人教版九年级数学下册《第27章 相似数》单元测试题（Word版 有答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册《第27章 相似数》单元测试题（Word版 有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 404.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-26 22:10:31 | ||
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文档简介
人教版九年级数学下册《第27章
相似数》单元测试题
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知，则的值为（ ）
A．2.5
B．
C．
D．
2．若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，对于下列结论：①AC＝FG；②四边形CBFG是矩形；③△ACD∽△FEQ．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2
B．4
C．
D．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．9
B．7
C．6
D．5
7．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC：S△DAC为（ ）
A．4：1
B．3：1
C．2：1
D．1：1
9．如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（ ）
A．15cm
B．20cm
C．25cm
D．30cm
10．如图，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AB＝4，AC＝10，则AD＝（ ）
A．
B．2
C．
D．1
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD＝
．
12．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，则＝
．
13．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，∠C＝110°，则∠B′的度数为
．
14．如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF：OC＝1：2，则△DEF与△ABC的周长之比是
．
15．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为
米．
16．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是
．（写出一个即可）
三．解答题（共8小题，满分62分）
17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，如果AB＝3，AC＝7，EF＝6．
（1）求DE的长．
（2）如果AC与DF相交于点O，OF＝1，求．
18．（8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF?EF．
19．（8分）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE＝AD，AE分别交BD、BC于点F、G，且∠1＝∠2．
（1）填空：图中与△BEF全等的三角形是
，与△BEF相似的三角形是
（不再添加任何辅助线）；
（2）对（1）中的两个结论选择其中一个给予证明．
20．（8分）（1）作出将△ABC沿着x轴向左平移4个单位，再沿着y轴向上平移2个单位后的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标
；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使．
21．（8分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
22．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB?AM＝AE?AC．
求证：（1）四边形ABCD是矩形；
（2）DE2＝EF?EM．
23．在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝9，点D为AB上一点，AD＝AB，在AC上取一点E，得到△ADE．若两个三角形相似，求DE的长．
24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案
一．选择题
1．解：∵，
∴b＝a，
∴＝＝．
故选：B．
2．解：∵，
∴y＝x，
∴＝＝．
故选：C．
3．解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选：B．
4．解：①∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG．
故正确；
②∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形．
故正确；
③∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ．
故正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：A．
5．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BC＝，
∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故选：C．
6．解：∵DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，
∴，
∴EC＝2，
∴AC＝2+4＝6．
故选：C．
7．解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形．
故选：B．
8．解：∵△ABC∽△ACD，相似比为2，
∴S△ABC：S△ACD＝4，
∴S△BDC：S△ACD＝3：1．
故选：B．
9．解：∵AB∥DE，
∴△CAB∽△CDE，
∴＝，
而BC＝BE，
∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．
故选：D．
10．解：根据射影定理得：AB2＝AD?AC，
∴AD＝＝．
故选：A．
二．填空题
11．解：
∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，
∴AD2＝BD?CD（射影定理），
∵BD＝4，CD＝9，
∴AD＝6．
12．解：如图，过点DG作DG∥AE，交BE于点G；
∵AD是△ABC的中线，
∴DG＝，
∵AC＝2CE，
∴DG＝AC，
∴＝，
＝，
即＝5，
故答案为5．
13．解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B＝20°．
故答案为20°．
14．解：∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，
∴△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．
故答案为：1：2．
15．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
16．解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝时，△ACP∽△ABC，
故答案为：∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
三．解答题
17．解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
∴DE＝；
（2）∵OF＝1，
∴OE＝6﹣1＝5，
∴OD＝5+＝，
∵AD∥CF，
∴＝＝＝．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴＝，＝，
∴＝，
即CF2＝GF?EF．
19．（1）解：△BEF≌△DAF，△BEF∽△GBF；
（2）证明：∵BE∥AC，
∴∠1＝∠E，
在△BEF和△DAF中，
∵，
∴△BEF≌△DAF（AAS）；
∵BE∥AC，
∴∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E，
又∵∠F为公共角，
∴△BEF∽△GBF．
20．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（﹣3，2）；
故答案为：（﹣3，2）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
21．证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
22．解：（1）∵AB?AM＝AE?AC，
∴＝，
∵∠CAB＝∠CAB，
∴△ACB∽△AME，
∴∠AME＝∠ACB，
由于∠AME+∠BAC＝90°，
则∠ACB+∠BAC＝90°，
∴?ABCD是矩形．
（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，
∵ME⊥AC，
∴ME平分∠AMC，
∴∠CME＝∠AME＝∠ECB，
∵∠MEC＝∠FEC＝90°，
∴△CEF∽△MEC，
∴，
∴EC2＝EF?EM，
即DE2＝EF?EM
