高中数学必修1第三章《函数的应用》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如果，，，那么（
）
A．
B．
C．
D．
3．在直角坐标系中，函数的图像可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，（
）
A．3
B．4
C．
D．
5．已知函数在区间上单调递减，则取值的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
6．抛物线在点处切线的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若函数，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
8．函数的极大值点为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，则（
）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
10．已知奇函数满足，则（
）
A．函数是以2为周期的周期函数
B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数是奇函数
D．函数是偶函数
11．已知函数满足，且在上单调递增，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知函数，则不等式的解集是______．
14．__________．
15．若函数为偶函数，则__________．
16．若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，
（1）求集合，；
（2）若，，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数，，
（1）求函数的最小值；
（2）若，求的值．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数的定义域．
（2）若为偶函数，求实数的值．
20．（12分）已知函数．
（1）画出函数图象；
（2）写出函数的单调区间和值域；
（3）当取何值时，方程有两不等实根？只有一个实根？无实根？
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求函数在区间上的最大值．
22．（12分）已知函数．
（1）若是函数的极值点，求的值及函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
高中数学必修1第三章《函数的应用》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解析】由函数，可得函数满足，解得，
即函数的定义域为，故选A．
2．【答案】D
【解析】由指数函数的性质可得，，
由对数函数的性质可得，，故选D．
3．【答案】D
【解析】由题意，，
∴函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除C．当时，，
故排除A，B．故答案为D．
4．【答案】C
【解析】由函数，
则，故选C．
5．【答案】C
【解析】函数的对称轴是，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是，若函数在区间上单调递减，所以，即，解得，故选C．
6．【答案】A
【解析】由题可得，，故切线的斜率为倾斜角是，故选A．
7．【答案】C
【解析】由函数，因为是在定义域内单调递增，在也为增函数，故函数在为增函数，所以只需：得，故选C．
8．【答案】D
【解析】
，解得，．
并且可以判断得出，当时，；当或时，，
所以函数在上单调减，在上单调增，在上单调减，
所以函数的极大值点为，故选D．
9．【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又，，由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
10．【答案】B
【解析】根据题意，定义在上的函数是奇函数，
则满足，即，
又由，
则，即，
，故函数的周期为4，故选B．
11．【答案】B
【解析】∵，∴的图象关于直线对称，
∴，又在上单调递增，∴．故选B．
12．【答案】D
【解析】当时，，，
在同一坐标系内画出，的图像，
动直线过定点，当再过时，斜率，
由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，从而有两个
不同的零点，故选D．
二、填空题
13．【答案】
【解析】由题意，当，令，解得，
当，令，即，解得，
所以不等式的解集为．
14．【答案】6
【解析】原式等于，故填6．
15．【答案】1
【解析】为偶函数，为奇函数，，即，，当时，，，符合题意，故答案
为1．
16．【答案】
【解析】欲使函数的值域为，只需能取遍所有正数，即最小值小于等于0．令，，，所以在递增；在递减，故，故答案为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），，
（2），①若，则，
②若，则，，综上：
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，函数的对称轴是，
①即时，函数在递增，
时，函数值最小值，函数的最小值是，
②时，函数在递减，在递增，
时，函数值最小，最小值是，
③
时，函数在递减，
时，函数值最小，函数的最小值是，
综上：．
（2），由（1）得：若，解得：，符合题意；
若，无解；若，无解；故．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为，即，
当时，不等式的解为或，
所以函数的定义域为或．
当时，不等式的解为，
所以函数的定义域为．
当时，不等式的解为或，
所以函数的定义域为或．
（2）如果是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，，
检验：当时，定义域为或关于原点对称，
，
，
因此当时，是偶函数．
20．【答案】（1）见解析；（2）单调增区间：，单调减区间：，值域：；（3）见解析．
【解析】（1）如图所示；
（2）由图像可得函数的单调增区间：；
单调减区间：，值域：．
（3）方程有两个不相等实数根：；
方程有一个实数根：或；
方程无实数根：．
21．【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）见解析．
【解析】（1），由，解得；由，解得．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）可知：
①当时，即，在上是增函数，所以此时；
②当，时，即，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时；
③当时，在上是减函数，所以此时．
综上，函数在区间上的最大值；
当时，为；当时，为；当时，为．
22．【答案】（1），极大值，极小值；（2）见解析．
【解析】（1）∵，
∴，
由已知，解得，
此时，，
当和时，，是增函数，
当时，，是减函数，
所以函数在和处分别取得极大值和极小值，
的极大值为，极小值为．
（2）由题意得
，
①当，即时，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
②当，即时，则当和时，，单调递增；当时，，单调递减．
③当，即时，则当和时，，单调递增；当时，，单调递减．
④当，即时，，在定义域上单调递增．
综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
②当时，在定义域上单调递增；
③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
④当时在区间上单调递减，在区间上单调递增．高中数学必修1第三章《函数的应用》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数的零点所在的一个区间是（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是(
