高中数学必修2第一章《空间几何体》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（
）
A．一个圆台
B．两个圆锥
C．一个圆柱
D．一个圆锥
2．—个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是最某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知等腰直角三角形的直角边的长为4，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（
）
A．
B．
C．
D．
9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为（
）
A．
B．
C．
D．
11．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺．问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺．如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）（
）
A．24642
B．26011
C．52022
D．78033
12．正方体内切球和外接球半径的比为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知球的表面积为，则该球的体积为____________．
14．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．
15．一个底面积为1的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若这个正四棱柱的高为，则该球的表面积为__________．
16．已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为的球面上．如果该四棱柱的底面边长为1，则其侧楞长为____________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，中，，，，平面，且，
，，，求此几何体的体积．
18．（12分）一几何体按比例绘制的三视图如图所示：
（1）试画出它的直观图；
（2）求它的表面积和体积．
19．（12分）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求三棱柱的体积．
20．（12分）如图，长方体中，，，，过点的平面与棱和分别交于点，四边形为正方形．
（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求的长；
（2）问平面右侧部分是什么几何体，并求其体积．
21．（12分）在正方体中挖去一个圆锥，得到一个几何体，已知圆锥顶点为正方形的中心，底面圆是正方形的内切圆，若正方体的棱长为．
（1）求挖去的圆锥的侧面积；
（2）求几何体的体积．
22．（12分）已知三棱柱的直观图和三视图如图所示，是棱上一点，
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若是的中点，求到平面的距离．
高中数学必修2第一章《空间几何体》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】依题意可知，这是一个圆锥．故选D．
2．【答案】C
【解析】根据斜二侧的原理可得是直角三角形，两直角边，，故原的面积是，故选C．
3．【答案】D
【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，
因此表面积为，选D．
4．【答案】A
【解析】由三视图，可知该几何体是如图所示的四面体，
其中底面和侧面是底边为的等腰直角三角形，
侧面，均为以为底边的等腰三角形，取的中点，
连接，，则，
则该四面体的表面积为．故选A．
5．【答案】D
【解析】几何体为一个长方体截取一个三棱锥，
所以该几何体的体积是，故选D．
6．【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是由圆柱切掉四分之一所得，故体积为．
故选B．
7．【答案】D
【解析】
如图，为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
这是两个底面半径为，母线长4的圆锥，故．
故答案为D．
8．【答案】C
【解析】俯视图从图形的上边向下边看，看到一个正方形的底面，在度面上有一条对角线，
对角线是由左上角到右下角的线，故选C．
9．【答案】B
【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，
如图：
则其外接球的半径为，
球的表面积为；故选B．
10．【答案】C
【解析】设球的半径为，则，解得，
所以圆柱的底面半径，母线长为，
所以圆柱的侧面积为，故选C．
11．【答案】B
【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B．
12．【答案】B
【解析】作正方体与其内切球的截面如图甲，设正方体棱长为，则有(为内切球半径)．
作正方体与其外接球的截面如图乙，则有(为外接球半径)，得，故选B．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】因为，所以，，故填．
14．【答案】
【解析】该几何体由一个半球和一个圆锥组成，则该几何体的体积：．
15．【答案】
【解析】底面为正方形，对角线长为．故圆的半径为，故球的表面积
为．
16．【答案】
【解析】一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，
则此四棱柱的外接球的球心为体对角线的中点，因为球的表面积为，
所以球的半径为1，故体对角线长为2，
设侧棱长为，则，∴，故答案为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】96
【解析】
如图，取，连接，，，
用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以，
由题知三棱柱的体积为．
四棱锥的体积为，
则几何体的体积为．
18．【答案】（1）见解析；（2）表面积为，体积为．
【解析】（1）直观图如图所示．
（2）由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以，，为棱的长方体的体积的，在直角梯形中，作于，
则四边形是正方形，，
在中，，，所以，
所以几何体的表面积
．
几何体的体积．
所以该几何体的表面积为，体积为．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设底面圆的直径为，由题可知，
∴∴圆柱的侧面积．
（2）因为为正三角形，底面圆的半径为1，
∴可得边长∴三棱柱的体积．
20．【答案】（1）见解析，5；（2）几何体是以和为底面的直四棱柱，体积为2730．
【解析】（1）交线围成的正方形如图所示（不分实虚线的酌情给分），
∵,，在中，由勾股定理知．
（2）几何体是以和为底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分）
由棱柱体积公式得该直四棱柱的体积：．
（由体积之差法也不扣分）．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）圆锥的底面半径，高为，母线，
∴挖去的圆锥的侧面积为．
（2）∵的体积为正方体体积减去圆锥的体积，
∴的体积为．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由三视图得，该三棱柱是侧棱长为2的直三棱柱，
底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，
∴平面，
平面，
∵，
，∴，又，
∴．
（2）∵是的中点，∴，
∴，即为等腰三角形，
∵，∴的高为，
设到平面的距离为，
∵，∴，
解得．高中数学必修2第一章《空间几何体》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
2．一个椎体的主视图和左视图如图所示下面的选项中不可能是该锥体的俯视图的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（
