3.4圆周角和圆心角的关系-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.4圆周角和圆心角的关系-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 399.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-26 13:23:24 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章
3．4圆周角和圆心角的关系
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在
CD
上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝10，AC＝CD＝5，则∠ABD的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
3．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（ ）
A．210°
B．215°
C．235°
D．250°
4．下列命题中，正确的命题个数是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，⊙O的半径为6，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．
B．6
C．
D．
6．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A．点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内
上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．3
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．20°
B．40°
C．60°
D．80°
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是（ ）
A．2
B．
C．1
D．2
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC．AD，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
10．如图，?O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）
A．PC?CA＝PB?BD
B．CE?AE＝BE?ED
C．CE?CD＝BE?BA
D．PB?PD＝PC?PA
11．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（ ）
A．2米
B．3米
C．4米
D．5米
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝9，AD＝15，∠BCD＝120°，弦AC平分∠BAD，则AC的长是（ ）
A．
B．
C．12
D．13
二．填空题
13．如图，△ABC的顶点A．B．C均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，则BC?CD＝ ．
15．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是
16．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是 ．
如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝
．
18．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2＝8，则AB等于 ．
三．解答题
19．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．
20．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，求∠BCD的度数．
22．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
23．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
24．如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC的中点，连接BC，OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．
25．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝6，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为多少？
北师大版九年级数学下册第三章
3．4圆周角和圆心角的关系
同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图，AB．CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（ ）
A．28°
B．31°
C．38°
D．62°
解：∵AB⊥CD，
∴∠DPB=90°，
∵∠CDB=62°，
∴∠B=180°-90°-62°=28°，
∴∠ACD=∠B=28°．
故选A．
2．如图，在圆内接五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD＝DE，且∠D＝100°，连接AC和EC．则∠ACE的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．48°
解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣100°）＝40°，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠CED＝40°，
∵∠EAC+∠EDC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝120°，
∴∠ECB＝180°﹣∠EAB＝60°，
∵AE＝AB，
∴＝，
∴∠ACE＝∠ACB＝∠ECB＝30°，
故选：A．
3．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．2∠C
B．4∠B
C．4∠A
D．∠B+∠C
解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故选：A．
4．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴，，
∴＝2，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
解：∵∠E=∠ABD，
∴tan∠AED=tan∠ABD=．
故选D．
6．在同圆或等圆中，下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②圆内接平行四边形是菱形；
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，才能成立．
②圆内接平行四边形是菱形，错误，圆内接平行四边形是矩形．
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，正确．
④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．错误，弦所对的圆周角有两个，也可能互补．
故选：A．
7．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（ ）
A．10°
B．30°
C．80°
D．120°
解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形ABCD为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（ ）
A．130°
B．100°
C．120°
D．110°
解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，
故选：A．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（ ）
A．35°
B．70°
C．110°
D．140°
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
11．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE?EQ的值是（ ）
A．24
B．9
C．6
D．27
解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2＝AD?DB，AD＝9，BD＝4，
∴CD＝6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE?EQ＝DE?EM＝CE?EN，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6
则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），
解得x＝3．
所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．
所以PE?EQ＝3×9＝27．
故选：D．
12．如图，A，C，D，B四点在⊙O上呈顺时针方向排列，AB是⊙O的直径，OC⊥OD，AC＝3，CD＝3，则弦BD的长为（
）．
A．6
B．9
C．6
D．6
解：连接AD，BC，AD和BC交于P，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵OC＝OD，CD＝3，
∴由勾股定理得：2OC2＝（3）2，
∴OC＝3，
∴AB＝2OC＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝9，
在Rt△ACP中，AC＝3，∠CAP＝COD＝45°，
∴CP＝AC＝3，
∴PB＝BC﹣CP＝6，
在Rt△PDB中，PB＝6，∠DBC＝COD＝45°，
∴BD＝PB＝6，
故答案为：C．
二．填空题
13．如图，圆O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝24°，则∠D＝ 66° ．
解：∵圆O的直径AB过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∵∠A＝∠C＝24°，
∴∠D＝90°﹣24°＝66°．
故答案为66°．
14．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的大小为
．
