相交线、对顶角
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．
2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．
3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
(二)能力训练点
1．通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．
2．通过对顶角性质的推理过程，培养学生的推理和逻辑思维能力．
(三)德育渗透点
从复杂图形分解为若干个基本图形的过程中，渗透化难为易的化归思想方法和方程思想．
二、教学重点、难点
(一)重点
对顶角的概念及性质．
(二)难点
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．
三、教学方法
教具直观演示法，启发诱导，尝试研讨法，变式，回授．
四、教具准备
投影仪或电脑、三角尺、自制复合胶片、木条制成的相交直线的模型．
五、教学步骤
(一)创设情境，引入课题
投影打出本章的章前图(投影片1)，然后引导学生观察，并回答问题．
学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．
师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线，平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．它们就是我们本章要研究的课题：
[板书] 第二章 相交线、平行线
【教法说明】以立交桥为实例引出本章内容，目的是①通过实例，让学生了解相交线、平行线是我们日常生活中经常见到的；②通过画面，培养学生的空间想象能力；③通过画面，启发学生广泛地联想，让学生知道，相交线、平行线的概念是从实物中抽象出来的；④通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣．
学生活动：请学生举出现实空间里相交线、平行线的一些实例．
师导入：相交线、平行线在日常生活中经常见到，有着广泛应用，所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，从而引入本节课题．
[板书] 2．1相交线、对顶角
(二)探索新知，讲授新课
教师演示：取两根木条a，b，用钉子将它们钉在一起，并且能随意张开．固定木条a，绕钉子转动b，可以看到，b的位置变化了，a，b所成的角a也随着变化．这说明两条直线相交的不同位置情况，与它们的交角大小有关．可以用它们所成的角来说明相对位置的各种情况．所以研究两条直线相交问题首先来研究两条直线相交得到的有公共顶点的四个角．这四个角都有一个公共顶点，其中有些有公共边，有些没有公共边，故我们把这些角分成两类，对顶角和邻补角．
【教法说明】演示相交线的模型，目的是使学生领会研究相交线为什么要研究它们相交所成的角．
1．对顶角和邻补角的概念
学生活动；观察图2-1，同桌讨论∠1与∠3有什么特点，然后：举手回答，教师统一学生观点并板书．
[板书] ∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．
学生活动：让学生找一找图2-1中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？
生答：∠2和∠4也是对顶角．
紧扣对顶角定义强调以下两点：
(1)辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边，符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．
(2)对顶角是成对存在的，它们是互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．
反馈练习：投影显示(投影片2)
下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？(射线OA是活动的)
【教法说明】本组题目是巩固对顶角概念的，通过练习，使学生掌握在图形中辨认对顶角的要领，同时又用反例印证概念，使学生加深印象，最后一个图形为下面讲邻补角做铺垫．
学生活动：观察图，∠1和∠2与对顶角相比，有什么相同点和不同点，从而得出邻补角的定义．
[板书] ∠1和∠2也是直线AB、CD相交得到的，它们不仅有一个公共顶点O，还有一条公共边OA，像这样的两个角叫做邻补角．
学生活动：让学生找一找图2-1中还有没有其它邻补角，如果有，是哪些角．
生答：∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4都是邻补角．
【教法说明】讲解邻补角的概念与对顶角概念对比着讲，便于掌握概念之间的联系与区别，加深对概念的理解
提出问题：如图2-2，∠1和∠2还是邻补角吗？为什么？
师：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角，由此可知，邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角．图2-2这样的邻补角在图形中也是常见的．在这种情况下，只存在一对邻补角，而不存在对顶角，与两条直线相交所得的角不同．
教师演示：图2-2中射线OC固定在一个位置不动，把∠1和∠2拉开，并且保持角的大小不变，如图2-3，(投影片3)．
提出问题：∠1和∠2的和是多少度？∠1和∠2还是邻补角吗？为什么？
学生活动：观察图形的变换，回答教师提出的问题，同桌可相互讨论．
【教法说明】此问题意在区别互为补角和互为邻补角的概念，演示活动投影片，有助于学生抓住概念的本质，比教师单纯地强调效果更好．
2．对顶角的性质
提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？
学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，并口答为什么．
【教法说明】学生说出对顶角∠1＝∠3后，启发学生再说出∠2=∠4，然后得出对顶角相等的性质．在学生理解推理思路的基础上，板书为几何符号推理的格式．对顶角的性质不难得出，放手让学生展开讨论，充分发挥学生的主动性，在活跃课堂气氛的同时，培养学生创造性思维能力．
[板书] ∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补(邻补角定义)，
∴∠1＝∠3(同角的补角相等)．
