3.2
圆的对称性
教学目标
【知识与能力】
1、了解圆的旋转不变性；
2、掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理.
【过程与方法】
1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
2、使学生掌握“圆心角、弧、弦之间的关系定理”，以及对定理中“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.
3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力.
【情感态度价值观】
1、培养学生积极探索数学新知的态度及方法，培养学生自主学习、相互合作交流的能力.
2、通过学习垂径定理逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.
教学重难点
【教学重点】
利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理.
【教学难点】
理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件.
课前准备
多媒体
实物投影
三角板
圆规
纸片
剪刀
铅笔
教学过程
一、复习导入：
1、垂径定理的内容是什么？（从图形、文字、符号三种语言方面加以回顾）.
2、垂径定理的题设和结论是什么？
题设：一条直线①过圆心；②垂直于弦
结论：这条直线③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；
二、探究新知：
1、小组合作，请每个小组进行探究：从以上5条中任意选两条为已知，试着去探索另3条是否正确？每个小组要求完成：
（1）写出命题的已知和求证；（2）画出相应的图形
（3）给出证明；（4）完成文字语言的描述；（5）小组内必须每个人参与.
2、垂径定理的逆定理的探究：
探究1：由①③，可得新命题（如右图）：（教师展示课件）
①直径CD过圆心
②直径CD垂直于弦AB
③直径CD平分弦AB
④平分弦所对的优弧ADB；
⑤平分弦所对的劣弧ACB；
师：此命题为真命题？为什么？
生：此命题为真命题.根据圆的对称性可知.
师：若弦AB过点O，此命题是否为真命题？为什么？
生：此命题不是真命题，因为弦AB可以直径，所以得不到直径CD垂直于弦AB.
师：请每小组进行一分钟交流合作、归纳、总结从以上可以得什么结论？请小组长进行发言.
师：总结得到以下结论：并强调“弦不是直径”这一重要条件.
垂径定理的逆定理1：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
探究2：
由②③，可得新命题：
②直径CD垂直于弦AB
①直径CD过圆心
③直径CD平分弦AB
④平分弦所对的优弧ADB；
⑤平分弦所对的劣弧ACB；
师：此命题为真命题？为什么？
生：此命题为真命题.根据圆的对称性可知.
师：请每小组进行一分钟交流合作、归纳、总结从以上可以得什么结论？请小组长进行发言.
师：总结得到以下结论：
垂径定理的逆定理2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
探究3：
由①④或①⑤，可得新命题：
①直径CD过圆心
②直径CD垂直于弦AB
④平分弦所对的优弧ADB
③直径CD平分弦AB
⑤平分弦所对的劣弧ACB
或
①直径CD过圆心
②直径CD垂直于弦AB
⑤平分弦所对的劣弧ACB
③直径CD平分弦AB
④平分弦所对的优弧ADB；
师：此命题为真命题？为什么？
生：此命题为真命题.根据圆的对称性可知.
师：请每小组进行一分钟交流合作、归纳、总结从以上可以得什么结论？请小组长进行发言.
师：总结得到以下结论：
垂径定理的逆定理3：平分弦所对的一条弧的直径，则垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
三、随堂练习：
1、判断下列说法是否正确?
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(
)
(2)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
(
)
(3)经过弦中点的直径一定于垂直弦.
(
)
(4)平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦.
(
)
2、按右图填空，在⊙O中：
（1）若CD⊥AB，CD为直径，则
，
，
.
（2）若AM＝BM，CD为直径，AB不是直径，
则
，
，
.
（3）若CD⊥AB，AM＝BM，则
，
，
.
（4）若弧AM＝弧BM
，CD为直径，则
，
，
.
四、课堂过关练习：
1、下列命题中，错误的是（
）
A、平分弦的直径垂直于弦
B、平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦
C、垂直于弦的直径平分弦
D、弦的垂直平分线平分弦所对的两条弧
2、如右图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，如果CD=20，AB=16,
求线段OM的长？
五、课堂小结：
1、本节主要知识：垂径定理的逆定理及其应用.
2、思维方法：向思维，交换题设与结论中的部分条件来研究新知识.
六、课后作业，加深理解和应用：
教材101页：知识技能第1题，数学理解第2、3题.
教学反思：
本节课教学设计侧重是通过学生自己动手、小组合作、交流、师生互动等活动方式，让学生亲身经历数学知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师的引导，让学生感受圆的旋转不变性；并得出弧、弦、圆心角的三者之间的关系；掌握圆的旋转不变性知识，并能够解决有关圆的简单问题.同时也注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学知识在生活中的应用，激发他们的学习数学的兴趣.3.6
直线和圆的位置关系
第1课时
教学目标
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力．
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．
3.会作三角形的内切圆．
教学重难点
【教学重点】
会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．
【教学难点】
会作三角形的内切圆．
教学过程
（一）导入新课
直线和圆有什么样的位置关系？
（二）讲授新课
探究1：如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时,
圆心O到直线l的距离d如何变化？
你能写出一个命题来表述这个事实吗?
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
明确：∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴
CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r
直线和圆相切
的另一种说法.