解：∵∠ABC=70°，∠CAB=50°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°．
故答案为60°．
15．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D，则∠BOD的度数是
度．
解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，
∴∠A=50°，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BOD=100°．
故答案为：100．
16．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝ 6 ．
解：由相交弦定理得，AP?BP＝CP?DP，
则DP＝＝6，
故答案为：6．
17．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，目MN＝10，那么弦AN的长为 4 ．
解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示：
∵MN是半圆的直径，
∴∠MAN＝90°，
∴AN⊥AM，
∵AM'＝AM，
∴M′N＝MN＝10，
∵MB：BN＝2：3，
∴MB＝4，BN＝6，
由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN，
∴DM'＝BM＝4，
∵四边形AMND是圆内接四边形，
∴∠M'AD＝∠M'NM，
∵∠M'＝∠M'，
∴△M'AD∽△M'NM，
∴＝，
∴M′A?M′M＝M′D?M′N，
即M′A?2M′A＝4×10＝40．
则M′A2＝20，
又∵M′A2＝M′N2﹣AN2，
∴20＝100﹣AN2，
∴AN＝4．
故答案为：4．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD＝8，点E在BC的延长线上，若∠DCE＝60°，则⊙O的半径OB＝ ．
解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝8，
作OF⊥BD于F，
则BF＝DF＝4，
∵∠BOD＝120°，OB＝OD，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝BF＝，OB＝2OF＝，
故答案为：．
三．解答题
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
20．如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小．
答案：∵∠BAC=45°，
∴∠B0C=90°，
∵BC=2，
∴OB=OC=2．
即⊙O的半径为2．
21．如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长6cm，试求弦AB所对的圆周角的度数．
答案：如图，
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，
连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，
由垂径定理，得AC=AB=3，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根据圆周角定理，得∠P=∠AOB=60°，
又APBP′为圆内接四边形，
所以，∠P′=180°-∠P=120°，
故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°
22．如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
（1）求∠ADB与∠ADC的大小；
（2）求证：AD＝BD+CD．
（1）解：连接BC，由题意得△ABC为等边三角形，有∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADC＝60°；
（2）证明：在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，
∵∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△BDE、△CDF为正三角形，
∴∠DEB＝∠DFC＝60°，
∴∠AEB＝∠CFA＝120°，
又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，
∴∠EAB＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．
23．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM?MB＝CM?MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM?MB的值．
解：（1）连接AD、BC．
∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴
即AM?MB＝CM?MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2
∴CD＝CM＝
＝
＝
由（1）知AM?MB＝CM?MD．
∴AM?MB＝?
＝5．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD＝BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴＝，
即＝，
∴DF＝5﹣5，
故DF的长为5﹣5．
25．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD?AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
3．4圆周角和圆心角的关系
同步测试(原卷版)
一．选择题
1．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在
CD
上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝10，AC＝CD＝5，则∠ABD的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
3．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（ ）
A．210°
B．215°
C．235°
D．250°
4．下列命题中，正确的命题个数是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，⊙O的半径为6，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．
B．6
C．
D．
6．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A．点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内
上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．3
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．20°
B．40°
C．60°
D．80°
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是（ ）
A．2
B．
C．1
D．2
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC．AD，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
10．如图，?O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）
A．PC?CA＝PB?BD
B．CE?AE＝BE?ED
C．CE?CD＝BE?BA
D．PB?PD＝PC?PA
11．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（ ）
A．2米
B．3米
C．4米
D．5米
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝9，AD＝15，∠BCD＝120°，弦AC平分∠BAD，则AC的长是（ ）
A．
B．
C．12
D．13
二．填空题
13．如图，△ABC的顶点A．B．C均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，则BC?CD＝ ．
15．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是
16．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是 ．
如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝
．
18．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2＝8，则AB等于 ．
三．解答题
19．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．
20．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，求∠BCD的度数．
22．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
23．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
24．如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC的中点，连接BC，OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．
25．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝6，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为多少？
北师大版九年级数学下册第三章
3．4圆周角和圆心角的关系
同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图，AB．CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（ ）
A．28°
B．31°
C．38°
D．62°
解：∵AB⊥CD，
∴∠DPB=90°，
∵∠CDB=62°，
∴∠B=180°-90°-62°=28°，
∴∠ACD=∠B=28°．
故选A．
2．如图，在圆内接五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD＝DE，且∠D＝100°，连接AC和EC．则∠ACE的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．48°
