高中数学必修5第三章《不等式》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若实数，则下列不等式中一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
2．下列命题中正确的是（
）
A.，
B.
C.
D.
3．设，满足，则的最大值为（
）
A.
B.3
C.6
D.9
4．不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
5．已知不等式的解集为，则的值为（
）
A.
B.
C.14
D.10
6．设正实数，满足，则（
）
A.有最大值4
B.有最小值
C.有最大值
D.有最小值
7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.或
8．若方程，对应图形过点，则的最小值等于（
）
A.3
B.
C.4
D.
9．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
10．若不等式的解集是，则的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
11．变量，满足条件，则的最小值为（
）
A.
B.
C.5
D.
12．在上定义运算⊙：，则满足的实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．不等式的解集是__________．
14．关于的不等式的解集是________．
15．已知角，满足，，则的取值范围是__________．
16．在平面直角坐标系中，求不等式组表示的平面区域的面积为____．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合，不等式的解集为.
（1）当时，求集合，；
（2）当，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数，．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
19．（12分）解关于的不等式，．
20．（12分）（1）已知，，，求的最小值．
（2）已知，，求证：．
21．（12分）已知不等式组，
（1）求此不等式组表示的平面区域的面积；
（2）求的最大值；
（3）求的取值范围．
22．（12分）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多余型车7辆，若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆？最小营运成本是多少？
高中数学必修5第三章《不等式》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】对于A中，当，时不成立，所以是错误的；
对于B中，取，时，不成立，所以是错误的；
对于C中，取，时，不成立，所以是错误的，
对于D中，由，，所以是正确的，故选D．
2．【答案】D
【解析】对于选项A，由于不等式没有减法法则，所以选项A是错误的.
对于选项B，如果是一个负数，则不等式要改变方向，所以选项B是错误的.
对于选项C，如果是一个负数，不等式则要改变方向，所以选项C是错误的.
对于选项D，由于此处的，所以不等式两边同时除以，不等式的方向不改变，所以选项D是正确的，故选D．
3．【答案】C
【解析】画出表示的可行域，由可得，平移直线，由图知当直线经过点时，该直线在纵轴上的截距最大，既在点取大值，，故选C．
4．【答案】B
【解析】，则，即，∴，故选B．
5．【答案】A
【解析】的解集为，的两根为，，由伟达定理得，解方程得到，；故选A．
6．【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为4．故A不正确．
对于B，由不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．
故B不正确．
对于C，由不等式可得，当且仅当时等号成立，所以有最大值，故C正确．
对于D，由不等式可得，当且仅当时等号成立，所以有最小值．故D不正确．故选C．
7．【答案】C
【解析】画出不等式组表示的平面区域，由，
解得，∴点的坐标为．结合图形可得，若不等式组，
表示的平面区域是一个三角形，则实数需满足，故选C．
8．【答案】B
【解析】∵直线，过点，∴，，
所以，
当且仅当即a=，时取等号，∴最小值是，故选B．
9．【答案】B
【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，，由韦达定理得，
所以的解集为，故选B．
10．【答案】A
【解析】由题意得不等式在上恒成立．
①当时，不等式为，不等式恒成立．符合题意．
②当时，由不等式恒成立得，解得．
综上，所以实数的范围是，故选A．
11．【答案】C
【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过点时，目标函数取最小值5，故选C．
12．【答案】D
【解析】∵，∴
由得，∴，
∴满足的实数的取值范围为，故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】等式等价于，可得，所以解集为，
故答案为．
14．【答案】
【解析】不等式，可变形为：，所以，
即，解得或，故答案为．
15．【答案】
【解析】结合题意可知：，
且：，，
利用不等式的性质可知：的取值范围是．
16．【答案】4
【解析】不等式组表示一个等腰直角三角形ABC及其内部，其中，，，如图，所以平面区域的面积为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）当时，，.