探究2：从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?
三角形的内切圆作法：
（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，
⊙I就是所求.
探究3：这样的圆可以作出几个呢?为什么?
∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（
）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等
（
）
3.等边三角形的内心和外心重合（
）
4.三角形的内心一定在三角形的内部（
）
活动2：探究归纳
内心均在三角形内部
（三）重难点精讲
例1.如图,AB是⊙O的直径,
∠ABT=45°,AT=BA．求证:AT是⊙O的切线.
证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线．
例2.如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数是
.
（2）若∠A=80°，则∠BOC=
.
（3）若∠BOC=110°，则∠A=
.
答案：（1）120°（2）130°（3）40°
（四）归纳小结
本课主要学习了哪些内容？
1．探索切线的判定条件．
2．作三角形的内切圆．
3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念．
（五）随堂检测
1.如图,已知直线AB
经过⊙O上的点C,
并且AO=OB,CA=CB,那么直线
AB是⊙O的切线吗?
2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？
3.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
4.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB=，BC=2，
求⊙O的半径.
5.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
（2）如果∠BDE=60，，求PA的长.
6.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.求镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
【答案】
1.
解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线.
2.
解：过O作OC⊥AB
，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴
⊙O与直线AB相切.
3.
证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
4.
【解析】（1）直线CE与⊙O相切.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC
，
又
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AE0+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90
°，
∴直线CE与⊙O相切.
（2）∵tan∠ACB=
BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=,AC=
又∵∠ACB=∠DCE
∴tan∠DCE=，
∴DE=DC?tan∠DCE=1，
在Rt△CDE中，CE=
设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，
由得
解得：r=
5.
【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°.
∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中，设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
∴PA=1.
6.
提示：AC⊥BC，BC=30米，AC=40米,得AB=50米.由
得M离道路三边的距离为10米.
六．板书设计
3.6.2直线和圆的位置关系
1．切线的判定条件．
2．作三角形的内切圆．
3．三角形的内切圆、三角形的内心的概念．
例题1：
例题2：
例题3：
七、作业布置
课本P93练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思3.9
弧长及扇形的面积
教学目标
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程；
2．了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。
教学重难点
【教学重点】
探索弧长和扇形面积计算公式的过程；了解弧长和扇形面积计算公式；
【教学难点】
会运用公式解决问题。
教学过程
第一环节
创设情境，引入新课
生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小里已经学过了有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？让我们来探索吧。
第二环节
新课讲授
活动内容：
（一）复习圆的周长与面积公式
我们上体育课掷铅球练习时,要在指定的圆圈内进行,这个圆的直径是2.135m。这个圆的周长与面积是多少？
（二）复习圆心角的概念
（三）想一想
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转no,传送带上的物品A被传送多少厘米?
（四）议一议：
（1）已知⊙O的半径为R，1o的圆心角所对的弧长是多少？
（2）no的圆心角所对的弧长是多少？
根据上面的计算，你能想到解决的方法了吗？请大家互相交流。
总结出计算弧长的公式：
若⊙O的半径为R，
no的圆心角所对的弧长l是
（五）开心练一练：
（1）1o的弧长是
。半径为10厘米的圆中，60o的圆心角所对的弧长是
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（
）
（A）1∶1
（B）1∶2
（C）2∶1
（D）1∶4
（六）例题讲解
制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长度（精确到0.1mm）
例2
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）若这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？这个活动区域是一个什么图形呢?
解
（1）如图①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；
（2）如图②，这只狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360o的圆心角对应的圆面积是πR2，1o的圆心角对应圆面积的，即，no的圆心角对应圆面积为
（七）总结扇形面积公式（若⊙O的半径为R，圆的面积是πR2）
1o圆心角所对的扇形的面积是，no圆心角所对的扇形的面积是
（八）弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
弧长和扇形的面积都和圆心角n，半径R有关系，因此l
和s之间也有一定的关系，你能猜出来吗？请大家互相交流。
扇形所对的弧长，扇形的面积是
（九）扇形的面积是应用：
例:已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o,求AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
第三环节
练习
活动内容：
（一）开心做一做：
一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长=
，扇形面积=
.
2.
一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为
.
已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是
（
）
A.
3π
B.4π
C.5π
D.6π
（二）随堂练习：P134
第四环节
课时小结：
知识点：弧长、扇形面积的计算公式
能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法，及它们之间的关系，并能已知一方求另一方。
第五环节
布置课后作业：
1．习题3.10
2．活动与探究：如图，在半径为1的圆中，有一弦长AB=的扇形，求此扇形的周长及面积。3.3
垂径定理
教学目标
【知识与能力】
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
【过程与方法】
经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
【情感态度价值观】
1.
培养学生类比分析，猜想探索的能力．
2.
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重难点
【教学重点】
利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
【教学难点】
垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．
课前准备
多媒体
实物投影
三角板
圆规
纸片
剪刀
铅笔
教学过程
本节课设计了四个教学环节：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.