23．解：∵∠A是公共角，
∴当＝，即＝时，△ADE∽△ABC，
解得：DE＝6；
当＝，即＝时，△ADE∽△ACB，
解得：DE＝，
综上可得：当DE＝6或时，△ADE与原三角形相似．
24．解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
相似数》单元测试题
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知，则的值为（ ）
A．2.5
B．
C．
D．
2．若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，对于下列结论：①AC＝FG；②四边形CBFG是矩形；③△ACD∽△FEQ．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2
B．4
C．
D．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．9
B．7
C．6
D．5
7．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC：S△DAC为（ ）
A．4：1
B．3：1
C．2：1
D．1：1
9．如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（ ）
A．15cm
B．20cm
C．25cm
D．30cm
10．如图，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AB＝4，AC＝10，则AD＝（ ）
A．
B．2
C．
D．1
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD＝
．
12．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，则＝
．
13．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，∠C＝110°，则∠B′的度数为
．
14．如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF：OC＝1：2，则△DEF与△ABC的周长之比是
．
15．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为
米．
16．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是
．（写出一个即可）
三．解答题（共8小题，满分62分）
17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，如果AB＝3，AC＝7，EF＝6．
（1）求DE的长．
（2）如果AC与DF相交于点O，OF＝1，求．
18．（8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF?EF．
19．（8分）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE＝AD，AE分别交BD、BC于点F、G，且∠1＝∠2．
（1）填空：图中与△BEF全等的三角形是
，与△BEF相似的三角形是
（不再添加任何辅助线）；
（2）对（1）中的两个结论选择其中一个给予证明．
20．（8分）（1）作出将△ABC沿着x轴向左平移4个单位，再沿着y轴向上平移2个单位后的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标
；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使．
21．（8分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
22．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB?AM＝AE?AC．
求证：（1）四边形ABCD是矩形；
（2）DE2＝EF?EM．
23．在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝9，点D为AB上一点，AD＝AB，在AC上取一点E，得到△ADE．若两个三角形相似，求DE的长．
24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案
一．选择题
1．解：∵，
∴b＝a，
∴＝＝．
故选：B．
2．解：∵，
∴y＝x，
∴＝＝．
故选：C．
3．解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选：B．
4．解：①∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG．
故正确；
②∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形．
故正确；
③∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ．
故正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：A．
5．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BC＝，
∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故选：C．
6．解：∵DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，
∴，
∴EC＝2，
∴AC＝2+4＝6．
故选：C．
7．解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形．
故选：B．
8．解：∵△ABC∽△ACD，相似比为2，
∴S△ABC：S△ACD＝4，
∴S△BDC：S△ACD＝3：1．
故选：B．
9．解：∵AB∥DE，
∴△CAB∽△CDE，
∴＝，
而BC＝BE，
∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．
故选：D．
10．解：根据射影定理得：AB2＝AD?AC，
∴AD＝＝．
故选：A．
二．填空题
11．解：
∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，
∴AD2＝BD?CD（射影定理），
∵BD＝4，CD＝9，
∴AD＝6．
12．解：如图，过点DG作DG∥AE，交BE于点G；
∵AD是△ABC的中线，
∴DG＝，
∵AC＝2CE，
∴DG＝AC，
∴＝，
＝，
即＝5，
故答案为5．
13．解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B＝20°．
故答案为20°．
14．解：∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，
∴△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．
故答案为：1：2．
15．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
16．解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝时，△ACP∽△ABC，
故答案为：∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
三．解答题
17．解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
∴DE＝；
（2）∵OF＝1，
∴OE＝6﹣1＝5，
∴OD＝5+＝，
∵AD∥CF，
∴＝＝＝．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴＝，＝，
∴＝，
即CF2＝GF?EF．
19．（1）解：△BEF≌△DAF，△BEF∽△GBF；
（2）证明：∵BE∥AC，
∴∠1＝∠E，
在△BEF和△DAF中，
∵，
∴△BEF≌△DAF（AAS）；
∵BE∥AC，
∴∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E，
又∵∠F为公共角，
∴△BEF∽△GBF．
20．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（﹣3，2）；
故答案为：（﹣3，2）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
21．证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
22．解：（1）∵AB?AM＝AE?AC，
∴＝，
∵∠CAB＝∠CAB，
∴△ACB∽△AME，
∴∠AME＝∠ACB，
由于∠AME+∠BAC＝90°，
则∠ACB+∠BAC＝90°，
∴?ABCD是矩形．
（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，
∵ME⊥AC，
∴ME平分∠AMC，
∴∠CME＝∠AME＝∠ECB，
∵∠MEC＝∠FEC＝90°，
∴△CEF∽△MEC，
∴，
∴EC2＝EF?EM，
即DE2＝EF?EM
23．解：∵∠A是公共角，
∴当＝，即＝时，△ADE∽△ABC，
解得：DE＝6；
当＝，即＝时，△ADE∽△ACB，
解得：DE＝，
综上可得：当DE＝6或时，△ADE与原三角形相似．
24．解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．