注意：∠1与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．
或写成：∵∠1=180°-∠2 ∠3=180°-∠2(邻补角定义)，
∴∠1=∠3(等量代换)．
【教法说明】推得“对顶角相等”这个结论的过程，是课本中初次出现一步推理，使学生了解推理可以写成“∵……∴……”的形式，并且每一步都要有根据，也就是括号里填的理由．这种推理的格式以后还要逐步渗透和训练，现在不要求自己会写推理过程，只要求学生能看明白就可以了，为以后证明打好基础．
(三)尝试反馈，巩固练习
投影显示(投影片4)
【教法说明】本组练习是巩固对顶角和邻补角概念的，同时培养学生的识图能力．第1题是课本第54页练习第2题的变式，第2题是课本第54页练习第3题和“想一想”的综合．解决这类题目的关键是要善于从复杂图形中分离出基本图形．对顶角、邻补角的基本图形是两条直线相交，则三条直线相交的图形应分解为三个两条直线交于一点的图形．如
为此，对顶角有2×3＝6个，邻补角的对数为4×3＝12个．第3、4题是有关的概念的综合训练，其中第4题意在区别互为补角和互为邻补角的概念．
投影显示(投影片5)
【教法说明】第1题是直接利用对顶角相等的性质得出，第2、3题是结合图形利用对顶角相等的性质，第4题是课本54页练习第4题，是两条直线相交的一种特殊情况，为下节课讲两直线互相垂直埋下伏笔．
(四)变式训练，培养能力
投影显示，(投影片6)
学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演．
解：∠3＝∠1＝40°(对顶角相等)．
∠2=180°-40°=140°(邻补角定义)．
∠4＝∠2＝140°(对顶角相等)．
【教法说明】例题一方面巩固对顶角的性质；另一方面说明几何里的计算题，需要用到图形几何性质，因此，要有根有据地计算．例题放手让学生自己解决，比教师单纯地讲解效果会更好．尽管学生书写格式不如课本上的规范，但通过集体讲评纠正后，学生印象更深刻．
学生活动：让学生把例题∠1＝40°这个条件换成其它条件，而结论不变，自编几道题．
变式1：把∠1＝40°变为∠2-∠1＝40°
变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠1的3倍
变式3：把∠1=40°变为∠1∶∠2＝2∶9
【教法说明】学生自编开放性的题目，一是活跃课堂气氛；二是培养学生的开放思维能力和逆向思维能力．变式1、2、3均可建立方程或方程组求解，几何中计算角度和线段长度等问题常借助代数方程来解决．
(五)归纳小结
学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出．
【教法说明】课堂小结以提问形式，由学生自己讨论，系统归纳总结，以便培养学生的概括表达能力．
六、布置作业
(一)必做题
课本第65页2．
(二)思考题
课本第65页3．
【教法说明】作业紧紧围绕着对顶角、邻补角的概念及对顶角性质思考题是对顶角性质的一个应用实例，结合图形可以看出，活动指针的读数，就是两直线相交成一个角的度数，培养学生应用数学意识．
七、板书设计
八、作业答案
1．解(1)∠AOD的对顶角是∠BOC∠EOC的对顶角是∠DOF
(2)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC
∠EOB的邻补角是∠AOE和∠BOF
(3)∠BOD＝∠AOC＝50°(对顶角相等)
∠BOC＝180°-50°＝130°(邻补角定义)
2．应用对顶角相等的性质测量角(共15张PPT)
5.1 相交线、对顶角
复习练习
2、什么叫相交直线？
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
1、点与直线有什么位置关系？
⑴点在直线上；
⑵点在直线外；
A
B
O
a
b
第5章 相交线、平行线
§5.1 相交线、对顶角
A
B
C
D
1
2
3
4
∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．
∠2与∠4也是对顶角，
共有两对
A
B
C
D
1
2
3
4
∠1和∠2也是直线AB、CD相交得到的，它们不仅有一个公共顶点O，还有一条公共边OA，像这样的两个角叫做邻补角．
图中的邻补角还有∠2与∠3、 ∠3与∠4、 ∠4与∠1，
共有四对
邻补角性质：邻补角互补（两个角的和是180°）
练习：下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？
1
2
1
2
1
2
图中∠1和∠2是邻补角吗？
2
1
图中∠1与∠2互为补角，但不是邻补角
相同：两个角的和是180°
不同：位置关系不同
思维发散：
下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？
C
A
B
D
E
1
2
3
O
A
B
C
D
1
2
3
找出图中的对顶角
A
B
C
D
E
F
O
找出图中的对顶角
A
B
C
D
E
O
练习：ZP71 （8）（9）（10）
A
B
C
D
1
2
3
4
对顶角的性质
∵∠1与∠2互补
∠3与∠2互补
(邻补角定义)
(邻补角定义)
∴∠1＝∠3
(同角的补角相等)
对顶角的性质：对顶角相等
解：
∵ ∠3＝∠1＝40°
(对顶角相等)
∠2=180°-40°=140°
(邻补角定义)
∴ ∠4＝∠2＝140°
(对顶角相等)
已知：直线a、b相交，∠1=40°，求∠ 2、 ∠ 3、 ∠ 4的度数。
1
2
3
4
a
b
变式训练
已知：直线a、b相交，∠1=40°，求∠ 2、 ∠ 3、 ∠ 4的度数。
1
2
3
4
a
b
变式1：把∠1＝40°变为∠1＝50°
变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠1的3倍
变式3：把∠1=40°变为∠1∶∠2＝2∶7
变式4：把∠1=40°变为
？
A：填空题
1、若∠α与∠β是对顶角， ∠α=16°
则∠β= 。
2、如图，三条直线a、b、c相交于点O，
∠1=40° ∠2=75° 则∠3= 。
3、如图，已知直线AB、CD相交于点O，
OA平分∠ EOC，∠ EOC=70°，
则∠BOD= ，∠ BOC= 。
4、两条直线相交得四个角，其中一个角是90°
其余 各角 是 。
B：选做题
已知直线AB、CD相交于点O， ∠ AOC =28°，
OE平分∠ AOD，求∠ EOB的度数。
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
a
b
c
1
2
3
16°
65°
35°
145°
90°
小结：
ZP74
作业：SP69 2、3 B 1