第一环节
类比引入
活动内容：
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
活动目的：
通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．
第二环节
猜想探索
活动内容：
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
条件：①
CD是直径；②
CD⊥AB
结论（等量关系）：③AM=BM；
④=；⑤=.
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,
点A与点B重合,
和重合,
和重合.
∴
=，=.
2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．
4．垂径定理逆定理的探索
如图，AB是⊙O
的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：①
CD是直径；②
AM=BM
结论（等量关系）：③CD⊥AB；
④=；⑤=.
让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容
——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
反例：
活动目的：
活动1的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动2
的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．
实际教学效果：
在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA、OB，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．
第三环节
知识应用
活动内容：
讲解例题及完成随堂练习．
1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC?=CF?
+OF?
即
R?=300?+(R-90)?.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．
3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
有三种情况：（1）圆心在平行弦外；
（2）圆心在其中一条弦上；
（3）圆心在平行弦内．
活动目的：活动1、2的主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；活动3的主要目的是让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想．
实际教学效果：
在活动4中，对于例题和随堂练习1教师要引导学生如何够造可以应用垂径定理的几何构图，让学生积累如何添加辅助线的经验，以及体会到构造直角三角形并利用勾股定理列方程在解决几何问题中的作用，培养数形结合的思想．对于随堂练习2，教师要引导学生通过自行画图，探索分析符合条件图形有多少种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，并通过添加辅助线构造可以应用垂径定理的条件，以及比较三种构图的共同点，得出说理的思路都是一样的结论．
第四环节
归纳小结
活动内容：
学生交流总结
1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
活动目的：
通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯．
实际教学效果：
学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，大多都是围绕知识本身，教师应引导学生对探索知识的方法也能归纳反思．3.4
圆周角和圆心角的关系
第2课时
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
教学目标
1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)
2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)
教学过程
一、情境导入
你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？
如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
二、合作探究
探究点一：圆周角和直径的关系
【类型一】
利用直径所对的圆周角是直角求角的度数
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
【类型二】
作辅助线构造直角三角形解决问题
如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？
解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．
解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．
方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．
探究点二：圆内接四边形
【类型一】
圆内接四边形性质的运用
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝( )
A．65°
B．120°
C．125°
D．130°
解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.
方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．
【类型二】
圆内接四边形与圆周角的综合
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．
【类型三】
圆内接四边形与垂径定理的综合
如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.
解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【类型四】
圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点，AC、BD交于点E.
(1)求证：△CBE∽△CAB；
(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．
解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．
(1)证明：∵点C为的中点，∴∠DBC＝∠BAC.在△CBE与△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；
(2)解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶EC＝3∶1.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.设FC＝a，则AD＝3a.∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a，∴OC＝OF＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a.在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝＝.
方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．
三、板书设计
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1．圆周角和直径的关系
2．圆内接四边形的概念和性质
教后反思
本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.3.7
切线长定理
教学目标
【知识与能力】
1.
使学生理解切线长定义.
2.
使学生掌握切线长定理，并能初步运用.
【过程与方法】
1.
通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.
2.
学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
【情感态度价值观】
通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功.
教学重难点
【教学重点】
理解切线长定理并能应用．
【教学难点】
运用切线的性质定理解决问题．
课前准备
课件
教学过程
第一环节
创设情景，引入新课
活动内容：
问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?
这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭,可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答,
哪一种方法更好呢?
教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB.
如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？
活动目的：《课标》指出：“对数学的认识，应处处着眼于数学与人的发展和现实生活之间的密切联系”根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情景，目的在于激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中.教师通过对话交往，引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形中进行识别，从而认识概念的本质特征，理解概念的外延.
第二环节
合作学习，探究新知
（一）、切线长定义
1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长
2、剖析定义：
（1）找出中心词，把定义进行缩句.（线段的长叫做切线长）
（2）定义中的“线段”具有什么特征？
①
在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.
3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A
，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？
（线段PA）
（2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B
，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）
（3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？
（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学.
（二）、切线长定理：
1、探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？
探索步骤：
（1）根据条件画出图形；
（2）度量线段PA和PB的长度；
（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；
（4）寻找证明猜想的途径；
（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类.
（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？
请说明理由.
活动目的：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先出示探索步骤的前三个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、
利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，并由（6）得出定理.定理的剖析以对话形式进行.在整个过程中，教师相应地进行板书.
此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性.然后，通过动态演示强化切线长定理这一核心知识.可以看出设置探究性的问题，可以树立学生已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知转化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的思考方法.本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳总结得出本节课的核心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识.最后通过习题、生活中的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识.这样多种形式、多种角度强化核心知识，更易学生接受.
3、剖析定理：
（1）指出定理的题设和结论；
（2）用符号语言表示定理：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
(3)切线和切线长区别.
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离.
活动目的：此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，
4.拓展：
（1）图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB交OP于点C，OP所在的直线交⊙O于点D、E，又能得出什么结论？并把它们分类.