（2）①若，即时，可得，满足，故符合题意．
②当，即时，由，可得，且等号不能同时成立，
解得，综上可得或．∴实数的取值范围是．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）的解集为，则的解为和2，
且，∴，解得．
（2）由，得，
若，不等式不对一切实数恒成立，舍去，
若，由题意得，解得：，故的范围是．
19．【答案】．
【解析】关于x的不等式化为，
不等式对应方程的实数根为和1；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1），
当且仅当，时取等号，故的最小值是；
（2）证明：∵，
，
∴，∴．
21．【答案】（1）36；（2）15；（3）．
【解析】作出平面区域如图．
交点，，，
（1）；
（2）由，得，由图可知当直线过点时，截距最小，即最大，此时；
（3）可以看作和两点间的斜率，
故其范围是．
22．【答案】应配备型车、型车分别是5辆和12辆，才能使公司从甲地去乙地的营运成本最小为36800元．
【解析】设应配备型车、型车各辆，辆，营运成本为元；
则由题意得，，且；；
故作平面区域如下，
故联立解得，
此时，有最小值元．
答：应配备型车、型车分别是5辆和12辆，才能使公司从甲地去乙地的营运成本最小为36800元．高中数学必修5第三章《不等式》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果，则下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若，则下列不等式中，正确的不等式有（
）
①；②；③；④；⑤；⑥；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．若函数的定义域为，则的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．
4．已知，，，的等差中项是，设，，则的最小值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．在上定义运算：，若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域内，则圆的面积最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数，则满足的的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定，若为D上动点，
点A的坐标为，则的最大值为（
）
A．
B．
C．4
D．3
9．若，，，，（，为正数），
则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
10．若正数，，满足，则的最小值为（
）．
A．3
B．4
C．9
D．16
11．设，满足约束条件，若目标函数的最大值为4，
则的最大值为（
）
A．4
B．2
C．6
D．8
12．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．若关于的不等式的解集中的整数有且仅有1、2、3，则的取值范围是_________．
14．已知，，则，之间大小关系是_________．
15．对于任意的实数，不等式恒成立，的取值范围是_________．
16．已知，满足，则的取值范围为是_________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）解关于的不等式，．
18．（12分）已知；
（1）当不等式的解集为时，求实数，的值；
（2）解关于的不等式．
19．（12分）已知函数．
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
20．（12分）已知函数的一个零点为，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
21．（12分）某宾馆有一房间，室内面积共计，拟分割出两类房间作为旅游客间，大房间面积为，可住游客5人，每人每天住宿费40元；小房间每间面积为，可以住游客3人，每人每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果宾馆只有8000元用于装修，且游客能住满客房，该宾馆应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？(不记隔墙面积)．
22．（12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．
（1）要使矩形的面积大于平方米，则的长度应在什么范围内？
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求出最小值．
高中数学必修5第三章《不等式》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】∵，，，∴，故选D．
2．【答案】C
【解析】∵，∴，∴，，，，，
又与为正且不等，∴，∴①④⑤正确，②③⑥错误，故选C．
3．【答案】A
【解析】依题意，的解集为，∴，即，，∴，
故选A．
4．【答案】C
【解析】由题意知，，∴，故，∴
，当且仅当是取等号，故选C．
5．【答案】C
【解析】由得，解得，
由题设知，解得，故选C．
6．【答案】C
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，
可知当圆的面积最大时，它与直线相切，此时圆的半径，
∴圆的面积为，故选C．
7．【答案】C
【解析】当时，由得，，∴；当时，由得，
∴，综上知，的取值范围是，故选C．
8．【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的区域D，如图所示，
由题设知，，，∴，由图形可得，目标函数过点时，取得最大值为4，故选C．
9．【答案】A
【解析】∵，，，∴，又由得，，
即，∴有，∵在时为减函数，
∴，即，故选A．
10．【答案】B
【解析】∵，
∴，故选B．
11．【答案】B
【解析】作出可行域，如图所示，
当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值4，∴，∵，，∴，则，当且仅当，时取等号，故选B．
12．【答案】B
【解析】函数的零点为与图象交点的横坐标，的零点为与图象交点的横坐标，因为函数
与函数互为反函数，其图像关于直线对称，所以，，故选B．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由题意得，，若不等式的整数解只有1、2、3，则应满足：，即，解得．
14．【答案】
【解析】∵，∴，∴，又，
∴由指数函数的性质知，，故．
15．【答案】．
【解析】∵，∴，故，
即的最小值为，当且仅当时取等号，∵不等式恒成立，∴．
16．【答案】
【解析】作出所在平面区域，如图所示，
求出的切线的斜率，设过切点的切线为，
则，要使它最小须，∴的最小值在处为；
此时，点在上，之间，
当对应点时，由，
∴的最大值在处为7，∴的取值范围为，即的取值范围是．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】见解析．
【解析】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
18．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）不等式，即为：，∵不等式的解集为，
∴不等式与同解，即的解集为；
∴，即，解得或；
（2）∵，∴，
故，即为，即；
则；当时，，此时不等式解集为；
当时，的解集为．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，恒成立，即，对恒成立，
∴，∴，解得．
（2）当时，恒成立，即，．
函数的对称轴为．
当，即时，函数在单调递增，
∴，由，解得，此时无解；
当，即时，函数，由，
解得，此时；
当，即时，函数在单调递减，
函数，由，解得，此时．
综上所述，的取值范围为．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得，得．
（2）由，
∴，
从而另外两个零点是方程的两个根，且一个根大于，一个根小于大于零．设，由零点的分布可得，即，作出可行域如图所示，
因为表示可行域内的点与原点连线的斜率，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，即．
21．【答案】应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润．
【解析】设隔出大房间房间，小房间间，收益为元，
则有，设目标函数为：，
作可行域，如图所示，
作直线，由图可以看出，过B点时，目标函数时取得最大值，
B点坐标是直线：与直线：的交点，
解得，但是它不是整点，可以验证取得最大值时，经过的整点是和，此时可取得最大值为1800元，即应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润．
22．【答案】（1）；（2）当的长度是米时，矩形的面积最小，
最小值为24平方米．
【解析】设的长为米（），由题意知：，，．
所以，∴．
（1）由，得，又，于是，
解得或，即长度的取值为．
（2），
当且仅当，即时，取得最小值是24
∴当的长度是米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米．