)．
A．
B．
C．
D．
3．若函数仅有一个零点，则（
）
A．
B．0
C．或0
D．
4．设函数，若，，关于的方程的解的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小顺序为(
)
A．
B．
C．
D．
6．已知函数，若，是方程的两个根，则实数，，，之间的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是(
)
A．
B．
C．
D．
8．函数的图象大致为(
)．
9．对于函数，的零点叙述正确的是(
)
A．当时，函数有两个零点
B．当时，函数有一个零点
C．当时，函数有两个零点
D．无论实数取何值，函数必有一个零点是正数
10．已知，，定义，则关于函数说法正确的是(
)．
A．有最小值和最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，无最大值
D．有最大值，无最小值
11．设方程的两个零点为，，则(
)
A．
B．
C．
D．
12．偶函数满足，且在时，，则关于
的方程在上根的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．函数的两个零点为，，且，，则实数的取值范围是
．
14．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是
．
15．将甲桶中的升乙醇缓缓注入空桶乙中，分钟后甲桶中剩余的乙醇量符合函数．经过分钟后甲桶和乙桶中的乙醇量相等，设再经过分钟甲桶中的乙醇含量只有，则
．
16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，
的导函数的图像如图所示，
若函数有4个零点，则的取值范围为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分）已知函数，
（1）试比较与的大小；
（2）画出函数的图象；
（3）若，求的值．
18．（12分）已知关于的方程．
（1）若方程有两根，一根在内，另一根在内，求的范围；
（2）若两根均在内，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数，，．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）设，，为函数的三个零点，且，，，求证．
20．（12分）已知函数，是否存在实数，使函数有三个不同的零点，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
21．（12分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产霸占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润(元)与年产量(吨)满足函数关系式．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方(元)(以下简称为赔付价格)．
(1)将乙方的实际年利润(元)表示为年产量(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
22．（12分）已知，．
（1）证明：，；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
高中数学必修1第三章《函数的应用》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】∵，，
，，，∴函数的零点在上，故选C．
2．【答案】C
【解析】由于在区间内单调递增，由条件可知，即，即，解得．故选C．
3．【答案】C
【解析】当时，仅有一个零点；当时，函数为二次函数，若仅有一个零点，则满足，∴，
故选C．
4．【答案】C
【解析】由，，得，．
∴，由图象可知，
的解的个数为3个，故选C．
5．【答案】A
【解析】在同一坐标系中，画出，，和的图象，易知，，，故选A．
6．【答案】B
【解析】令，则，为函数的两个零点，由题设知，函数的两个零点为，，∵，∴将函数的图象向上平移2个单位即得到函数的图象，又函数的图象是开口向上的抛物线，∴结合两个函数的图象可知，，故选B．
7．【答案】D
【解析】∵在上是递增函数，又，，∴只有一个零点，且，的零点为，∴，故选D．
8．【答案】C
【解析】函数为奇函数，排除A，在同一坐标系中画出和的图象，
二者有三个交点，排除D，当时，，排除B，故选C．
9．【答案】D
【解析】∵函数的零点就是方程的解，在同一坐标系中结合函数与的图象可知无论实数取何值，函数必有一个零点是正数．
故选D．
10．【答案】C
【解析】作出函数的图象如图所示，
易知函数的最小为，无最大值，故选C．
11．【答案】C
【解析】在同一坐标系中作出函数与的图象如图所示，
不妨设，由图示可知，，则，且，可得，∴，故选C．
12．【答案】C
【解析】知函数的周期为2，且为偶函数，图像如图：
所以3个交点，故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由题意，满足，解得．
14．【答案】
【解析】画出函数和的图象，
观察图象可知时，方程有两个不同的交点．
15．【答案】
【解析】依题意，，令，即，∴，∴，
∴．
16．【答案】
【解析】由导数图象可知，当或时，，
函数递增，当或时，，函数递减，
所以在处，函数取得极小值，由得，
由图象可知，
要使函数有个零点，由图象可知，所以的取值范围为，即．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）见解析；（3）0或．
【解析】（1）∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴．
（2）函数图象如图所示：
（3）由的函数图象综合判断可知，当时，得，解得；
当时，得，解得或(舍去)．
综上可知的值为0或．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方程的根分别在和内，则满足不等式组，解得．
（2）若方程的两根均在，则满足不等式组，(其中是因为对称轴
应在内)，解得．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意，，∵在上是递增函数，
∴，，∴，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）证明：因为函数最多只有个零点，
由题意，在区间内有且仅有一个零点，所以．①
同理，．②
所以，当时，由①得；由②得；
因为，，所以．
当时，由①得；由②得；
因为，，所以．
综上所述，．
20．【答案】存在，．
【解析】∵，
∴，．
令，则或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴，，
当充分接近0时，，当充分大时，，要使函数有三个不同的零点，即使函数的图象与轴的正半轴有三个不同的交点；
故应有，解得，
∴存在实数，使函数有三个不同的零点，所以的取值范围是．
21．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为赔付价格为元/吨，所以乙方的实际年利润，
∴，令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取到最大值．
所以乙方获得最大利润的年产量是吨．
（2）设甲方净收入为元，则，
将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式．
∴，，
令，解得，当时，；当时，，
所以当时，取到最大值．因此甲方应向乙方要求的赔付价格是(元/吨)时，获得净收入最大．
22．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设，则，
故在上单调递减，在上单调递增．
从而，
而当时，．
（2）设，则，
．
要求在上恒成立必须有．即．
以下证明：当时．
只要证，
只要证在上恒成立．
令，则对恒成立，
又，所以．从而不等式得证．
