高中数学必修4第二章《平面向量》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，点的坐标为，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知平面向量，的夹角为，且，，则（
）
A．1
B．
C．2
D．
4．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．或
5．若，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，
则角的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的图象如图，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．将函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍
（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
9．关于函数，下列叙述有误的是（
）
A．其图象关于直线对称
B．其图象关于点对称
C．其值域是
D．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到
10．在中，，，，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
11．已知，为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．命题：若向量，则与的夹角为钝角；命题：若，则．
下列命题为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知，则____．
14．在锐角中，，，的面积为，__________．
15．若函数在区间上单调递增，则的最大值为__________．
16．设向量，，若，则的值是___________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量，，
（1）当与平行时，求；
（2）当与垂直时，求．
18．（12分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过
点．
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值．
19．（12分）在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
20．（12分）已知函数．
（1）求的值域；
（2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的面积．
21．（12分）在平面直角坐标系中，设向量，，．
（1）若，求的值；
（2）设，，且，求的值．
22．（12分）在中，分别是角的对边，向量，
向量，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的最小值．
高中数学必修4第二章《平面向量》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】，故答案为B．
2．【答案】A
【解析】设点的坐标为，又由，，则，
即，解得，，即点的坐标为，故选A．
3．【答案】A
【解析】因为平面向量，的夹角为，且，，
所以，故选A．
4．【答案】B
【解析】∵，，
∴，∴，或（舍去）
∴，
故选B．
5．【答案】C
【解析】由诱导公式得，
平方得，则，
所以，，
又因为，所以，，所以，
故选C．
6．【答案】C
【解析】在，因为
由正弦定理可化简得，所以，
由余弦定理得，从而，故选C．
7．【答案】B
【解析】因为，所以，，
因为，所以，，
因为，因此，故选B．
8．【答案】C
【解析】把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
再把所得函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
即函数的解析式为，
令，，
解得，，
则函数的单调增区间为，，故选C．
9．【答案】B
【解析】选项A，将代入中，为最小值，所以是函数的一条对称轴．
选项B，将代入中，，从而，所以点不是函数的一个对称中心．
选项C，函数的最大值为3，最小值为，所以值域为．
选项D，从3变为1，所以横坐标变为原来的．所以选B．
10．【答案】D
【解析】由题意，，，
由正弦定理，则有，
因为，所以或，
当时，，当时，，故选D．
11．【答案】D
【解析】如图所示
在平行四边形中，，，，
，，
在中，由正弦定理可得，，故选D．
12．【答案】D
【解析】命题：若向量，则与的夹角为钝角或平角，因此为假命题；
命题：若，则，因此，，
或，，，．则，为真命题．
下列命题为真命题的是，其余为假命题．故答案为D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由，则，故答案为．
14．【答案】2
【解析】由题得，，
，故答案为2．
15．【答案】
【解析】函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
∴的最大值为或，即的最大值为，
故答案为．
16．【答案】
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，
故答案是．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）或．
【解析】由已知得，，
（1）由得．
（2）由得或．
18．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由角的终边过点得，
所以．
（2）由角的终边过点得，
由得．
由得，
所以或．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
由题设知，，所以．
（2）由题设及（1）知，．
在中，由余弦定理得
．
所以．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，
．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，∴，解得．
∵，，∴由余弦定理，
可得，解得，
∴．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，，，
所以，且．
因为，所以，即，
所以，即．
（2）因为，所以．故．
因为，所以．
化简得，，所以．
因为，所以．所以，即．
22．【答案】（1）；（2）1．
【解析】（1），
由正弦定理得，
∴，∴．
∵，∴，∴，
（2）由余弦定理知．
∴．
∴的最小值为1，当且仅当时取“”．高中数学必修4第二章《平面向量》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量，满足，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，，．若，则实数的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若的三个内角满足，则（