（2）如图5，已知⊙O
的两条切线互相平行，A、B
两点为切点，如果连接两切点AB，则AB是⊙O
的直径吗？
数学来源于生活，又应用于生活，请同学们再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？
答：⑴图3是轴对称图形，连接AB，结论①
△PAB
是一个等腰三角形，并且存在等腰三角形的三线合一定理.②AB⊥OP
，出现了圆的垂径定理.
⑵AB是⊙O
的直径.我们的日常生活中,球放在墙角，V
形架中放入一个圆球等.如图7
可以应用于解决日常生活中测量球体的直径.
（4）
如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.
（5）老师有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能最大？
答：只要作出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料.
活动目的：此环节让学生指出切线长定理的题设和结论，并让学生熟练掌握定理的三种几何语言（符号语言、文字语言、图形语言）的表示.学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可得到更多的边等、角等、弧等的结论.接着让学生观察三角形的内切圆从而发现其中也存在切线长定理.问题的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学.最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题，提高他们数学的应用意识和解决问题的能力.
（三）圆的外切四边形的性质.
请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O
的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
活动目的：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”.
第三环节
应用新知，体验成功
活动内容：
(一)例题学习
1.例题：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O
是△ABC
的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O
的半径.
变式一：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成后，将例题加以变式训练，将
Rt△ABC变为一般△ABC.
即：课本96页知识技能第2题已知：如图5，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点
D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.
变式二：在变式一完成后，将变式一再加以变式训练，将切线AC平移到圆的另一侧，即知识技能第1题例1、如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O切于A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C，PA=PB=5cm，求△PDE的周长.
让学生分析问题后，提出问题：
1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.
2、求△PDE的周长时，应如何利用已知条件？
提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统，问题2是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生进行题后小结.
活动目的：本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！
（二）巩固练习
1.填空：如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
（1）若PB=12，PO=13，则AO=
（2）若PO=10，AO=6，则PB=
；
（3）若PA=4，AO=3，则PO=
；PD=
；
2.已知,如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm.求半径OA的长.
现在让我们回到锅盖的半径问题上，如何解决这个问题呢？
3.为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？
（引导学生连结OA、OB、OP，利用切线长定理解答）
活动目的：本环节加深了学生对知识的理解，让学生体验数学的严谨性，意在培养学生自主学习的习惯、自主探索、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构切线长，并利用切线长定理解答问题，对本节知识进行巩固练习.
第四环节
梳理小结，盘点收获
活动内容：
1、你的学习心得、体会是什么？
2、你有哪些好的经验可推广？
3、你还存在哪些困难、疑问？
提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标.
活动目的：为让学生形成知识网络，完善认知结构，小结时引导学生参与总结，在引导学生针对以上问题，反思自己学习过程.
第五环节
延伸思考，提升层次
活动内容：
这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究
.
活动目的：把数学的学习延伸到课外的探索和研究中去.
第六环节
推荐作业，巩固拓展
活动内容：
A层：1.已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AF=4，BD=6，CE=8，则△ABC的周长是
；
（3）若AB=9，BC=15，AC=12，则AF=
，BD=
，CE=
.
第2题图
2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线，交PA及PB于D、E两点，已知∠P=50°，PA=PB=6cm，则∠DOE=
，△PDE的周长是
.
B层：
1、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为
上一点，设∠APB=
.
求证：∠ACB=.
分析：本题主要运用切线的性质和圆周角定理及四边形的内角和进行解答.
2．如图，PA、PB切⊙O于A、B，PO交AB于E，等式①AE=BE；②AO2=OE·OP；③∠OAB=∠APB；④PA=PB中，成立的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
活动目的：
分层作业，使“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”．
四、教学设计反思
1．要创造性的使用教材
“数学课程标准”指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程.”教师要引导学生主动参与数学活动，在有效的数学活动中体验、感悟和理解数学知识的发生、发展和形成过程，进而引发数学思考，构建数学模型，使数学课堂教学因活动而精彩.同时，新课程和教学改革提出了“用教材教而不是教教材”的新理念，这就要求教师在使用教材时要针对学生的学习情况对教材的处理有灵活性和自主性.教材只是为了达到课程目标而使用的教学材料，并不是课程的全部.教材的优点是标准、规范，但这种规范往往会约束教师的创造性，导致老师照本宣科地“教”教材，从而影响了学生对知识的理解和掌握.这就涉及老师自己要能灵活地驾驭教材.如何驾驭教材呢？
本人对切线长定理及切线的拓展稍作加工处理，将教材设置转化为三个活动情景，充分发挥学生的自主学习的主动性和探究性.
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会，让学生自主体验，自我发展，在学习过程中进一步体验到学习数学知识的方法、探索知识形成过程乐趣和奥秘.
本节课切线长定理的探索以三个学生动手操作作图的活动为平台，结合学生的自主探索和教师的启发式提问，对所学有关切线性质的基础知识作简单的迁移，师生以一种平等民主的方式进行教与学的活动.在对话中，师生互相补充，互相促进，最终达到师生在具体情境中共同进步与发展.在这种活动情境中，学生乐于进行自我发现和反思，真正做到“吃一堑，长一智”.教师在整个活动过程只是参与者、指导者、合作者、设计者，帮助学生从具体的作图中提炼有效图形，建立数学模型.在学生有困难的情况下，采用互助式合作学习，培养其协作精神.另外通过层层递进的提问与活动，在具体情境中发展学生的发散思维及创新能力，激发学习兴趣，使学生真正体验成功的快乐.