解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣100°）＝40°，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠CED＝40°，
∵∠EAC+∠EDC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝120°，
∴∠ECB＝180°﹣∠EAB＝60°，
∵AE＝AB，
∴＝，
∴∠ACE＝∠ACB＝∠ECB＝30°，
故选：A．
3．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．2∠C
B．4∠B
C．4∠A
D．∠B+∠C
解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故选：A．
4．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴，，
∴＝2，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
解：∵∠E=∠ABD，
∴tan∠AED=tan∠ABD=．
故选D．
6．在同圆或等圆中，下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②圆内接平行四边形是菱形；
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，才能成立．
②圆内接平行四边形是菱形，错误，圆内接平行四边形是矩形．
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，正确．
④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．错误，弦所对的圆周角有两个，也可能互补．
故选：A．
7．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（ ）
A．10°
B．30°
C．80°
D．120°
解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形ABCD为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（ ）
A．130°
B．100°
C．120°
D．110°
解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，
故选：A．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（ ）
A．35°
B．70°
C．110°
D．140°
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
11．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE?EQ的值是（ ）
A．24
B．9
C．6
D．27
解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2＝AD?DB，AD＝9，BD＝4，
∴CD＝6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE?EQ＝DE?EM＝CE?EN，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6
则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），
解得x＝3．
所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．
所以PE?EQ＝3×9＝27．
故选：D．
12．如图，A，C，D，B四点在⊙O上呈顺时针方向排列，AB是⊙O的直径，OC⊥OD，AC＝3，CD＝3，则弦BD的长为（
）．
A．6
B．9
C．6
D．6
解：连接AD，BC，AD和BC交于P，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵OC＝OD，CD＝3，
∴由勾股定理得：2OC2＝（3）2，
∴OC＝3，
∴AB＝2OC＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝9，
在Rt△ACP中，AC＝3，∠CAP＝COD＝45°，
∴CP＝AC＝3，
∴PB＝BC﹣CP＝6，
在Rt△PDB中，PB＝6，∠DBC＝COD＝45°，
∴BD＝PB＝6，
故答案为：C．
二．填空题
13．如图，圆O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝24°，则∠D＝ 66° ．
解：∵圆O的直径AB过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∵∠A＝∠C＝24°，
∴∠D＝90°﹣24°＝66°．
故答案为66°．
14．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的大小为
．
解：∵∠ABC=70°，∠CAB=50°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°．
故答案为60°．
15．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D，则∠BOD的度数是
度．
解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，
∴∠A=50°，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BOD=100°．
故答案为：100．
16．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝ 6 ．
解：由相交弦定理得，AP?BP＝CP?DP，
则DP＝＝6，
故答案为：6．
17．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，目MN＝10，那么弦AN的长为 4 ．
解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示：
∵MN是半圆的直径，
∴∠MAN＝90°，
∴AN⊥AM，
∵AM'＝AM，
∴M′N＝MN＝10，
∵MB：BN＝2：3，
∴MB＝4，BN＝6，
由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN，
∴DM'＝BM＝4，
∵四边形AMND是圆内接四边形，
∴∠M'AD＝∠M'NM，
∵∠M'＝∠M'，
∴△M'AD∽△M'NM，
∴＝，
∴M′A?M′M＝M′D?M′N，
即M′A?2M′A＝4×10＝40．
则M′A2＝20，
又∵M′A2＝M′N2﹣AN2，
∴20＝100﹣AN2，
∴AN＝4．
故答案为：4．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD＝8，点E在BC的延长线上，若∠DCE＝60°，则⊙O的半径OB＝ ．
解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝8，
作OF⊥BD于F，
则BF＝DF＝4，
∵∠BOD＝120°，OB＝OD，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝BF＝，OB＝2OF＝，
故答案为：．
三．解答题
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
20．如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小．
答案：∵∠BAC=45°，
∴∠B0C=90°，
∵BC=2，
∴OB=OC=2．
即⊙O的半径为2．
21．如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长6cm，试求弦AB所对的圆周角的度数．
答案：如图，
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，
连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，
由垂径定理，得AC=AB=3，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根据圆周角定理，得∠P=∠AOB=60°，
又APBP′为圆内接四边形，
所以，∠P′=180°-∠P=120°，
故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°
22．如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
（1）求∠ADB与∠ADC的大小；
（2）求证：AD＝BD+CD．
（1）解：连接BC，由题意得△ABC为等边三角形，有∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADC＝60°；
（2）证明：在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，
∵∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△BDE、△CDF为正三角形，
∴∠DEB＝∠DFC＝60°，
∴∠AEB＝∠CFA＝120°，
又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，
∴∠EAB＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．
23．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM?MB＝CM?MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM?MB的值．
解：（1）连接AD、BC．
∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴
即AM?MB＝CM?MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2
∴CD＝CM＝
＝
＝
由（1）知AM?MB＝CM?MD．
∴AM?MB＝?
＝5．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD＝BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴＝，
即＝，
∴DF＝5﹣5，
故DF的长为5﹣5．
25．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD?AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．