1.3.1
线段垂直平分线的性质与判定
1．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E.下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD
B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
2．(2020·枣庄)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( B )
A．8
B．11
C．16
D．17
3．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE的关系是( C )
A．AB＋DB>DE
B．AB＋DBC．AB＋DB＝DE
D．不能确定
4．【2020·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( D )
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6
cm，则△ADE的周长是( D )
A．3
cm
B．12
cm
C．9
cm
D．6
cm
【点拨】∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，∴BD＝AD，AE＝EC，∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6
cm.
6．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( B )的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
7．【2020·河南】如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( D )
A．6
B．9
C．6
D．3
【点拨】如图，连接BD交AC于点O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，进而得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，易得△ABD，△BCD均为含30°角的直角三角形，可求得AD＝CD＝AB＝3，
于是S四边形ABCD＝AB·AD＋BC·CD＝3.
【答案】D
8．【2020·鄂尔多斯】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为( A )
A．4
B．2
C．6
D．8
【点拨】连接FC，易知OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC.再根据ASA证得△FOA≌△BOC，则AF＝BC＝6，等量代换得到FC＝AF＝6，利用线段的和差关系求出FD＝AD－AF＝2.然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【答案】A
9．【中考·河北】已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( B )
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
C．取AB的中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.选项A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正确；对于“过点P作PC⊥AB于点C”①或取AB的中点C(即AC＝BC)②，要先让所作辅助线满足①或②，再证明所作辅助线满足②或①，从而得到PC是线段AB的垂直平分线，故选项B不正确，选项C，D作法正确．【答案】B
10.如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE.给出下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；
③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.
其中正确的结论有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
又∵AB＝CE，BD＝CD，∴AB＋BD＝DC＋CE＝DE.
∴①④正确．由已知条件无法得到CF⊥AE和∠1＝∠2，
∴②③错误．
【答案】B
二．填空题
11.如图,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,AB=10
cm,PA=10
cm,则BD=__5___cm,PB=__10___cm,PD=_5_cm.?
图11题
图12题
图13题
12.(教材P23习题1.7第1题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数为___60°
_____.
13.如右图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,MD是AB的垂直平分线,BD=30
cm,则CD=__15
cm
.?
14.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝__24°____.
图14题
图15题
【点拨】∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC＋∠FAE＝∠EAC＋19°＝∠C＋19°.∵AF平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠FAC＝2(∠C＋19°)．∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，∴∠C＝24°.
15.(新题速递)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边沿AD折叠,发现点B的对应点E正好在AC的垂直平分线上,则∠C=__30°___.?
三．计算证明题
16．(2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP(如图①)，求证：∠APC＝2∠B.
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ(如图②)．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
(1)证明：∵线段AB的垂直
平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB.∴∠B＝∠BAP.
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APC＝2∠B.
(2)解：根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA.
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，∴∠BAQ＝2∠B.
∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，解得∠B＝36°.
17.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F，AM交BE于点G.
求证：∠BAM＝∠C；
(2)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
(1)证明：∵AM⊥BC，
∴∠ABC＋∠BAM＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，∴∠BAM＝∠C.
解：BE垂直平分AD.理由：
如上图，∵AD平分∠MAC，∴∠3＝∠4.
∵∠BAD＝∠BAM＋∠3，∠ADB＝∠C＋∠4，∠BAM＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∴△BAD是等腰三角形．
又∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，∴BE垂直平分AD.
18
.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF.
∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的高，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
∵在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，∴AE＝AF，DE＝DF.
∴点A，D均在线段EF的垂直分线上．
∴AD垂直平分EF.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.
求证：(1)AD＝FC；
(2)AB＝BC＋AD.
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ECF＝∠ADE.
∵E为CD的中点，∴CE＝DE.
在△FEC与△AED中，
∴△FEC≌△AED(ASA)．∴CF＝AD.
(2)证明：由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE＝FE.
又∵BE⊥AF，∴AB＝FB.
∵CF＝AD，∴AB＝FB＝BC＋CF＝BC＋AD.
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
（1）若∠A＝40°，求∠NMB的度数．
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数．
(3)
由(1)(2)你发现了什么规律？并说明理由．
(4)若∠A为钝角,如图③,你发现的规律是否需要修改?(不需说明理由)
(1)解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝＝70°.
又∵MN⊥AB，
∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
(2)：过程同(1)可求得∠NMB＝35°.
(3)规律：∠NMB＝∠A.
理由：连接AM.在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，
∴BM＝AM.∴∠ABC＝∠BAM.∴∠BAM＝∠ACB.
又∵∠BAM＝∠BAC＋∠CAM，∠ACB＝∠CMA＋∠CAM，
∴∠BAC＝∠BMA.
易知∠BMN＝∠AMN.∴∠NMB＝∠BMA＝∠BAC.
(4)这个规律性的认识也无需修改,仅有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所形成的锐角等于顶角的一半.1.3.1
线段垂直平分线的性质与判定
1．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E.下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD
B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
2．(2020·枣庄)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( )
A．8
B．11
C．16
D．17
3．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE的关系是( )
A．AB＋DB>DE
B．AB＋DBC．AB＋DB＝DE
D．不能确定
4．【2020·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( )
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6
cm，则△ADE的周长是( )
A．3
cm
B．12
cm
C．9
cm
D．6
cm
6．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( )的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
7．【2020·河南】如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．9
C．6
D．3
8．【2020·鄂尔多斯】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为( )
A．4
B．2
C．6
D．8
9．【中考·河北】已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
C．取AB的中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
10.如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE.给出下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；
③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.
其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
11.如图,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,AB=10
cm,PA=10
cm,则BD=_____cm,PB=_____cm,PD=__cm.?
图11题
图12题
图13题
12.(教材P23习题1.7第1题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数为___
_____.
13.如右图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,MD是AB的垂直平分线,BD=30
cm,则CD=__15
cm
.?
14.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝______.
图14题
图15题
15.(新题速递)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边沿AD折叠,发现点B的对应点E正好在AC的垂直平分线上,则∠C=_____.?
三．计算证明题
16．(2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP(如图①)，求证：∠APC＝2∠B.
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ(如图②)．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
17.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F，AM交BE于点G.
求证：∠BAM＝∠C；
(2)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
18
.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
求证：AD垂直平分EF.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.
求证：(1)AD＝FC；
(2)AB＝BC＋AD.
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
（1）若∠A＝40°，求∠NMB的度数．
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数．
(3)
由(1)(2)你发现了什么规律？并说明理由．
(4)若∠A为钝角,如图③,你发现的规律是否需要修改?(不需说明理由)