在本堂课中，我立足于学生已有的切线的性质与判定的知识和基本能力，通过设计三个学生活动操作情景，将切线的拓展与探究的问题抛给学生，全由学生自主实验，观察，猜测，发现，探究与验证.在学生的自主探究、合作交流的过程中，有关切线的外延与内涵知识一点一点地被学生挖出来，让学生经历了观察，操作，猜想，探究，发现和验证过程，更为关键的是让学生参与、经历了这个知识的发生，发展，形成过程以及知识的建构过程.这样的知识将永远存在学生的头脑中，更为可贵的是给了学生学习知识，探究知识的思维方法与思维过程，让学生在学习过程中进一步体验到学习数学知识的方法、乐趣和奥秘.
随着新课程改革的不断深入与发展，更需要教师不断更新教育理念，改变过去过于强调的接受性学习，突出学生的主体地位，重视数学知识的活动性、探究性和创造性.这就要求教师能根据自己的需要，能灵活地驾驭教材、改造教材.在教法的选择上，教师一定要从教学内容实际出发，从学生学情出发，结合自己的教学实践恰当地使用教材和改造教材，只要学习内容适宜学生探究的，就让学生自主探究.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆.动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.教师通过精心设计数学问题，创设了一个具有挑战性、探索性的问题情境，让学生在探究中学习数学、体验数学、创造数学、享受数学.在数学活动中伴随着思维活动，把思维活动渗透到数学活动，充斥思维活动的课堂是凸显学生生命的课堂，是有生命力的课堂.
注重学生在学习过程中的自主体验，自我发展.在作图活动中，尽量为学生提供“做中学”，让学生在数学实践中感知，给学生留出了充分的活动时间和想象空间，鼓励每位学生参与到动手、动口、动脑的活动和实践中来.将操作发现、自主探索、合作交流，积极思考等学习方式贯穿到数学探究过程的始终，体现了新课程倡导的自主、合作、探究的学习方式.不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识、方法和经历，主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，从而使教学设计真正落实到学生的发展上.
3．注重数学思想方法的渗透
在习题设置中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识.
4．作业分层布置
通过分层作业的设置使全体学生巩固基础，对于学有余力的学生可以通过类比的方法拓展提高加深对课上知识、数学思想、方法的巩固.
略.3.5
确定圆的条件
教学目标
【知识与能力】
1.
了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
【过程与方法】
1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.
2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.
【情感态度价值观】
形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
教学重难点
【教学重点】
确定圆的条件.
【教学难点】
确定圆的条件.
教学过程
本节课设计了六个教学环节：课前准备；情景引入；实践探究；合作学习练习提高；课堂小结；布置作业.
第一环节：课前准备
活动内容：布置学生在课前复习，回答如下的问题：
（1）经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗？若能，可以画出几条直线？
（2）通过以上问题的回答，你有什么体会？
（3）已知线段AB，求作线段AB的中垂线？
活动目的：通过问题（3），希望学生复习线段中垂线的尺规作法，为本课作圆作知识的铺垫.通过问题（1）（2）的复习回答，为本课的探索“经过三点能否确定一个圆”作一个探索策略上的铺垫，进一步培养了学生分类讨论的数学思想.
实际教学效果：在课始的提问中,学生对中垂线的尺规作法、经过一点可以画无数条直线、经过两点可以画一条直线的回答较好，但在回答“经过三点能否画直线”问题上出现分歧，部分回答“不能画出直线”或“可以画一条直线”或“以上两种情况都有可能”等.通过对问题的争论、回答，达到了预期目标，培养了学生学会与人合作，能与他人交流思维的过程和结果.
第二环节：情景引入
活动内容：学生小组讨论如下问题：某地区一空地上新建了三个居住小区A、B、C.现要规划一间学校，使学校到三个小区的距离相等，你如何选取这所学校的地点？
活动目的：①通过问题的思考讨论，有承上启下的作用，而先要解决这三个小区是否在一直线上.②引起学生回想圆的定义，得出作圆的关键是定圆心、定半径.③借助实际问题情景，激发学生解决问题的兴趣，为解决本节课的目标“确定圆的条件”和下环节的探究活动注入动力.
实际教学效果：学生在一个宽松的气氛下展开对问题的探究：问题应分A、B、C三小区在同一直线上或不在同一直线上两种情况；问题即是找出一个同时经过A、B、C三点的圆.（自然引出课题）
第三环节：实践探究，解决问题
活动内容：参照教材提供的三个问题：
①作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？为什么有这样多个圆？
②作圆，使它经过已知点A、B，你是如何做的？依据是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
③作圆，使它经过不在同一直线的已知点A、B、C，你是如何做到的.你能作出几个这样的圆？为什么？
④你现在能解决课前的问题了吗？动手做一做？
活动目的：以问题串的形式引导学生由易到难地开展探究活动、培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想，从中探究出：
①不在同一直线上的三个点为什么只确定一个圆？
②这个圆如何用“尺规”作出？
③三角形外接圆，三角形的外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点难点，使学生掌握过三点作圆的方法.
