1.4.2 角平分线（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

21世纪教育网
–全国领先的中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.4
角平分线
第2课时
角平分线2
【知识清单】
1、三角形中三条重要线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高.
2、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
三角形一个内角平分线与另两个内角的外角平分线交于一点，
并且这一点到三边所在的直线的距离相等.
【经典例题】
例题1、在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=62°时，∠BOC=______．
【考点】三角形的角平分线，三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】∵∠A=62°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-62°=118°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=59°，
在△OBC中，∠BOC=180°-
(∠OBC+∠OCB)=180°-59°=121°．
故答案为：121°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理；整体代入数学思想的运用是
解题的关键．
例题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，求DE的长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠DBA=∠DAB，
∵BC是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠DBA=∠DAB=∠CAD=30°，
∴DE=BD，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=BC，
∴DE=1．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【夯实基础】
1、
到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的(
)
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
2、已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB，下列确定点
P的方法正确的是(
)
?
A．P为∠A、∠B平分线的交点
B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
?C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边垂直平分线的交点
3、如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，交点为P，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，PD=5.则PE=
(
)
?A．2.5?
B．5
?C．7.5
?D．10
4、如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三
条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有
(
)处吗？
A．1
B．2
C．3
D．4
5、如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，则∠1____∠2(填“>”“<”“=”).
6、如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为32，OD⊥AC，OD=7，则△ABC
的面积=________
.
7、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为24、32、48．其三条角平分线交于点O，则
S△ABO:S△BCO:S△CAO=
．
8、已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
9、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点P．
求证：AE＋CD=AC．
【提优特训】
10、下列说法正确的有几个(
)
(1)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
(2)
三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；
(3)
三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；
(4)
点E、F分别在∠AOB的两边上，P点到E、F两点距离相等，所以P点在∠AOB的平分线上；
(5)
若OC是∠AOB的平分线，过OC上的点P作OC的垂线，交OB于D，交OA于E，则线段PD、PE的长分别是P点到角两边的距离(
)
A．5
B．4
C．3
D．2
11、在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，交BC于，MN是边AC的垂直平分线分别交AC，
AD，AB于点M，P，N，则图中等腰三角形的个数为(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
?
?
12、如图，BD平分∠ABC，点E、F分别在边AB和BC上，DE=DF，∠BFD=36°，则∠BED的度数为(
)
A．134°
B．136°
C．144°
D．154°
13、如图：在△ABC中，∠BAC=100°，∠ACB=20°，CE是∠ACB的角平分线，D是BC上一点，且点D是线段AC垂直平分线上一点，，则∠CED的度数(
)
?
A．10°?
B．15°
?C．20°?
D．25°
14、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，EP是AD的垂直平分线，交BC延长线于点P，连接AP，下列结论：①AP=DP；②∠B=∠CAP；③S△ABD:S△ACD=AB:AC；④BD=DC；⑤∠BAP=∠ACP，其中正确的是
(填正确的序号).
15、在△ABC中，AD、BD、CD分别是∠BAC、∠ABC、∠BCA的平分线相交于点D，
若∠ABC=2∠ACB，则边AC与边AB+BD的大小关系是AC
AB+BD.
16、已知如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACE的平分线的交点，若∠BDC=35°，
则∠CAD的度数为
.
17、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在线段CD上，∠DAE=∠BAE，∠ABE=∠CBE．
求证：点E是DC的中点；
18、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，BE⊥CE，垂足E在BD的延长线上，请你解决下列问题：
(1)延长BA和CE，交点为点F：
①在图上作图，并标出点F；
②证明△ACF≌△ABD；
(2)试探究线段CE和BD的关系，并证明你的结论．
【中考链接】
19、?(2020?湖北襄阳)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的
是(
)
A．DB=DE
B．AB=AE
C．∠EDC=∠BAC?
D．∠DAC=∠C
?
20、(2020?甘肃)
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
(2)连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
参考答案
1、D
2、B
3、B
4、D
5、=
6、112
7、3:4:6
10、D
11、C
12、C
13、A
14、①②③⑤
15、=
16、55°
19、D
8、已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FN、FM、FQ，点
N、M、Q为垂足，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴NP=FM．
同理：FM=FQ．
∴FQ=FN．
∴点F在∠DAE的平分线上．
9、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点P．
求证：AE＋CD=AC．
证明：在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°．
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠EAP=∠CAP=∠BAC，
∠ACP=∠DCP=∠ACB，
在△PAC中，∠APC=180°-
(∠PAC+∠PCA)
=180°-(∠BAC+∠ACB)=180°-×120°=120°．
∴∠APE=180°-∠APC=180°-120°=60°．
在AC上截取AF=AE，连接PF，如图，
在△APE和△APF中，
AE=AF，∠PAE=∠PAF，PA=PA，
∴△APE≌△APF(SAS)，
∴∠APE=∠APF=60°．
∴∠CPF=∠APC-∠APF=120°-60°=60°．
又∠CPD=∠APE
=60°，
∴∠CPD=∠CPF．
在△CPD和△CPF中，
∠CPD=∠CPF，PC=PC，∠PCD=∠PCF，
∴△CPD≌△CPF(ASA)，
∴CD=CF．
∴AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC．
17、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在线段CD上，∠DAE=∠BAE，∠ABE=∠CBE．
求证：点E是DC的中点；
证明：过点E作EF⊥AD于点F，EG⊥BC的延长线于点G，
EH⊥AB于点H，
∵AD∥BC，
∴F、E、G三点共线，
∵∠DAE=∠BAE，∠ABE=∠CBE．
∴EF=EH，EH=EG，
∴EF=EG，
在△EFD和△EGC中，
∵，
∴△EFD≌△EGC(ASA)；
∴DE=CE，
∴点E是DC的中点；
18、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，BE⊥CE，垂足E在BD的延长线上，请你解决下列问题：
(1)延长BA和CE，交点为点F：
①在图上作图，并标出点F；
②证明△ACF≌△ABD；
(2)试探究线段CE和BD的关系，并证明你的结论．
解：(1)①如图：
②证明：∵∠BAC=90°，BE⊥CE，
∴∠CDE=∠F，
∵∠BDA=∠CDE，
∴∠BDA=∠F，
在△ACF和△ABD，
∵，
∴△ACF≌△ABD(AAS)；???????
(2)2CE=BD?????????
证明：∵BD平分∠ABC，BE⊥CE，
∴∠A?BD=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°，
在△BFE和△BCE中，
∵，
∴△BFE≌△BCE(ASA)；
∴EF=CE，
∴2CE=CF，
∵△ACF≌△ABD；
∴CF=BD，
∴2CE=BD．
20、(2020?甘肃)
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
(2)连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
解：(1)如图①；
(2)
EF=AC.
第5题图
第14题图
第17题图
第18题图
第9题图
第20题图
第20题图①
第18题图
第18题图
第17题图
第17题图
第9题图
第9题图
第8题图
第8题图
第19题图
第15题图
第16题图
第13题图
第14题图
第11题图
第12题图
第6题图
第8题图
第6题图
第4题图
第3题图
例题2图
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)