人教版九年级数学下册《第27章 相似数》单元测试题（Word版 有答案）

人教版九年级数学下册《第27章
相似数》单元测试题
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若＝，则的值为（　　）
A．5
B．
C．3
D．
2．已知＝，则代数式的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BE＝GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：8
D．1：16
8．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）
A．28°
B．32°
C．42°
D．52°
9．如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（　　）
A．32米
B．米
C．36米
D．米
10．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，用长3m、4m、5m的三根木棒正好搭成一个Rt△ABC，AC＝3，∠C＝90°，用一束垂直于AB的平行光线照上去，AC、BC在AB的影长分别为AD、DB，则AD＝　
　，BD＝　
　．
12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　
　．
13．已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3．则△ABC与△DEF的面积之比为　
　．
14．如图，三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：4，三角形ABC的面积为9，则三角形A'B'C'的面积为　
　．
15．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝　
　m．
16．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为　
　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8．
（1）求的值；
（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．
18．（8分）已知如图，E为平行四边形ABCD的边AB的延长线上的一点，DE分别交AC、BC于G、F，试说明：DG是GE、GF的比例中项．
19．（8分）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：　
　．
20．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC（顶点是网格线的交点）的坐标分别是A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC先向右平移2个单位长度，向下平移7个单位长度，得到△DEF，画出△DEF；
（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A1B1C1，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，其对应点P1的坐标为　
　．
21．（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
23．（10分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由＝，得
4b＝a﹣b．，解得a＝5b，
＝＝5，
故选：A．
2．解：由＝得到：a＝b，则
＝＝．
故选：B．
3．解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2，，，同理求得：
A中三角形的各边长为：，1，，与△ABC的各边对应成比例，所以两三角形相似；
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
由勾股定理得：BE＝GE，∴①正确；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中
∴△AGE≌△ECF，∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
即正确的有3个．
故选：C．
5．解：当＝或＝时，DE∥BD，
即＝或＝．
故选：D．
6．解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；
故选：C．
7．解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，
∴这两个相似多边形的相似比是1：2，
则这两个相似多边形的周长之比是1：2，
故选：A．
8．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，
∴∠B＝42°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E．
∴∠E＝42°．
故选：C．
9．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴＝，
即＝，
∴MN＝32（m），
答：楼房MN的高度为32m．
故选：A．
10．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，
∴BC＝＝．
故选：D．
二．填空题
11．解：依题意知，AC＝3cm，AB＝5cm，BC＝4cm，∠C＝90°．
∵CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB，
则9＝5AD，16＝5BD，
所以AD＝，BD＝．
故答案是：；．
12．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10．
故答案为10．
13．解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9．
故答案为9．
14．解：∵三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝3：4，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，
∵三角形ABC的面积为9，
∴三角形A'B'C'的面积为：16．
故答案为：16．
15．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠N＝90°，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴，
即，
∴MN＝（m），
答：楼房MN的高度为m，
故答案为：．
16．解：∵△AMN和△ABC相似，
∴①如图1，△AMN∽△ABC，
∴，
∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9，
∴，MN＝4．
②如图2，△AMN∽△ACB，
∴，
∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，
∴，MN＝6，
综上MN为4或6．
故答案为：4或6．
三．解答题
17．解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴＝＝＝；
（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，
∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，
∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，
∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，
∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，
∵NF∥MF，
∴＝＝，
∴NE＝MF＝×14＝6，
∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．
18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AE，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴DG2＝GE?GF，
∴DG是GE、GF的比例中项．
19．（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE．
（2）补充的条件为：AB＝AD（答案不唯一）；理由如下：
由（1）得：∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE；
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
20．解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，
其对应点P1的坐标为：（﹣2x，﹣2y）．
21．（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BG+CF＞EF．
22．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
23．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：；
24．解：（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ＝；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．
因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．