实际教学效果：学生对问题①、②中有多少个符合条件的圆能很快地回答出来，但学生对问题①中“为什么”的回答未能抓住画圆的本质（定圆心、定半径）来回答；对问题③的探究用时比较长，重要原因是部分学生作了三条边的中垂线，对“为什么”的回答也未能抓住交点的唯一性及半径随着点的确定而确定进行回答.
第四环节：练习提高
活动内容：
（1）完成课本随堂练习；
（2）判断题：
①经过三点一定可以作圆.
（
）
②任意一个三角形有且只有一个外接圆.
（
）
③三角形的外心是三角形三边中线的交点.
（
）
④三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.
（
）
(3)如图是一块残缺的圆形木盖，现要重新制作一块与原来一样大小的圆形木盖，你是如何制作的？
活动目的：
（1）随堂练习——巩固找三角形的外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实.另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.
（2）通过判断④和练习（3）目的是加深学生对结论的理解和应用，培养学生“用数学”的意识.
实际教学效果:学生都能熟练完成随堂练习及判断题，收到了较好的教学效果.同时引导学生理解记忆判断④的结论，加深了对“三角形外心”的理解.但部分学生在完成练习（3）时遇到了困难，不会将问题转化成“找三角形外心——找出弧上三个点”的问题，说明这部分学生综合理解和运用知识能力还有待提高.
第五环节：课堂小结
活动内容：
1、学生小组交流本节课学习的体会及要掌握的知识和方法；
2、个人仍存在的问题；
3、师生共同完成如下的问题：
（1）确定圆的条件——
（2）锐角三角形
在三角形的内部
直角三角形
外心的位置
在斜边上
钝角三角形
在三角形的外部
而三角形的外心具有的特征是：到三个顶点的距离相等，因它是三边中垂线的交点.
活动目的：鼓励学生大胆发表自己的意见和收获感想，听取别人的发言，培养语言表达和与人交流的意识，达到情感和价值的目标.同时通过师生共同的小结，加深学生对所学知识的理解记忆.
实际教学效果：在短短几分钟的小结活动中，学生能畅所欲言，畅谈自己的收获和感受，比如有些同学谈到学会了找三角形的外心；考虑问题要全面；用数学知识可以解决一些实际问题；数学知识是环环相扣，紧密联系，每一知识点都要学好、理解好等.
第六环节：布置作业
习题3.6
预习下节课内容，搜集现实生活中的直线和圆的位置关系的现象.
四、教学反思
1.
要创造性地使用教材，领会教材中隐含的数学思想
（1）教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师可以根据需要进行适当的调整.本套教材采用“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，所以课前加入了一个实际背景的问题引出学习主题，这有助于展现数学与现实的联系，激发学生的探究热情，为本节课后面的探究活动提供动力.
（2）教材一开始是从经过一点、两点、三点画直线过渡到经过一点、两点、三点能作几个圆？这并不是一个可有可无的过程，它可以培养学生一种类比归纳的思维方法，对学生探究本课的问题有一个很好铺垫和引导作用.
2.
重视展现数学知识的形成和应用过程
经历知识的形成与应用过程，将有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心.因此本节课安排了几个学生的探究活动，通过探究后对“为什么”的回答，使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性.这有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”过程，逐步发展学生的应用意识和推理能力.
3.
相信学生并为学生提供充分的探究和展示自己的机会
数学教学是数学活动的教学，向学生提供充分的从事数学活动的机会，可在活动中激发学习潜能，促使学生在探究和交流中理解和掌握数学知识、技能和思想方法，同时也有利于教师发现学生解决问题过程中存在的问题.以便更好地指导学生的学习和因材施教.
4.
注意改进的方面
（1）学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做.
（2）教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极，教师要及时给予指导和引导，焕起他们学习的积极性.
（3）线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻，今后在进行“线段中垂线”的教学时仍要加以改进.3.8圆内接正多边形
教学目标
【知识与能力】
了解正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
【过程与方法】
通过实例使学生理解，体会正多边形边数增加与圆的无限接近思想．
【情感态度价值观】
经历探索正多边形与圆相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．
教学重难点
【教学重点】
正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．
【教学难点】
对定理的理解以及定理的证明方法．
教学过程
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
二、探索新知
新概念定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫圆内接正多边形，这个圆叫正多边形的外接圆．这个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
三、例题解析?
