1.3
三角函数的有关计算
教学目标
1.经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学重难点
【教学重点】
用计算器求已知锐角的三角函数值.
能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.【教学难点】
能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学过程
导入新课
如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=160,那么缆车垂直上升的距离是多少?
（二）讲授新课
1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.
用科学计算器求三角函数值，要用到和键.我们对下面几个角的三角函数sin16°，cos72°38′25″和tan85°的按键顺序如下表所示.
按键顺序
显示结果
sin16°
sin16°=0.275637355
cos72°38′25″
cos72°38′25″=0.2983699067
tan85°
tan85=11.4300523
2.练习：用计算器求下列各式的值.
(1)sin56°；
(2)cos20.5°；
(3)tan44°59′59″；
(4)sin15°+cos61°+tan76°.
3.
练习掌握已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二
功能
“sin-1,cos-1,tan-1”和
键.
例如：
①已知sinA＝0.9816，求锐角A.
②已知cosA＝0.8607，求锐角A.
③已知tanA＝56.78，求锐角A.
按键顺序如下表:
按键顺序
显示结果
sinA=0.9816
sin-10.9816=78.99184039
cosA=0.8607
cos-10.8607=30.60473007
tanA=56.78
tan-156.78=88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的.再按
键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.
例如：sinA=＝0.25.按键顺序为
.
显示结果为sin-10.25=14.47751219°，再按
键可显示14°28′39″,所以
∠A=14°28′39″.（
以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，结果精确到1″即可.）
（三）重难点精讲
例:
如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10
).
∴∠ACD≈27.50
.
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50
=550.
∴V型角的大小约550.
（四）归纳小结
节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义。并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
（五）随堂检测
1.根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；
(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；
(5)sinθ＝；(6)cosθ＝；
(7)tanθ=22.3；(H)tanθ=
；
(9)sinθ＝0.6；(10)cosθ＝0.2.
2.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
3
、
一个人由山底爬到山顶,需先爬400的山坡300m,再爬300
的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m).
4.
如图,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体,求射线的入射角度.
【答案】1.解：(1)θ＝71°30′2″；(2)θ＝23°18′35″；
(3)θ＝38°16′46″；(4)θ＝41°53′54″；
(5)θ＝60°；(6)θ=30°；
(7)θ=87°25′56″；(8)θ＝60°；
(9)θ＝36°52′12″；
(10)θ＝78°27′47″。
2.
解：如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56°≈20×1.4826=29.652(m)；
在Rt△CBA中，CB=ABtan50°
≈
20×1.1918=23.836(m)
所以避雷针的长度
DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).
3.
解：如图，根据题意，可知
BC=300
m，BA=100
m，
∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428=192.8(m)
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°=100×0.5
=50(m).
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).
4.
解:如图,在Rt△ABC中,AC=6.3cm,BC=9.8cm,
∴∠B≈320
44′13″.
因此,射线的入射角度约为320
44′13″.
六．板书设计
1.3
三角函数的有关计算
按键顺序
显示结果
sinA=0.9816
sin-10.9816=78.99184039
cosA=0.8607
cos-10.8607=30.60473007
tanA=56.78
tan-156.78=88.99102049
典型例题：
作业布置
课本P14练习
练习册相关练习
八、教学反思1.4
解直角三角形
教学目标
1.初步理解解直角三角形的含义.
2..经历解直角三角形的过程，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
教学重难点
【教学重点】
理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
【教学难点】
从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
教学过程
（一）复习引入：
1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）
2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？
RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别什么？
3、填一填
记一记
三角函数
角α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
定义：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.
（二）探究新知：
例1
在Rt△ABC
中，∠C
为直角，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为
a，b,c,
且a
=，b
=，求这个三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC
中，a2+b2=c2,
a
=
，b
=
∴
c===2
在Rt△ABC
中，
∴∠B=30°
∴∠A=60°
例2.
