1.2.1
直角三角形的性质与判定
1．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．下列说法中错误的是( )
A．任何一个命题都有逆命题
B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理
D．任何一个定理都没有逆定理
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB等于( )
A．50°
B．45°
C．40°
D．25°
4．【2020·绍兴】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数( )
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
5．【2020·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40
cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．25
cm2
B.
cm2
C．50
cm2
D．75
cm2
6．【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6
km到达l；从点P出发向北走6
km也到达l.下列说法错误的是( )
A．从点P向北偏西45°走3
km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3
km后，再向西走3
km到达l
7.【中考·黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )
A．2
B．3
C．4
D．2
8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )
A．
B．2
C．
D．3
9．【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
A．3 B．3 C. D．3
10.【2020·重庆A】如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A.
B.
C.
D.
11．【中考·包头】已知下列命题：
①若>1，则a>b；
②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．【中考·黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A．5
B.
C.
D．5或
二．填空题
13.命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是_________,它是一个_______(选填“真”或“假”)命题.?
14．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为__________．
15．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝_______．
16.(教材P18T5变式)如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_______．
17．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，CN的长=______
三．计算证明题
18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高．
(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE的度数；
(2)试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明．
19．【中考·内蒙古】如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)2CD2＝AD2＋DB2.
20．(中考·柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.求：
(1)DB的长；
(2)△ABC中BC边上的高．
图1
图2
21．【2019·枣庄】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)如图①，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝
90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
(2)如图②，点E，F分别在AB，AC上，
且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
(3)如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且
∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝AM.
22．【2020·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD中，
∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求证：AB＋CD＝BC.
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求的值．1.2.1
直角三角形的性质与判定
1．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．下列说法中错误的是( D )
A．任何一个命题都有逆命题
B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理
D．任何一个定理都没有逆定理
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB等于( A )
A．50°
B．45°
C．40°
D．25°
4．【2020·绍兴】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数( C )
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
【点拨】由旋转的性质可得BP＝BC，又BA＝BC，则BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC＋∠BPA＝135°＝∠CPA，由三角形的外角的性质可求∠PAH＝135°－90°＝45°，故选C.
【答案】C
5．【2020·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40
cm，则图中阴影部分的面积为( C )
A．25
cm2
B.
cm2
C．50
cm2
D．75
cm2
6．【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6
km到达l；从点P出发向北走6
km也到达l.下列说法错误的是( A )
A．从点P向北偏西45°走3
km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3
km后，再向西走3
km到达l
7.【中考·黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( C )
A．2
B．3
C．4
D．2
【点拨】延长CE至F，使EF＝CE，连接AF，可得△CEB≌△FEA，∴∠B＝∠FAE，BC＝AF.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠FAE＋∠BAC＝90°，即∠CAF＝90°.可得△ABC≌△CFA.∴AB＝CF.
∵AE＝AB，CE＝CF，∴AE＝CE＝5.∵AD＝2，
∴DE＝3.在Rt△CDE中，CD＝＝4.
【答案】C
8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( C )
A．
B．2
C．
D．3
【点拨】∵AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝CD＝4.
又∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAB＝30°，
∴BE＝AE＝2DE，∴AE＝AD＝.
【答案】C
9．【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到C处捕食，则它爬行的最短距离是( C )
A．3 B．3 C. D．3
10.【2020·重庆A】如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( B )
A.
B.
C.
D.
点拨】由题意知AD垂直平分BE，先求出△ABD的面积，再根据三角形的面积公式求出DF，然后根据勾股定理求出BD，设点F到BD的距离为h，根据BD·h＝BF·DF即可解决问题．
【答案】B
11．【中考·包头】已知下列命题：
①若>1，则a>b；
②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．【中考·黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )
A．5
B.
C.
D．5或
【点拨】因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为.故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．
二．填空题
13.命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是___“对应角相等的三角形是
全等三角形”,它是一个____假___(选填“真”或“假”)命题.?