例1
如图在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距
2
有一个亭子它的地基是半径为4
m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）．
【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，亭子地基的周长l
=4×6=24（m）．
在Rt△OPC中，OC=4，PC=2．利用勾股定理，可得边心距．
亭子地基的面积
．
四、题后小结
五、做一做
利用尺规作图，作已知圆的内接正六边形．
六、课堂检测：
1．下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边形．是轴对称图形的有__________，是中心对称图形的有_________，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_________．
2．两个正七边形的边心距之比为3∶4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______．
3．正方形ABCD的外接圆圆心o叫做正方形ABCD的______．
4．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是____度，半径是___，边心是
，它的每一个内角是
．
5．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等
6．将一个正五边形绕它的中心旋转，至少要旋转
度，才能与原来的图形位置重合．
七、归纳小结（学生小结，老师点评）
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．
八、课后反思：?3.4
圆周角和圆心角的关系
教学目标
【知识与能力】
理解圆周角的概念．
掌握圆周角与圆心角的关系．
掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．
【过程与方法】
通过观察、猜想、验证、推理，来培养学生探索数学问题的能力和方法．
学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，体会分类的数学思想．
【情感态度价值观】
通过定理的证明过程，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的严谨性．
通过小组活动讨论，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，培养团队意识．
体验数学与实际生活的紧密联系．
教学重难点
【教学重点】
圆周角概念和圆周角定理
【教学难点】
圆周角定理的证明
教学过程
情境引入（你来评评理）
师出示情境引出课题
足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在C、D
两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB
的张角大．如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大?
他们两个谁说的对呢？通过本节课的学习，便能水落石出。（师板书课题：圆周角与圆心角的关系）
二、学习新知（探索天地）
1学习圆周角定义
师导问：图上面的∠ACB、∠ADB是我们学过的圆心角吗？有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？
谁能用自己的话说一说什么样的角叫圆周角？
生得出定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
师分析特征
ａ角的顶点在圆上.
ｂ角的两边都与圆相交
.师出示图形生判断巩固圆周角定义
判断下列各图中的角是否是圆周角?并说明理由
2探索定理
ａ⊙O中画出弧BC所对的圆心角和圆周角，你能画出多少个符合条件的圆心角和圆周角?
生通过画图得出一条弧对一个圆心角和无数个圆周角
ｂ弧BC所对的圆周角有无数个，观察你所画的图形，它们与圆心O有哪几种位置关系?
生观察得出：三种，圆心在角内、外，上
ｃ测量弧BC所对的圆周角和圆心角度数，发现有何关系？
生猜想并测量得出结论：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半。
ｄ证明圆周角定理
学生先画图、写已知、求证，思考证明方法，小组内可以互相讨论，老师可启发学生从最简单的图形入手，较难的可以想办法转化为较简单的，从定理的证明向学生渗透分类讨论思想和由一般到特殊的转化思想。
已知：圆O中，弧AC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠AOC
求证：
证明：∵∠BOC是△AOC的外角，
∴∠BOC＝∠A
＋∠C.
∵OA＝OC
，
∴∠C＝∠A
.
∴∠BOC＝2∠A
即
学生思考讨论后，先小组内交流，再有小组派出代表全班交流证明思路，然后师总结点评，图2与图3详细证明过程见多媒体。注意思想方法的总结。
三、新知应用
例题及巩固练习详见多媒体
四、课堂小结
本节课你学了哪些知识和数学思想方法？
五、分层布置作业
A组课本P81第2题
B组课本P80随堂练习第1题
六、板书设计
圆周角和圆心角的关系
定义
顶点在圆上，两边和圆还有另外交点的角叫圆周角
定理
圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等
分类讨论思想；由特殊到一般的转化思想
七、教后反思
通过本节课的教学，我对自己的表现有以下几点不满：1课题的板书稍早了一点，放在圆周角定义揭示时再板书会更恰当一点；2圆周角定理的证明似乎有点机械，思考和证明的过程不够充分；3由于时间关系，练习不够充分；4对学生的启发引导和激励不够到位。今后会注意以上问题的。3.1圆
教学目标
【知识与能力】
1．理解圆的概念．
2．理解点与圆的位置关系．
【过程与方法】
1．经历通过实例归纳出圆的定义的过程．
2．会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．
【情感态度价值观】
通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．
教学重难点
【教学重点】
点和圆的三种位置关系．
【教学难点】
用集合的观点研究圆的概念．
课前准备
自制两个车轮模具(一个圆形，一个方形)
教学过程
Ⅰ．创设现实情境，引入新课
[师]前面我们已经学习过两种常见的几何图形，三角形、四边形．大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质?
[生]折叠、平移、旋转、推理证明等方法．
[师]好!大家总结得很详细，今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形——圆．
和三角形、四边形一样，圆的性质与应用同样需要通过折叠、平移、旋转、推理证明等
方法去学习和探究．
下面我们来学习第一节：车轮为什么做成圆形．
Ⅱ．讲授新课
[师]日常生活中同学们经常见到的汽车，摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的?
[生]圆形．
[师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢?能否做成长方形或正方形?
老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点?大家讨论．
讨论如下图：
[生]圆形车轮行进时，较平稳；方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳……
[师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服，假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．
下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看几，图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系?用什么方法可以判断，大家动手做一做．
[生]……
[师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么?
[生]OA=OB．
[师)刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系?
[生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动．
[师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈．一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心，所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样．车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在乎路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．
下面我们再看一个游戏队形．
一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．
这样的队形对每个人都公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?