在Rt△ABC
中，∠C
为直角，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为
a，b,c,且
B=30,
∠B=25°，求这个三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC
中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
∵=
，b=30，
∴c==71.
∵=
,b=30,
∴a=
=
64.
小结：解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”
（三）知识应用：
1.在Rt△ABC中，∠C=900,
∠A，∠B，∠C
所对的边分别为
a，b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
（1）已知a=4,b=8；
（2）已知a=10,
∠B=60°；
（3）已知c=20,
∠A=60°
2.已知∠A+∠B=
90°，=
，则
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
（四）能力提升：
1.在△ABC中，∠A
=30°，
=
，BC
=
，AB的长为
多少？
2.如图，四边形ABCD中，∠A=600,AB⊥BC,
AD⊥DC,AB=200,
CD=100,求AD的长.
A
D
B
C
（五
）.小结：
今天你学到了什么？
(
六
)
布置作业;课本17页习题1.5
知识技能26利用三角函数测高
教学目标
【知识与能力】
1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量；
2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
【过程与方法】
积极参与数学活动，积累数学活动的经验，提高对试验数据的处理能力．
【情感态度价值观】
学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识．
教学重难点
【教学重点】
运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．
【教学难点】
能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.
课前准备
多媒体课件，自制侧倾器，皮尺等工具．
教学过程
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们学习了应用三角函数测量古塔的高度，判断轮船是否会触礁等，你的解题思路是什么？你还能利用三角函数来测量物体的高度吗？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.在实际生活中，会经常见到一些高大的物体，像旗杆、高楼、古塔等(多媒体展示如图1－6－7所示的图片)，它们高度较高且顶部不易到达，如果想测量它们的高度，根据所学的知识，大家有哪些测量方案？
图1－6－7
(1)利用太阳光下的影子测量；(2)利用标杆测量；(3)利用镜子的反射测量.
师：我们前面刚学过直角三角形的边角关系，那么能不能用这方面的知识来测量一些物体的高度呢？带着这个问题，我们来进行本节课的学习.
2.如图1－6－8，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达．已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).
图1－6－8
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图；
(2)写出计算BD高度的表达式.
师：如何设计一个测量建筑物BD高度的方案呢？
1.利用实际生活中经常见到的一些高大物体的图片引入新课，让学生感受数学知识与实际生活的紧密联系，图片展示形象而生动，吸引了学生的注意力，提高了学生的兴趣，使学生产生很强的探究欲望.
2.通过生活中的实际问题引入课题，使学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，增加学生学习数学的兴趣，并让学生带着问题走进今天的学习.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
测量倾斜角(仰角或俯角)
师：(课件展示)测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1－6－9).
图1－6－9
使学生会使用测倾器测量倾斜角的大小，并能说明其原理.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
如图1－6－10所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由.
了解了用测倾器测量倾斜角的大小，
图1－6－10
借助它和皮尺我们就可以测量一些物体的高度.
在生活中有些物体的底部可以到达，有些物体的底部不可以直接到达，所以分两类分别探究.
【探究2】
测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
师：如图1－6－11，要测量物体MN的高度，需测量哪些数据？
测量AN及AC的长.
测量仰角∠MCE.
图1－6－11
你能说出测量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数据用字母表示.
(学生之间讨论后回答)
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.
3.量出测倾器的高度AC＝a.
根据刚才测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由．和同伴交流一下你的发现.
在Rt△MCE中，ME＝EC·tanα＝AN·tanα＝l·tanα，
∴MN＝ME＋EN＝ME＋AC＝l·tanα＋a.
那么底部不可以直接到达的物体的高度如何测量呢？
【探究3】
测量底部不可以直接到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
如图1－6－12，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(点A，B与N在一条直线上，
图1－6－12
且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角∠MDE＝β.
3.量出测倾器的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.
通过小组合作设计方案，培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力.