14．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为___20°和70°_______．
15．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝_100_______．
16.(教材P18T5变式)如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___10_____．
17．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，CN的长=__4____
解析：设CN＝x，则B′N＝BN＝9－x.
在Rt△B′CN中，根据勾股定理，得
B′N2＝CN2＋B′C2，即(9－x)2＝x2＋32，
解得x＝4.故CN的长为4.
三．计算证明题
18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高．
(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE的度数；
(2)试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明．
解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝68°.
∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝34°.
又∵CE⊥AB，∠B＝72°，∴∠BCE＝18°.
∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝16°.
（2）：∠DCE＝(∠B－∠A)．
(2)证明：∠DCE＝90°－∠CDE＝90°－(∠A＋∠ACD)
＝90°－
＝90°－[∠A＋×(180°－∠A－∠B)]
＝90°－(∠A＋90°－∠A－∠B)＝(∠B－∠A)
19．【中考·内蒙古】如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)2CD2＝AD2＋DB2.
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD.∴∠ACE＝∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
（2）解：∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠BAC＝45°.
∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠CAE＝∠B＝45°.
∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.
∴AD2＋AE2＝DE2.
又∵AE＝DB，DE2＝CD2＋CE2＝2CD2，
∴2CD2＝AD2＋DB2.
20．(中考·柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.求：
(1)DB的长；
(2)△ABC中BC边上的高．
图1
图2
解：（1）∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，
∴DB＝＝3.
（2）：如图2，延长BD至点E，使DE＝BD，
连接AE，∴BE＝2BD＝6.
∵D是AC的中点，∴AD＝DC.
在△BDC和△EDA中，
∴△BDC≌△EDA(SAS)．
∴∠CAE＝∠BCD.∴AE∥BC.
∵DB⊥BC，∴BE⊥AE.
∴BE的长度等于△ABC中BC边上的高．
∴△ABC中BC边上的高为6.
21．【2019·枣庄】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)如图①，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝
90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
(2)如图②，点E，F分别在AB，AC上，
且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
(3)如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且
∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝AM.
【点拨】通过构造全等三角形更容易找出线段间的数量关系．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°.
∴AD＝BD＝CD.∵AB＝2，∴AD＝BD＝CD＝.
∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°－90°－30°＝60°.∴∠MBD＝30°.∴BM＝2DM.
由勾股定理得BM2－DM2＝BD2，即(2DM)2－DM2＝()2，
解得DM＝.∴AM＝AD－DM＝－.
证明：（2）∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＋∠ADE＝90°，∠ADF＋∠ADE＝90°.
∴∠BDE＝∠ADF.
由(1)知∠B＝∠DAF，BD＝AD.
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF(ASA)．∴BE＝AF.
证明：如上图，过点M作ME∥BC，
交AB的延长线于点E，∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°.
∵ME∥BC，∴∠AME＝∠ADB＝90°.
由(1)知∠EAM＝∠NAM＝45°，∴∠E＝∠EAM＝
∠NAM＝45°.∴ME＝MA.∴AE＝AM.
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＋∠AMB＝90°，∠NMA＋∠AMB＝90°.∴∠BME＝∠NMA.
在△BME和△NMA中，
∴△BME≌△NMA(ASA)．∴BE＝AN.
∴AB＋AN＝AB＋BE＝AE＝AM.
22．【2020·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD中，
∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求证：AB＋CD＝BC.
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求的值．
【思路点拨】易证△BAP≌△CPD，
可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论；
证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC.
又∵PA＝PD，∠B＝∠C，∴△BAP≌△CPD，
∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP＋PC＝AB＋CD.
【思路点拨】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由(1)知EF＝AE＋DF，由等腰直角三角形性质可求解．
（2）解：如上图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F.由(1)可知，EF＝AE＋DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，
∴BC＝BE＋EF＋CF＝2(AE＋DF)，
∴＝＝.
