高中数学必修2第二章《点、直线、平面的位置关系》
单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．如图，在正方体中，，分别是，中点，则异面直线与所成的角是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，是异面直线，，，，则．
其中真命题是（
）
A．①和④
B．①和③
C．③和④
D．①和②
5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知直线、，平面，，，那么与平面的关系是（
）
A．
B．
C．或
D．与相交
7．如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，其中恒成立的为（
）
A．①③
B．③④
C．①②
D．②③④
8．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
9．如图，正方体的棱长为1，，是线段上的两个动点，且，则下列结论错误的是
（
）
A．
B．直线、所成的角为定值
C．平面
D．三棱锥的体积为定值
10．如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，，，，，则直线与所成的角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知正方体的棱长为1，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知四边形是正方形，，，，都是等边三角形，、、、分别是线段、、、的中点，分别以、、、为折痕将四个等边三角形折起，使得、、、四点重合于一点，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：
①与为异面直线；
②直线与直线所成的角为
③平面；
④平面平面；
其中正确结论的个数有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知，，是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，，则．
其中所有正确命题的序号是_____．
14．如图所示，平面，，图中互相垂直的平面共有______对．
15．正四面体中，
，分别为边，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为__________．
16．如图所示，在四棱锥，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，请你补充一个条件__________，使平面平面．①
②③④(填写你认为是正确的条件对应的序号)．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，四边形为矩形，，
，分别为，的中点．求证：
（1）直线平面；
（2）直线平面．
18．（12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，平面，，，点为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
19．（12分）如图，在直四棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）比较四棱锥与四棱锥的体积的大小．
20．（12分）如图所示的多面体中，底面为正方形，为等边三角形，平面，，点是线段上除两端点外的一点，若点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
21．（12分）如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，，分别是棱，，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若四面体的体积为，且在平面内的正投影为，求线段的长．
22．（12分）在如图如示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，，且．
（1）若，分别是，中点，求证：平面
（2）求此多面体的体积
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单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解析】对于B，易知，则直线平面；对于C，易知，
则直线平面；对于D，易知，则直线平面．
故排除B，C，D，选A．
2．【答案】B
【解析】A中与位置不确定，D中与可能相交，C中与的位置不确定，B正确，故选B．
3．【答案】D
【解析】
如图，平移直线到，则直线与直线所成角，由于点，都是中点，
所以，则，而，
所以，即，应选答案D．
4．【答案】A
【解析】由线面角的定义可知答案①中的直线，，则平面是正确的；
因为答案②中的两个平面，也可能相交，故不正确；
答案③中的两个平面，可以推出两个平面，相交，故也不正确；
对于答案④，可将直线平移到到平面内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知，是正确命题，所以应选答案A．
5．【答案】D
【解析】与为正方体两相对平面的对角线，且不平行，所以与所成角的大小为，故选D．
6．【答案】C
【解析】在正方体中，
取，，当取面为平面时，
∴满足，，此时；当取面为平面时，
∴满足，，此时，∴当直线、，平面，，时，
与平面的关系是或，故选C．
7．【答案】A
【解析】
连接，相交于点，连接，．
在①中，由正四棱锥，
可得底面，∴．∵，∴面．
∵，，分别是，，的中点，∴，，，
∴平面平面，∴平面，∴，故①正确;
在②中，由异面直线的定义可知，和是异面直线，不可能，因此不正确；
在③中，由①可知，平面平面，∴平面，因此正确；
在④中，由①同理可得，平面，若平面，则，
与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直，即不正确．
故选A．
8．【答案】A
【解析】逐一考查所给的线面关系：
A．若，，由线面垂直的定义，则，
B．若，，不一定有，如图所示的正方体中，
若取，为，，平面为上底面即为反例；
C．若，，不一定有，如图所示的正方体中，若取，为，，平面为上底面即为反例；
D．若，，不一定有如图所示的正方体中，若取，为，，平面为上底面即为反例；故选A．
9．【答案】B
【解析】在A中，∵正方体的棱长为1，，是线段上的两个动点，
且，∴，，
∵，∴平面，
∵平面，∴，故A正确；
在B中，异面直线、所成的角不为定值，
由图知，当与重合时，令上底面顶点为，
则此时两异面直线所成的角是，当与重合时，此时点与重合，
则两异面直线所成的角是，此二角不相等，
故异面直线、所成的角不为定值．故B错误；