）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
6．函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将函数的图象（
）
A．向右平移个长度单位
B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
7．如图，在平面四边形中，，，，．若点E为边上的动点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，
测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知的内角的对边分别是，且，
则角（
）
A．
B．
C．
D．
10．中，的对边分别为．已知，，
则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，，点，都在曲线上，且线段与曲线有个公共点，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．锐角中，为角所对的边，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知非零向量，满足，，则与夹角为________．
14．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
15．函数的部分图象如图，则函数解析式为_______．
16．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知平面向量，，，且．
（1）若是与共线的单位向量，求的坐标；
（2）若，且，设向量与的夹角为，求．
18．（12分）设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为，．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．
19．（12分）已知:锐角的内角的对边分别为，三边满足关系
，
（1）求内角的大小；
（2）求的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角的对边为，若，，，求中线的长．
21．（12分）向量，，已知，且有函数．
（1）求函数的解析式及周期；
（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边，，求的长及的面积．
22．（12分）已知，，函数．
（1）求函数零点；
（2）若锐角的三内角的对边分别是，且，求的取值范围．
高中数学必修4第二章《平面向量》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】，，，，
，解得，，故选D．
2．【答案】D
【解析】向量，满足，，，
可得，即，解得．
，．故选D．
3．【答案】C
【解析】由题得，
因为，所以，．故选C．
4．【答案】B
【解析】函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到，
由，，可得，，
当时，对称中心为，故选B．
5．【答案】C
【解析】由正弦定理
(为外接圆的半径)及已知条件，可设，，，
则，所以为钝角，故为钝角三角形．
故选C．
6．【答案】B
【解析】根据函数的部分图象，可得，
，
∴，故．再根据五点法作图可得，求得，
∴．故将的图象向左平移个单位，可得
的图象，故选B．
7．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
点在上，则，设，
则：，即，
据此可得，
且，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值．本题选择A选项．
8．【答案】A
【解析】在中，，，，即，
则由正弦定理，得，
故答案为A．
9．【答案】C
【解析】中，，
由余弦定理可得：，
∴，∴，，
∵，∴，又∵，∴．故选C．
10．【答案】B
【解析】因为，，
，所以，
，．
因为，所以，，
所以，．故答案为B．
11．【答案】A
【解析】
因为点，，都在曲线上，
且线段与曲线有个公共点，
，，，
即的值是，故选A．
12．【答案】C
【解析】由题得，
（当且仅当时取等）
由于三角形是锐角三角形，所以，，
，．
，
设，，．
因为函数在是减函数，在是增函数，
所以的无限接近，中较大的．
所以．
所以的取值范围为．故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】设两向量的夹角为，由题意可得：，
即：，则：，
据此有：，
整理计算可得：，．
14．【答案】
【解析】因为对任意的实数都成立，所以取最大值，所以，，因为，所以当时，取最小值为．
15．【答案】
【解析】根据函数部分图象，
可得，，．
结合五点法作图可得，求得，
故函数的解析式为，故答案为．
16．【答案】9
【解析】由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得，，
因此，
当且仅当时取等号，则的最小值为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）与共线，又，则，为单位向量，，
，或，则的坐标为或．
（2），
，，
．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题，，周期，∴，
再由，即，
得：，又，∴，，
由，得的单调递减区间为．
（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）
（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，
由题，，
∴，，
当时，的最小值为．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得：
∴，∴．
（2）∵是锐角三角形
∴，∴，
，将转化成
，∴，∴．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
∴，∴函数的最小正周期为．
（2）由（1）知，
∵在中，∴，
∴，∴，又，∴，
∴，
在中，由正弦定理，得，∴，∴，
在中，由余弦定理得
，∴．
21．【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）由得，即，
函数的周期为．
（2）由得，即，
∵是锐角三角形∴，
由正弦定理：及条件，，得．
又∵，即解得，
∴的面积．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由条件可知：，
∴，
所以函数零点满足，由，，解得，．
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∵，代入上式化简得：
，
又在锐角中，有，，，，
则有，即：．