这个活动的设计方案对于学生来说有一定的难度，所以在教学过程中要给学生留有充分的讨论时间，不可急于求成，也可各组间穿插讨论；同时教师要深入小组内讨论，帮助有困难的小组．这个活动的设计方案不唯一，学生说的只要合理，就应该给予肯定和鼓励．教师还要关注学生是否积极参与，是否真正理解.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
根据测量数据，物体MN的高度计算过程如下：
在Rt△MDE中，ED＝.
在Rt△MCE中，EC＝.
∵EC－ED＝CD，
∴－＝b，∴ME＝，
∴MN＝＋a.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
师：回过头来，我们再来看活动一中的第2个问题，现在你能解决了吧？
生：可以类比测量底部不可以直接到达的物体高度的方法来解决.
师：你来说说具体的解决方案.
生1(这名学生到黑板前边叙述方案边
图1－6－13
画出测量示意图)：
1.在测点A处安置测倾器，测得B的仰角为α.
2.在测点C处安置测倾器，测得B的仰角为β.
3.量出测点A，C之间的距离b.
利用测得数据就可以计算建筑物BD的高度.
其余学生根据学生1的测量方案及数据计算建筑物BD的高度.
变式：如图1－6－14，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是5
m，大门距主楼的距离BC是30
m，
图1－6－14
在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面的高度BE是1.4
m，求学校主楼的高度(精确到0.01
m).
(本题先让学生独立完成，找一名学生到黑板前板书解题过程，便于集体纠正出现的错误)
1.用本节探究出来的方案解决开始时没有解决的问题，让学生体验“用数学解决实际问题”，体会数学的应用价值.
2.进一步巩固用三角函数解决生活中的问题．如果学生掌握得好，进入下面的环节；如果学生掌握得不好，则可以再引导学生多加练习.
【拓展提升】
例1 如图1－6－15，从地面C，D两处望山顶A，仰角分别为30°，45°.若C，D两处相距200
m，求山高AB.
例2 如图1－6－16，大楼AD的高为
图1－6－15
10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶B处的仰角为30°，求塔BC的高度.
图1－6－16
通过题组检测，发现学生知识的薄弱环节，在哪些方面存在不足，有效地反馈出来，适时加以点拨矫正.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本P23习题1.7中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
利用三角函数测高
MN＝ME＋EN＝b·tanα＋a
MN＝＋a测量结
果展示：
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过对上节课所学知识的回顾以及问题的抛出，设计活动方案初步填写活动报告表，使所有学生对本节课的活动从理性上有清醒的认识，明确自己在活动中的任务．室内活动为室外活动做好了充分的准备.
②[讲授效果反思]
在本节课的整个活动过程中，每个小组的成员都能积极地投入到活动中去，学生自始至终处于主体地位，积极想办法寻找解决问题的方案，克服困难，表现出极大的参与热情，尤其是平时数学成绩很一般的学生都充当了主角地位，他们出谋划策，测量、收集数据一马当先，对自己设计的方案感到非常自豪，大大提高了学生的动手、动脑能力，激发了学习热情.
③[师生互动反思]
______________________________________________________
______________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.1.1
锐角三角函数
第2课时
教学目标
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.
2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
4.理解锐角三角函数的意义.
教学重难点
【教学重点】
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.
【教学难点】
用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
学习方法
探索——交流法.
教学过程
一、正弦、余弦及三角函数的定义
想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?
(2)
有什么关系?
呢?
(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?
请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
三、例题：
例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.
例2、做一做：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
四、随堂练习：
1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.
3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=，则sinA=
.
4、已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠
C=90°,tanA=,则sinB=_______,tanB=______.
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=,则AC=______,BC=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.
4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是(
)
A.sinA=
B.cosA=
C.tanA=
D.cosB=
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于(
)
A.
B.
C.
D.
6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于(
)
A.
B.
C.
D.
7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是
A．
B．
C．
D．
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β,
若甲坡比乙坡更徒些,
则下列结论正确的是(
)
A.tanαB.sinαC.cosαD.cosα>cosβ
9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是(
)
A.