）
A．9与13
B．7与10
C．10与16
D．10与15
4．将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如右图所示则该几何体的左视图为（
）
A．
B．
C．
D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的小球(小球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的小球(如图所示)，则小球的半径是（
）
A．10
B．15
C．20
D．25
7．平放置的的直观图(斜二侧画法)是边长为的正三角形，则原的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：)为（
）
A．
B．
C．
D．
9．某简单几何体的一条对角线长为，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中这条对角线的投影都是长为的线段，则这条对角线的长等于（
）
A．1
B．
C．
D．2
10．已知，是球的球面上两点，，为球面上的动点，若三棱锥的体积的最大值为36，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，三棱锥的底面为正三角形，侧面与底面垂直，且，已知其正视图的面积为，则其侧面积为（
）
A．
B．
C．
D．
12．某品牌香水瓶的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当时，该容器的容积为________．
14．有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为______．
15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______．
16．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为______．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知四棱锥的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．
（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥的侧面积．
18．（12分）一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切，求将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高(结果用表示)．
19．（12分）如图所示，正的边长为，是边上的高，，分别是，的中点，现将沿翻折，使翻折后平面平面．
（1）试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥的体积．
20．（12分）已知四面体的六条棱中，有五条棱长都等于．
（1）求该四面体体积的最大值；
（2）当四面体的体积最大时，求其表面积．
21．（12分）如图，四边形为正方形，平面，，
．
（1）证明：平面；
（2）求棱锥的体积与棱锥的体积的比值．
22．（12分）已知三棱柱的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图中，，，．
（1）在三棱柱中，求证：；
（2）在三棱柱中，若是底边的中点，
求证：平面；
（3）若三棱柱的高为5，求三视图中侧视图的面积．
高中数学必修2第一章《空间几何体》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，
故所求的比为，故选C．
2．【答案】C
【解析】由于C选项中的俯视图与左视图中的宽不等，故选C．
3．【答案】C
【解析】由于主视图中每列的层数就是俯视图中该列的最大数字，因此，用方块最多的情况是每列都用最大数字，即，最少的情况是每列只有一个用最大数字，
其余的各列为1个方块，即，故选C．
4．【答案】D
【解析】如图，在侧面上的射影与重合，在侧面上的射影与重合，在侧面上的射影与重合，故选D．
5．【答案】D
【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体半个圆柱体(沿中心轴线分开)，
圆柱的高为2，底面圆的半径为1，该几何体的表面积为：．
故选D．
6．【答案】B
【解析】设小球的半径为，根据放入小球的先后水的体积相同，得，解得．故选B．
7．【答案】D
【解析】由斜二侧画法中知：原图面积与直观图面积之比为．设原的面积为，
则易知，∴．故选D．
8．【答案】A
【解析】由三视图可知，原棱锥为三棱锥，底面是直角边长为6的等腰直角三角形，高为4，
把该三棱锥记为，易知顶点在底面的射影为底面等腰直角三角形斜边的中点，
且，．则全面积为：，
故选A．
9．【答案】C
【解析】可以把该几何体想象为一长方体，设，
则由题意知，设长方体的长、宽、高分别为、、，
则，，三式相加得．
∴．故选C．
10．【答案】C
【解析】设球的半径为，当动点与平面垂直时，三棱锥的体积达到最大值，且，∴，∴球的表面积为，故选C．
11．【答案】B
【解析】由题意知该三棱锥的正视图为，作于，连接，设底面边长为，高为，则的面积为，又三棱锥的正视图为的面积为，故选B．
12．【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体上下为长方体，中间为圆柱，
，故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】正四棱锥的高，()．
14．【答案】
【解析】由三视图可知，这是一个三棱锥，，，∴，∴．
15．【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体由一个正方体和一个四棱柱组成，
其表面积为．
16．【答案】
【解析】由三视图知该几何体为三棱锥记为，其中面，底面为直角三角形．，设，，，则．利用不等式得，∴．又体积．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图所示四棱锥的高为，底面积为，
∴四棱锥的体积，
∴，∴正视图的面积为．
（2）如图所示，过作交于，连接．根据三视图可知，是的中点，
且，，且，，
又平面，∴，，，∴面，∴，
又，∴面，∴，且平面．∴，
∴．∴．
∴四棱锥的侧面积为
．
18．【答案】
【解析】设球未取出时高为，球取出后水面高度，
如图所示，∵，，∴以为底面直径的圆锥容器的容积为，，
球取出水面下降到，水的体积为：，
而，即，
∴，即球取出后水面的高度为．
19．【答案】（1）平面，见解析；（2）．
【解析】（1）判断平面，证明如下：
因为中，，分别是，的中点，
所以有，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）过点作于点，平面平面，平面平面，
而平面，故平面，所以是三棱锥的高．
又的面积为：．
，
故三棱锥的体积为：
．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图，在四面体中，设，，
取的中点，的中点为，连接、、，得到平面，
∴
．
当且仅当时取到等号，所以该四面体体积的最大值为．
（2）由（1）知，和都是边长为的正三角形，
和是全等的等腰三角形，其腰长为，底边长为，
∴．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由条件知四边形为直角梯形，
因为平面，所以平面平面，交线为．
又因为四边形为正方形，，所以平面，可得．
在直角梯形中可得，则．又，
所以平面．
（2）设，由题意知为棱锥的高，
所以的体积．
由（1）知为棱锥的高，而，的面积为，
所以棱锥的体积为．
故棱锥的体积与棱锥的体积的比值为．
22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12．
【解析】（1）证明：因为主视图和左视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱，
在俯视图中，，，．
由余弦定理得：，
∴，∴．
又∵，，∴平面．
∵平面，∴．
（2）连结交于点，则为的中点，连结，
则在中，．
∵平面，平面，∴平面．
（3）左视图中的长等于底面中顶点到边的距离，
∵，∴侧视图的面积．
