1.2.2
直角三角形全等的判定
1.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,则这两个直角三角形全等的依是( )
A.SSS B.AAS C.SAS D.HL
2．如图，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要添加的条件是( )
A．∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD
D．以上都不正确
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和一条直角边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D，BD＝BC，连接BE，若AC＝6
cm，则AE＋DE等于( )
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
.
5.如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF的度数为( A )
A．44°
B．36°
C．46°
D．34°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E.若∠B＝28°，则∠AEC＝( )
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
8．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：
①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD.
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．(中考·凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.下列结论：
①EM＝FN；②CD＝DN；
③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10.(中考·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c
B．b＋c
C．a－b＋c
D．a＋b－c
二．填空题
11.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件__AB=AC __
,若加条件∠B=∠C,则可用_________________判定.?
第11题图
第12题图
第13题图
12.如图所示,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD=OP,则△AOD与△AOP全等的理由是________
13.如图所示,已知AB⊥CD,垂足为点B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是______
14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝________．
三．计算证明题
如图，在△ABC中，AB＝4，D为BC上一点，AD＝BD＝4，在AD上找一点E，使BE＝AC.
(1)判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)求证：△BDE≌△ADC.
16．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F.求证：CE＝DF.
17．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
【中考·哈尔滨】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
如图①，求证：AE＝BD；
如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
19．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.
求证：BC＝BD.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,求证PD=QD.
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当P,Q在移动过程中,线段BE,ED,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.1.2.2
直角三角形全等的判定
1.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,则这两个直角三角形全等的依是( C )
A.SSS B.AAS C.SAS D.HL
2．如图，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要添加的条件是( B )
A．∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD
D．以上都不正确
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( B )
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和一条直角边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D，BD＝BC，连接BE，若AC＝6
cm，则AE＋DE等于( C )
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
【点拨】由已知可证Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴DE＝CE.
∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝6
cm.
5.如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF的度数为( A )
A．44°
B．36°
C．46°
D．34°
【点拨】∵BD＝CF，BE＝CD，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)．
∴∠BDE＝∠CFD.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD＝46°，∠EDF＋∠EDB＝90°，
∴∠EDF＝90°－46°＝44°.
【答案】A
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E.若∠B＝28°，则∠AEC＝( B )
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( D )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
8．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：
①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD.
其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．(中考·凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.下列结论：
①EM＝FN；②CD＝DN；
③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.
其中正确的有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10.(中考·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( D )
A．a＋c
B．b＋c
C．a－b＋c
D．a＋b－c
【点拨】∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°.
∴∠A＝∠C.
又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE(AAS)．
∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b.
∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋(b－c)＝a＋b－c.
【答案】D
二．填空题
11.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件__AB=AC __
,若加条件∠B=∠C,则可用_______AAS__________判定.?
第11题图
第12题图
第13题图
12.如图所示,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD=OP,则△AOD与△AOP全等的理由是____HL或斜边直角边定理_____
13.如图所示,已知AB⊥CD,垂足为点B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是__AC=DE____
14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___7_____．
【点拨】∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°.
∵AD＝BE，DE＝EC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC.∴AE＝BC.
∵AD＋BC＝7，∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
三．计算证明题
如图，在△ABC中，AB＝4，D为BC上一点，AD＝BD＝4，在AD上找一点E，使BE＝AC.
(1)判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)求证：△BDE≌△ADC.
解：(1)△ABD是等腰直角三角形．理由：
在△ABD中，∵AD＝BD＝4，∴AD2＋BD2＝32.
又∵AB＝4，∴AB2＝32，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD为等腰直角三角形．
(2)证明：∵∠ADB＝90°且∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△ADC和△BDE为直角三角形．
在Rt△ADC和Rt△BDE中，
∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL)．
16．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F.求证：CE＝DF.
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠AEC＝∠BFD＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴AC＝BD，∠CAE＝∠DBF.
∵在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF(AAS)，∴CE＝DF.
17．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
(2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
【中考·哈尔滨】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
如图①，求证：AE＝BD；
如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC，
∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD.
（2）解：△ACB≌△DCE，
△EMC≌△BNC，
△AON≌△DOM，
△AOB≌△DOE.
19．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.
求证：BC＝BD.
【思路点拨】当图中的一对三角形根据已知条件无法证明全等时，可通过作辅助线将图形进行分割或添补，构造全等三角形．本题可过点A分别作BC，BD的垂线，构造出几组全等的直角三角形．
证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N，∴∠M＝∠N＝90°.
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.
在△ACM和△ADN中，
∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.
在Rt△ABM和Rt△ABN中，
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．∴BM＝BN.
∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,求证PD=QD.
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当P,Q在移动过程中,线段BE,ED,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.
图3
图4
(1)证明:如图3,过点P作PF//AC交BC于点F.
∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∴PF//AQ,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠PFB.
∴BP=FP.∴FP=CQ.在△PFD和△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ,
∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.
(2)解:ED的长度保持不变.理由如下:
如图4,过点P作PF//AC交BC于点F.由(1)知PB=PF.
∵PE⊥BF,∴BE=EF.
由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=CD.
∴ED=EF+FD=BE+CD=BC.
∴ED的长度为定值.
