A．15°
B．25°
C．30°
D．10°
9．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A．a＜﹣1
B．a＞3
C．﹣1＜a＜3
D．a≥﹣1且a≠0
10.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
A．BC的长
B．DE的长
C．AD的长
D．AE的长
11．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
二．填空题
13．如图，等边△ABC的三个顶点在圆O上，BD是直径，则∠BDC＝
度，∠BCD＝
度，∠ACD＝
度．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
15．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为
．
16．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆．
17.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件
.
18.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是
.
19．如图，若△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为 ．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为 ．
三．解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为
；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
22．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
23.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
24．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
25．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝
时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为
．
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．
北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件
同步测试(解析版)
一．选择题
1.三角形的外心是三角形中（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交
D．三条高的交点
解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：A．
2．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
解：∵AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，
故选：A．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD为弦，连接AD，若∠ADC＝55°，则∠CAB的度数为（ ）
A．25°
B．35°
C．36°
D．40°
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝55°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°；
故选：B．
4．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．6
解：如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．
∵AB是直径，AB⊥CT，
∴CF＝FT，
∵DE＝EC，
∴EF＝DT，
当DT是直径时，EF的值最大，最大值＝×8＝4，
故选：B．
5.下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
解：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B.三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D.同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
6．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O外
C．在⊙O上
D．不能确定
解：∵P（﹣3，4），
∴OP＝＝5，
∵OP＝r＝5，
∴点P在⊙O上，
故选：C．
7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．2cm或3cm
D．2cm或
cm
解：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；
由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，
故选A．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为3cm，若BC＝3cm，则∠A的度数为（ ）
A．15°
B．25°
C．30°
D．10°
解：连接OB、OC，如图，
∵OB＝OC＝BC＝3，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°．
故选：C．
9．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A．a＜﹣1
B．a＞3
C．﹣1＜a＜3
D．a≥﹣1且a≠0
解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜2，
∴﹣1＜a＜3．
故选：C．
10.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
A．BC的长
B．DE的长
C．AD的长
D．AE的长
解：如图：
过B作⊙O的直径BF，交⊙O于F，连接FC，则∠BCF=90°，
Rt△BCF中，sinF=
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，即DE=，
∴sinA=sinF==DE．
故选B．
11．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
12．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
解：甲，∵＝，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，
∴、为此圆直径，
∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
二．填空题
13．如图，等边△ABC的三个顶点在圆O上，BD是直径，则∠BDC＝ 60 度，∠BCD＝ 90 度，∠ACD＝ 30 度．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠BDC＝∠A＝60°，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°．
故答案为60，90，30．
14．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 圆外 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
解：∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0，
∴d＞1，
∵⊙O的半径为1，
∴d＞r；
∴点P在⊙O的外部，
故答案为：圆外．
15．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为 或 ．
解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为；
当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是；
故答案为：或．
16．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 5 个不同的圆．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
17.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件
.
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，-3），
∴
解得：k=-2.5
，b=4.5
，
∴直线AB的解析式为y=-2.5
x+4.5
，
∵点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
18.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是
.
解：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°．
若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．
∴∠A=30°或150°．
故答案为：30°或150°．
19．如图，若△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为 6 ．
解：过点O作OD⊥BC于点D，如图所示：
则BD＝CD，
∵△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，CO＝BO＝6，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴OD＝OB＝3，
∴BD＝＝3，
∴BC＝2BD＝6，
故答案为：6．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为 4 ．
解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝4，
故答案为：4．
三．解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
22．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
23.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
解：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：
BD
＝
CD
，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
24．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
解：
（1）对角互补（对角之和等于180°）；
如图1，矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．
如图2，在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，A，B，C，D四点不共圆
如图3，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，∠A＝∠B，∠C＝∠D，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．
综上所述，相对的两个角之间的关系是：互补．
（2）如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．
图4：连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°；
图5：连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BED＞∠C，
∴∠A+∠C＜180°．
25．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝ 60° 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为 ．
【解答】证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACE
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD
∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．
解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵AD是△BAC的∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
Rt△ACD与Rt△ADE中，
∠CAD=∠BAD，
∠ACB=∠AED
，AD=AD
，
∴Rt△ACD≌Rt△ADE（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，
∴
∵由（1）知，AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=90°，
∴设CD=x，则BD=8-x，BE=AB-AE=10-6=4，
在Rt△BDE中，，即解得x=3．
在Rt△ACD中即解得AD=，