B.
C.
D.
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是(
)m
A.
B.100sinβ
C.
D.
100cosβ
11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?
15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=.
求：s△ABD：s△BCD
§1.2
30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标：
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
学习重点：
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
学习难点：
进一步体会三角函数的意义.
学习方法：
自主探索法
学习过程：
一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
二、新课
[问题]
1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
[问题]
2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
[问题]
3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题]
4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
结论：
三角函数
角度
sinα
coα
tanα
30°
45°
60°
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5
m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01
m)
三、随堂练习
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3)
sin45°+sin60°-2cos45°；
⑷；
⑸(+1)-1+2sin30°-；
⑹(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1；
⑺sin60°+；
⑻2-3-(+π)0-cos60°-.
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7
m，扶梯的长度是多少?
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30
m，两楼问的距离AC=24
m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1
m，≈1.41，≈1.73)
四、课后练习：
1、Rt△ABC中，，则；
2、在△ABC中，若,，则，面积S＝
；
3、在△ABC中，AC：BC＝1：，AB＝6，∠B＝ ，AC＝ BC＝
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为
（ ）
（A）600
（B）900 （C）1200 （D）1500
5、有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6、在中，，若，则tanA等于（
）．
（A）
（B）
（C）
（D）
7、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（
）．
（A）
（B）
（C）
（D）1
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（
）．
（A）450a元
（B）225a元
（C）150a元
（D）300a元
9、计算：
⑴、
⑵、
⑶、
⑷、
⑸、
⑹、
⑺、·tan60°
⑻、
10、请设计一种方案计算tan15°的值。
§1.4
船有触礁的危险吗
学习目标：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
学习重点：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
学习难点：
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
学习方法：
探索——发现法
学习过程：
一、问题引入：
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1
m)
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4
m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l
m)
三、随堂练习
1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5
m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.
(1)求∠ABC的大小：
(2)如果坝长100
m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01
m3)
3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：≈1.4，
≈1.7)
四、课后练习：
1.
有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为2米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.
2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角,
这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).
3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时
,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.
4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).
5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米,
求小山高BC
和铁塔高AB(精确到0.1米).
6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30
°的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.
7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,
要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°,
如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?
8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处,
已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断:
计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.
9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm2,求α的度数.
1.5
测量物体的高度
1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:
课题
在两岸近似平行的河段上测量河宽
测量目
标图示
测得数据
∠CAD=60°,AB=30m,∠CBD=45°,∠BDC=90°
请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号).
2.下面是活动报告的一部分,
请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.
课题
测量旗杆高
测量示意图
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
BD的长
24.19m
23.97m
测倾器的高
CD=1.23m
CD=1.19m
倾斜角
a=31°15′
a=30°45′
a=31°
计算
旗杆高AB(精确到0.1m)
3.学习完本节内容后,
某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据,
求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).
活动报告
课题
利用测倾器测量学校旗杆的高
测量示意图
测量数据
BD的长
BD=20.00m
测倾器的高
CD=1.21m
倾斜角
α=28°
计算
旗杆高AB的计算过程(精确到0.1m)
4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB,
在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°,
求河的宽度(精确到0.1米)
5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,
学校数学应用实践小组做了如下的探索:
实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,
设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE
后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算
树AB的高度(精确到0.1米)
实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2.
5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案,
回答下列问题:
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________.
(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;
(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____.
(4)写出求树高的算式:AB=___________.
6.在1:50000的地图上,查得A点在300m的等高线上,B点在400m的等高线上,
在地图上量得AB的长为2.5cm,若要在A、B之间建一条索道,那么缆索至少要多长?
它的倾斜角是多少?
(说明:地图上量得的AB的长,就是A,B两点间的水平距离AB′,由B向过A
且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A即是缆索的倾斜角.)