在C中，∵，平面，平面，∴平面，故C正确；
在D中，∵平面，∴到平面的距离不变，
∵，到的距离为1，∴的面积不变，
∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
10．【答案】A
【解析】
如图所示，过点作，连接，则就是直线与所成的角或其补角，
由题得，，由余弦定理得，故选A．
11．【答案】B
【解析】由可知平面，则点到平面的距离即点到平面的距离，
直线平面，则平面平面，
结合平面平面可知原问题可转换为点到直线的距离，
利用面积相等可得点到平面的距离为：．本题选择B选项．
12．【答案】D
【解析】①错误．所得四棱锥中，设中点为，则、两点重合，
∵，即，即与不是异面直线；
②正确．∵，与重合，且与所成角为，
说明与所成角为；
③正确．∵，平面，平面，
∴平面，∴平面；
④正确．∵平面，
平面，点，
∴平面平面，即平面平面，故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】②③
【解析】若，，则，；
若，，则；
若，，则；
若，，，，则或相交，
所以正确命题的序号是②③
14．【答案】3
【解析】由平面，又平面、平面，
所以平面平面，平面平面；
由平面可得，又，所以平面，
又平面，故平面平面．故答案为3．
15．【答案】
【解析】取中点，连，，不妨设正四面体的棱长为2，
易求，，，
由余弦定理得：，
异面直线，所成角的余弦值为．
16．【答案】①③
【解析】由定理可知，，∴当（或）时，即有平面，
而平面，∴平面平面，则或正确，
故答案为①③．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】证明：（1）
取中点，连结，，
又是的中点，所以，且，
因为是矩形的边的中点，所以，且．
所以且，
所以四边形是平行四边形．所以．
又平面，平面，所以直线平面．
（2）在矩形中，．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
又，，，平面，
所以直线平面．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，与交于点，连接，
因为平面，平面，所以，
因为点为的中点，所以．
因为，因为是菱形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知平面，，
所以，
所以，
所以．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵，∴，
又平面，∴，
∵，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）解：∵且，∴，
又，∴，∴
∴四边形的面积为，
∴
又，
∵∴．
20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：因为是等边三角形，点为线段的中点，故．
因为，，且，，平面，故平面，
又平面，故，
又，，平面，故平面．
（2）证明：∵平面，∴，
∵，，，平面，∴平面，
由（1）知平面，∴平面平面．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为，是棱的中点，所以，
又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，
所以平面，则，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，因为平面，
所以，
又为的中点，所以为的中点，
因为，，
所以四面体体的体积为，则．
在中，，，
在中，，．
22．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在平面中，作交于，连接．
∵，是，中点，且是正方形，
∴，，
又，，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）解：如图，连，，过作，交于点．
∵四边形是等腰梯形，∴，．
∵平面平面，平面平面，，，
∴平面，
平面．
∴，
，
故多面体的体积．高中数学必修2第二章《点、直线、平面的位置关系》
单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在四面体中，，，两两垂直，是面内一点，到三个面，的距离分别是2，3，6，则到的距离是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
2．平面平面的一个充分条件是（
）
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
3．“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（
）条件
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要
4．下列命题中错误的是（
）
A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面平面，平面平面，，那么平面
D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
5．已知，，为互不重合的平面，命题：若，，则；命题：若上不共线的三点到平面的距离相等，则．则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论：
①；
②与是异面直线；
③与成角；
④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（
）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
8．如图所示，在正方形中，，分别是、的中点，沿、及把、和折起，使、、三点重合，设重合后的点为，则四面体中必有（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
9．设，为两个不重合的平面，，，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，，则
③若，，则
④若，，且，，则
其中真命题的序号是（
）
A．①③④
B．①②③
C．①③
D．②④
10．如图，正方体的棱长为1，，分别为线段，上的点，
则三棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，正方体的棱长为1，线段有两个动点，，且，
则下列结论中错误的是（
）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．异面直线，所成的角为定值
12．如图所示，在正方体的侧面内有一动点到直线、的距离相等，则动点所在曲线的形状为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知平面平面，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为________．