[生甲]排成方形的．
[生乙]你的说法不对，排成方形的，顶点处的同学还是吃亏，我觉得应当竖着排成一行．
[生丙]我觉得今天学的是圆，应当排成圆形或圆弧形较合适．
[师]大家讨论得很好，每个人都说出了各自的想法．就这个问题，如果单纯从队形来
考虑，排成圆形或圆弧形比较公平．因为每个同学离要投的目标一样远近．这样我们就得到了圆的定义：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点称为圆心(centre
of
a
circle)，定长称为半径(radius)的长(通常也称为半径)．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．
注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小；圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定．因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆
才被唯一确定．
巩固练习：课本P85随堂练习！
1．体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3
m的圆，你能帮他想想办法吗?
答：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所希望的圆．
接下来我们研究点和圆的位置关系．
[师]请同学们在练习本上画一个圆，大家想一想这个圆把平面分成了几部分?互相讨论一下．
[生甲]两部分，圆的内部和外部．
[生乙]三部分，还有一部分在圆上．
[师]同学们讨论得很好．一个圆应该将平面分成三部分：圆的内部、圆、圆的外部．
[师]下面我们看书PH，想一想，图3—3．由图可以看出A、C在⊙O内，点B在⊙O上，点D、E在⊙O外，如果我们把这个靶看成一个以门为圆心．以r为半径的圆．飞镖落的位置看成点，那么我们可以发现点和圆的位置有三种情况：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
若设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，反过来，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．
注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
2．做一做
设AB=3
cm，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于2
cm的所有点组成的图形．
(2)到点A和点B的距离都小于2
cm的所有点组成的图形．
提示：解决这类题的关键是明确用集合的观点定义的圆、圆的内部、外部的含义．向学生渗透一种常用的数学方法——交集法．
注意(2)的图形不包括重叠部分的边界．可先让学生思考：满足条件的点分别与OA、OB有怎样的位置关系?
解：(1)到点A和点B的距离都等于2
cm
的点组成的图形为⊙A和⊙B的交点C、D
(2)到点A、B距离都小于2
cm的点组成的图形为⊙A和⊙B的公共部分(不包括公共部分的两条弧)．
Ⅲ．课时小结
[师]通过这节课的学习，同学们谈一下你有何收获和体会．
[生]我们知道了马轮为什么做成圆形以及圆的定义和确定一个圆的两个条件．
[生]找还学会了如何确定点和圆的三种位置关系．
……
Ⅳ．课后作业
课本P86，习题3．1，1～4题
Ⅴ．活动与探究
已知⊙O的半径为10
cm，圆心O至直线l的距离OD＝6
cm，在直线l上有A、B、C三点．并且有AD＝10
cm，BD＝8
cm，CD＝6
cm，分别指出点A、B、C和⊙O的位置关系．
[过程]让学生画出图形，数形结合，根据勾股定理，分别求得OA=cm，OB＝10
cm，OC＝再分别比较OA、OB、OC与半径的大小即可．
[结果]A点在⊙O外，B点在⊙O上，C点在⊙O内．
板书设计
§3．1圆
一、圆的定义：
圆心：
半径：
圆的表示法；
二、点和圆的位置关系：
1．点在圆外，即d>r
2．点在圆上，即d＝r
3．点在圆内，即d≥r
三、做一做
四、小结
五、作业3.6
直线和圆的位置关系
第1课时
教学目标
1．理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数,圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.
2．掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.
教学重难点
【教学重点】
理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数,圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.
【教学难点】
掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.
教学过程
（一）导入新课
太阳与地平线的位置关系,列车的轮子与铁轨之间的关系,
给你留下了_________的位置关系的印象.
（二）讲授新课
探究1：作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,试说出直线和圆有几种位置关系?
直线和圆的位置关系：
你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?
利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系具有一定的局限，你有更好的判断方法吗？
点和圆的三种位置关系
仿照这种方法怎样判断“直线和圆的位置关系”？
直线和圆的位置关系
令圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r
活动2：探究归纳
直线与圆位置关系的判定可以从数的角度和形的角度进行判定，数的角度是圆心到直线的距离；形的角度是直线与圆的交点的个数.
（三）重难点精讲
例题：已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,
AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?
(2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.
∵AB=8cm,AC=4cm.
∴∠A=60°.
因此,当半径长为cm时,AB与⊙C相切.
(2)由(1)可知,圆心到AB的距离d=cm,所以
当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离;
当r=4cm时,d（四）归纳小结
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质，圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
（五）随堂检测
1．（青岛·中考）如图，在Rt△ABC中，∠C
=
90°，∠B
=
30°，BC
=
4
cm，以点C为圆心，以2
cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
2.（娄底·中考）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（
）
A.与x轴相切，与y轴相切
B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切
D.与x轴相交，与y轴相交
3.（赤峰·中考）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（
）
A.1cm
B.2cm
C.4cm
D.2cm或4cm
【答案】
1.答案为B
2.
答案为B
3.
答案为B
六．板书设计
3.6.1直线和圆的位置关系
七、作业布置
课本P91练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思