7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。
请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工
具的序号填写）
（2）在右图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据：
（4）写出求树高的算式：AB=
第一章回顾与思考
1、等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（
）
A
B
C
D
2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为
（
）A
B
C
D
3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,
AB
=
4,
则AD的长为（
）．
（A）3
（B）
（C）
（D）
4、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450，则对角线所用的竹条至少需（
）．
（A）
（B）30cm
（C）60cm
（D）
5、如果是锐角，且，那么
?．
6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是
米．
7、如图,P是∠的边OA上一点,
且P点坐标为(3,4),则=
,=______.
8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为
米（用含的三角比表示）．
9、在Rt中∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于
度．
10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.
11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到AC
=
40米，BC
=
25米，请你求出这块花圃的面积.
12、如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是，求热气球升空点A与着火点B的距离．
13、如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟.求山高（即AC的长度）及A、B
两点的水平距离（即BC的长度）（精确到0.01千米）.
14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°（如图）.为距离B点8米远的保护物是否在危险区内？
15、如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.
在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区.取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB
=
400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?
16、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地的正东方向且距A地40海里的B地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C岛在A的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）
17、如图，客轮沿折线A―B―C从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C上的某点E处．已知AB
=
BC
=200海里，∠ABC
=，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点（
）
A．在线段AB上
B．在线段BC上
C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）1.2
30°、45°、60°角的三角函数值
教学目标
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
教学重难点
【教学重点】
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
【教学难点】
进一步体会三角函数的意义.
学习方法
自主探索法
教学过程
一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
二、新课
[问题]
1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
[问题]
2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
[问题]
3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题]
4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
结论：
三角函数
角度
sinα
coα
tanα
30°
45°
60°
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5
m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01
m)
三、随堂练习
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3)
sin45°+sin60°-2cos45°；
⑷；
⑸(+1)-1+2sin30°-；
⑹(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1；
⑺sin60°+；
⑻2-3-(+π)0-cos60°-.
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7
m，扶梯的长度是多少?
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30
m，两楼问的距离AC=24
m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1
m，≈1.41，≈1.73)
四、课后练习：
1、Rt△ABC中，，则；
2、在△ABC中，若,，则，面积S＝
；
3、在△ABC中，AC：BC＝1：，AB＝6，∠B＝ ，AC＝ BC＝
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为
（ ）
（A）600
（B）900 （C）1200 （D）1500
5、有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6、在中，，若，则tanA等于（
）．
（A）
（B）
（C）
（D）
7、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（
）．
（A）
（B）
（C）
（D）1
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（
）．
（A）450a元
（B）225a元
（C）150a元
（D）300a元
9、计算：
⑴、
⑵、
⑶、
⑷、
⑸、
⑹、
⑺、·tan60°
⑻、
10、请设计一种方案计算tan15°的值。1.5三角函数的应用
教学目标
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
教学重难点
【教学重点】
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
【教学难点】
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学过程
一、问题引入：
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1
m)
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4
m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l
m)
三、随堂练习
1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5
m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.
(1)求∠ABC的大小：
(2)如果坝长100
m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01
m3)
3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：≈1.4，
≈1.7)
四、课后练习：
1.
有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为2米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.
2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角,
这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).
3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时
,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.
4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).
5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米,
求小山高BC
和铁塔高AB(精确到0.1米).
6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30
°的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.
7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,
要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°,
如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?
8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处,
已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断:
计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.
9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm2,求α的度数.1.1
锐角三角函数
第1课时
教学目标
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
教学重难点
【教学重点】
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
【教学难点】
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法
引导—探索法.
教学过程
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
⑵
⑵有什么关系？
⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?
⑷由此你得出什么结论?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.
5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12
m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA=
_______.
2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c=
25,求tanA、tanB的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=,
求菱形的边长和四边形AECD的周长.
7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=,现有一小球从坡底A处以20cm/s
的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?
8、探究:
⑴、a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______;
若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们:
添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式:
____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大,
则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c,
直线CA、DE交于点F,请运用(2)
中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