14．如图，在正四棱柱中，、、、、分别是棱、、、、的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件_____时，有平面．
15．如图是一体积为的正四面体，连结两个面的重心、，则线段的长为_____．
16．已知正三棱柱的棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是
．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，为中点．
（1）求证：直线平面，
（2）求证：平面平面；
18．（12分）如图，四边形为矩形，平面，为上的点，
且平面．
（1）求证：；
（2）设点为线段的中点，点为线段的中点，求证：平面．
19．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
20．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，为的中点；
（1）证明：平面；
（2）在棱上是否存在点，使三棱锥的体积为？并说明理由．
21．（12分）已知是边长为，的菱形，点为所在平面外一点，
为正三角形，其所在平面垂直于平面．
（1）若为边的中点，求证:平面；
（2）求证：；
（3）若为的中点，能否在上，找到一点使平面平面．
22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为．，分别是，的中点，是上的一动点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）当时，证明平面．
高中数学必修2第二章《点、直线、平面的位置关系》
单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解析】由题目的条件可知，到的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线，
∴到的距离是，故选A．
2．【答案】D
【解析】对于A，B，C选项均有可能出现平面与平面相交的情况，故选D．
3．【答案】C
【解析】“直线与平面内无数条直线都垂直”不能推出“直线与平面垂直”；
反之，能推出．故条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的必要非充分条件，选C．
4．【答案】D
【解析】平面与平面垂直时，平面内所有与交线不垂直的直线都与平面不垂直，
故D错误，答案为D．
5．【答案】D
【解析】易知、均为假命题，从而、均为真命题，所以为真命题，故选D．
6．【答案】C
【解析】对于A、B、D均可能出现，根据面面平行的性质可知选项C是正确的．
7．【答案】D
【解析】
展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D．
8．【答案】A
【解析】折叠前，，，，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，平面，故选A．
9．【答案】C
【解析】②是假命题，∵，不一定相交，∴，不一定平行；④是假命题，
∵，不一定相交，∴与不一定垂直，故选C．
10．【答案】C
【解析】，又，点到面的距离为1，
∴．故选C．
11．【答案】D
【解析】∵平面，平面，∴，A正确；
易知平面，B正确；
设点到平面的距离为，，，
∴．所以三棱锥的体积为定值．C正确；故结论中错误的是D．
12．【答案】C
【解析】如图，
在平面内过点作垂直于于，连接，∵垂直于侧面，∴，
由题意，故点在以的中点为顶点，以为焦点的抛物线上，
并且该抛物线过点，故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】4或20
【解析】若在平面，的同侧，由于平面平面，故，则，
可求得；若在平面，之间，同理可求得．
14．【答案】线段
【解析】∵，，∴平面平面，又平面平面，故线段上任意点与相连，有平面，故填线段．
15．【答案】
【解析】设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，
体积，∴，∴，∴．
16．【答案】
【解析】
取的中点，连结，则平面，∴．
∵正三棱柱的棱长都相等，∴是正方形．连结则易证，
∴平面，∴，异面直线和所成的角的大小是．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）连结交于，连结，
在中，为中点，为中点，
所以，又平面，∴直线平面．
（2）∵底面，∴．
又，∴平面
又平面，∴平面平面．
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴，
又平面，平面，∴．
又，∴平面，
又平面，∴．
（2）取的中点，连结，，∵点为线段的中点，∴，且，
又四边形是矩形，点为线段的中点，∴，且，
∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，而平面，平面，∴平面．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴．
又∵四边形为菱形，∴．∵，
∴平面，∵平面，∴平面平面．
（2）∵平面，∴，，
∵，∴，∴．
在中，，
又∵，
∴，∴，∴，
∴
，
由，解得．
∴，
∵，，
∴，
所以该三棱锥的侧面积为．
20．【答案】（1）见解析；（2）存在且是线段的靠近点的一个三等分点，见解析．
【解析】（1）连接交于点，连接，
在中，、分别为，的中点，∴；
∵平面，平面，∴平面；
（2）∵侧棱⊥底面，∴，
设为上一点，过作于，则，
∴平面．若，
则，∴在棱上存在点使三棱锥的体积为．
且是线段的靠近点的一个三等分点．
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．
【解析】（1）连结，则在正三角形中，，
又平面平面于，所以平面．
（2）连结，在正三角形中，，又，∴平面．
∵平面，∴．
（3）能在上，找到一点使平面平面，且为中点．
证明如下：连结，交于点，易知为的中点，
在平面内，作，交于点，则为中点，平面，
∴平面平面．
22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为．，分别是，的中点，是上的一动点．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱，
且底面是直角边为的等腰直角三角形，
∴侧面，是边长为的正方形．
连结，因为，，所以平面，
∴，又∵，∴平面，
∵平面，∴．
（2）∵平面，∴．
（3）连结交于，连结，
∵，分别是，的中点，∴，且，
∵是的中点，∴，且，
∴，∴是平行四边形，∴，
∵平面．平面，∴平面．
